【正文】 定一個區(qū)域A， （1）對A中的任意三個元素g,h,f滿足：(f。當(dāng)然，變換群絕不會停留在現(xiàn)在的應(yīng)用而不向前發(fā)展，通過對變換群在現(xiàn)在的幾個方面的應(yīng)用，分析它將在這些領(lǐng)域的進(jìn)一步發(fā)展和預(yù)測它的發(fā)展軌跡。 對變換群未來應(yīng)用的預(yù)測 變換群是一個陌生的數(shù)學(xué)名詞，但經(jīng)過前面從誕生、發(fā)展到與各個學(xué)科的聯(lián)系的介紹，我相信對變換群有了一個大體的了解。在得到不變的結(jié)論以后，再實施變換。不變性：是實施變換的前提。它可以把棘手問題轉(zhuǎn)化到相對簡單的方面。在我們做一道題百思不得其解的時候，只要我們變換一下方法，我們?nèi)栆幌峦瑢W(xué)，那不是得到解決了嗎！在請人幫忙時，因為和別人不熟，可能事情進(jìn)展的不順利，可能會吃很多的閉門羹；如果這時有熟人可以在中間幫你一把，可能問題就迎刃而解了。 人際交往人們的口中總是念叨著這樣一句話：朋友多了路好走。利用對稱變換群的原理對計算機斷層掃描(CT)重建中的濾波反投影算法(FBP)進(jìn)行了優(yōu)化，降低了算法中反投影部分的計算復(fù)雜度，從而得到一個快速重建算法。例如：證明具有給定階n的互不同構(gòu)的有限群只有有限個。Gayley定理說明任何群G都同構(gòu)于G上的某個變換群?？梢赃x取或變換適當(dāng)坐標(biāo)系，提高解題效率。坐標(biāo)系變換問題：在一些幾何問題中，特別是圓錐曲線問題的求解過程中，利用極坐標(biāo)通常能使運算過程大大簡化。這種圖形變換屬于翻折變換。利用向量的代數(shù)幾何“二重性”，將數(shù)學(xué)問題進(jìn)行幾何形式與代數(shù)形式間的轉(zhuǎn)化，其中顯然蘊含著變換群的思想。這些變換屬于等距變換，即只改變圖形位置不改變圖像的形狀，任意兩點間的距離以及任意兩相交線段間的夾角?，F(xiàn)在就列舉幾個變換群思想在高考題中的應(yīng)用的問題。其實在我們以前所做的高考試題中就已經(jīng)用到了變換群的思想。變換群思想的精髓在于把握變換中的不變性質(zhì)與不變量。在1872年，克萊因在愛爾蘭根大學(xué)的就職演說中提出，每種幾何學(xué)就是研究相應(yīng)的變換群下不變性質(zhì)和不變量的科學(xué)。　　　變換群的作用可大可小，小到人際交往，大到科技的發(fā)展；由此可見，它所涉及的范圍是多么的廣泛。由于時間緊迫以及我們對于知識的理解程度問題，只能將變換群與其他學(xué)科的聯(lián)系和應(yīng)用了解到這里。它們之間的聯(lián)系和應(yīng)用還會繼續(xù)或者增加。單參數(shù) Lie變換群的二階延拓?zé)醾鲗?dǎo)方程 ut=uxx允許為一個單參數(shù) Lie變換群，由此知作用于空間上無窮小生成元，相繼在這方面解決了遇到的不少難題。將Lie變換群延拓便于微分方程降階 ,并可用于進(jìn)一步研究微分方程的不變性。變換群不僅只在物理化學(xué)方面有重要地位，在經(jīng)濟學(xué)方面也含有較高的分量，在2003年內(nèi)蒙古自治區(qū)科技信息研究所發(fā)表的《內(nèi)蒙古科技與經(jīng)濟》一書中曾談到Lie變換群理論在微分方程中的應(yīng)用很廣泛 ,延拓是Lie變換群很重要的特征。分子熵的理論研究發(fā)展迅速,出現(xiàn)了包括李代數(shù)理論在內(nèi)的多種方法。而激光場中分子的演化特性的理論研究是目前分子動力學(xué)領(lǐng)域的一個熱門課題。而變換群作為數(shù)學(xué)的一部分，那么與化學(xué)也應(yīng)有著些許聯(lián)系和應(yīng)用。俗話說:數(shù)理化是一家。60年代以后,首先由 Lie應(yīng) 用于偏微分方程中的無限小變換群在力學(xué)中也得到了應(yīng)用. 我們在E33中曾給出了兩個自變量和一個因變量的偏微分方程應(yīng)用無限小變換群時的例子,他們用兩個自變量和兩個因變量的非線性偏微分方程組在充限小變換群下的應(yīng)用. 無限小變換群對于自變量為J,y,因變量為V的非線性偏微分方程組,從而在物理學(xué)中解決了當(dāng)時人們的很多難題，以致物理學(xué)的發(fā)展得到了空前的飛越。特別是由于超導(dǎo)加速器與強流束裝置的發(fā)展，非線性束流光學(xué)的研究變得更為重要，人們開始利用其它的數(shù)學(xué)工具來探索這方面的問題，其中Dragt提出的Lie代數(shù)方法和Berz提出的微分代數(shù)方法取得了引人注目的成就并運用于超大型對撞機的設(shè)計。束流光學(xué)的基本問題問題通常課歸結(jié)為求一個變換的本征相圖與求能保持一個發(fā)射相圖形狀不變的變換這樣兩類問題?，F(xiàn)在的問題是能否構(gòu)造一個和這個群同構(gòu)的群，把幾何問題轉(zhuǎn)化為非幾何問題，比如利用矩陣等來加以解決，總之，在幾何中運用變換群來幫助解決幾何問題，使幾何得到了空前的又一次飛越。