變換和置換群-文庫吧資料
2025-08-11 03:57本頁面
【正文】 ? 證明要點(diǎn)：對 k歸納 。這說明 X?Y, 同理可知 Y?X。若存在其它某個(gè)元素 u也在 ?s中 , 則 u只能在 m后面，則 ?(im)=?s(im) =u，同時(shí)又有 ?(im)= ?j(im)=i1, 矛盾。 置換的輪換乘積形式的唯一性 ? 如果置換 ?可以表示為 ?1?2… ?t和 ?1?2… ?l, 令 X={?1, ?2, … , ?t}, Y={?1, ?2, … , ?l , }, 則 X=Y ? 證明要點(diǎn)： ? 任取 ?j?X, 不失一般性，令 ?j=(i1 i2 … i m ) ? 由于 ?(i1)?i1, 必存在 ?s?Y, 使得 i1出現(xiàn)在 ?s中。最多只改變余下的 km個(gè)元素，由歸納假設(shè)， ?39。, ?39。 (否則：若 im+1=ij, j?1, 則 ?(ij1)=?(im)=ij, 與 ?是一對一的矛盾。 S是有限集，一定可以找到 im, 使得 i1, i2, …, i m均不同，但im+1?{i1, i2, …, i m}。 ? 對在 ?下 S中發(fā)生變化的元素的個(gè)數(shù) r 進(jìn)行歸納： r =0，即 ?是恒等置換。 ? x?{j1, j2, … , js}。 ?=(1 3)。 ?=(1 3 2)。 ? 記法： (i1 i2 … ik ) ? 例子：用輪換形式表示 S3的 6個(gè)元素： ? e=(1)。 (注意： a?0) 置換及其表示 ? 定義：有限集合 S上的雙射 ?:S?S稱為 S上的 n元置換 ? 記法： ?????????)(...)2()1(...21nn???? 置換的例子 ? 例子：集合 S={1,2,3}上共有 6個(gè)不同的置換 ， 它們的集合記為 S3 ： ? S3是最小的非交換群 ? 注意：質(zhì)數(shù)階群一定是可交換群 。 變換群的例子 ? R是實(shí)數(shù)集 ， G是 R上所有如下形式的變換構(gòu)成的集合： fa,b:R?R, ?x?R, fa,b(x)=ax+b (a,b是有理數(shù) ， a?0) 則 G是變換群 。 ? 結(jié)合律：變換乘法是關(guān)系復(fù)合運(yùn)算的特例 。 非空集合上所有的一一變換構(gòu)成群 ? 設(shè) A是任意的非空集合 ， A上 所有的 一一變換一定構(gòu)成群 。 ? 變換就是函數(shù) ， 變換的 “ 乘法 ” 就是函數(shù)復(fù)合運(yùn)算 。變換群和置換群 離散數(shù)學(xué) 第 15講 上一講內(nèi)容的回顧 ? 不變子群 ? 商群 ? 同態(tài)核 ? 自然同態(tài) ? 群同態(tài)基本定理 ? 同態(tài)基本定理的應(yīng)用 變換群與置換群 ? 變換和變換群 ? 置換及其表示 ? 置換群 ? 任意群與變換群同構(gòu) ? 置換群的應(yīng)用 變換和變換群 ? 定義： A是非空集合 ， f:A?A稱為 A上的一個(gè)變換 。 ? 經(jīng)常討論的是一一變換 ， 即 f是雙射 。 ? 集合 A上的一一變換關(guān)于變換乘法構(gòu)成的群稱為 變換群 。 ? 封閉
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