準(zhǔn)確到同構(gòu)，八階群只有五種，事實上，當(dāng)群的階數(shù)等于一個素數(shù)n1的兩倍時，它只能是循環(huán)群或正n邊形對稱群。一個對稱圖形的反射變換和次中心對稱變換統(tǒng)稱為對稱變換。容易驗證合同變換具有以下性質(zhì)：⑴ 合同變換的逆變換還是合同變換；⑵合同變換的積仍是合同變換；⑶ 在合同變換下，共線點變?yōu)楣簿€點，共點線變?yōu)楣颤c線，射線變?yōu)樯渚€，角變?yōu)榻?，三角形仍變?yōu)槿切危覍?yīng)角相等，因而對應(yīng)的三角形全等。在幾何中，把平面變到自身的映射稱作變換?？臻g對一個平面是反射對稱，平面對于直線是成所謂軸對稱。1872年克萊因任愛爾朗根大學(xué)哲學(xué)部教授時，發(fā)表了“關(guān)于近代幾何研究的比較觀察”的論文，在這篇論文中，克萊因把幾何定義為在某種變化群下，研究圖形的不變性與不變量的學(xué)科。在甘肅科學(xué)技術(shù)情報研究所出版的《共軛變換和變換群發(fā)》、世界圖書出版公司出版的《微分幾何中的變換群》、《變換群與曲線?？臻g》、《變換群與李代數(shù)》等等，其實變換群在數(shù)學(xué)中的重要特點在于，一方面可以說它是一種非常具體的群，他的元素都具有明確的具體意義；另一方面，這種非常具體的群具有普遍的意義：它代表了一切可能的群。群論的重要性還體現(xiàn)在物理學(xué)和化學(xué)的研究中，因為許多不同的物理結(jié)構(gòu)，如晶體結(jié)構(gòu)和氫原子結(jié)構(gòu)可以用群論方法來進(jìn)行建模。群在抽象代數(shù)中具有基本的重要地位：許多代數(shù)結(jié)構(gòu)，包括環(huán)、域和模等可以看作是在群的基礎(chǔ)上添加新的運算和公理而形成的。（同理可知，也沒有逆元）上面的所以不能成為群，主要是和不是雙射（ 它們沒有逆元）因此，我們有定理1 設(shè)是的一些變換作成的集合，并且。令：為的全部變換組成的集合。 . 變換群概念的初始形成時期： 非歐幾何與群概念的誕生，是19世紀(jì)乃至整個數(shù)學(xué)史上重要的大事，它使人們重新認(rèn)識了數(shù)學(xué)與客觀世界的關(guān)系，發(fā)現(xiàn)自歐幾里得以來長期被認(rèn)可的空間觀念與算術(shù)理論，并非物質(zhì)世界的惟一描述，現(xiàn)實世界的數(shù)學(xué)描述可以是豐富多彩的；此外，還認(rèn)識到數(shù)學(xué)發(fā)展的動力并不惟一來自自然界，數(shù)學(xué)可以從自身獲得發(fā)展動力．這對19世紀(jì)的人來說，確實是一個從未有過的革命性觀念轉(zhuǎn)變，從對數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解上說，數(shù)學(xué)概念與物質(zhì)世界關(guān)系形式上的分離，在某種意義上是近兩個世紀(jì)數(shù)學(xué)蓬勃發(fā)展的必要前提．這種“分離”，使數(shù)學(xué)家獲得了“自由”．從而使數(shù)學(xué)步入一個“自由”創(chuàng)造時期．而這促使19世紀(jì)出現(xiàn)了非歐幾何、群以及變換群等全新的數(shù)學(xué)概念． 變換群思想的演變與發(fā)展時期： 隨后出現(xiàn)的各種稀奇古怪的數(shù)學(xué)“自由”創(chuàng)造物，迫使人們認(rèn)識到數(shù)學(xué)“人為性”的一面，并直接沖擊著人們固有的空間觀、數(shù)量觀，以及整個數(shù)學(xué)觀．越來越多脫離直觀、遠(yuǎn)離現(xiàn)實的“任意”對象的出現(xiàn)，也不斷引起數(shù)學(xué)家的擔(dān)心：數(shù)學(xué)源泉是否會因此干枯，濫用“自由”是否會使數(shù)學(xué)學(xué)科走向死亡．但數(shù)學(xué)自由創(chuàng)造、形式化、抽象化的趨勢，并未因為這種擔(dān)心而受到遏制，相反，以更快的速度朝著自己應(yīng)有的發(fā)展方向，走向新的未來．變換群的概念也隨著這樣的思想慢慢發(fā)生轉(zhuǎn)變，并且得到了一定得發(fā)展，而數(shù)學(xué)由此進(jìn)入現(xiàn)代發(fā)展時期． 變換群的研究方法以及現(xiàn)今的定義：任何一個重要的數(shù)學(xué)概念與方法的產(chǎn)生，都不會是某個數(shù)學(xué)家一時突然的發(fā)明，總會有一定的歷史背景與相應(yīng)的知識積累，往往都是許多數(shù)學(xué)家經(jīng)過幾十年、甚至成百上千年的努力，才逐步提煉發(fā)展而成．變換群，就概念的提出歸功于伽羅瓦(Galois，1811—1832，法國)，但其思想的產(chǎn)生與發(fā)展，與其他重要數(shù)學(xué)概念一樣，歷經(jīng)了曲折與艱難，更由于其思想的超前而不能被當(dāng)時數(shù)學(xué)家所認(rèn)識．因此，考察變換群概念發(fā)展的歷史，認(rèn)識變換群的研究方法在數(shù)學(xué)發(fā)展中的作用，具有一定