全等三角形專題講解-文庫吧資料
2025-06-13 15:37本頁面
【正文】 OB，BD⊥OA，∴∠ADC=∠BEC=．∵∠1＝∠2，∴CD=CE．在△ACD和△BCE中，∠ADC=∠BEC，CD=CE，∠3＝∠4．∴△ACD≌△BCE(ASA)，∴AC=BC．說明：本題若用全等方法證明點(diǎn)C到OA、OB距離相等，浪費(fèi)時間和筆墨，不如直接應(yīng)用角平分線性質(zhì)證明，原因在于同學(xué)們已經(jīng)習(xí)慣了用全等的方法，不善于直接應(yīng)用定理，仍去找全等三角形，結(jié)果相當(dāng)于重新證明了一次定理，以后再學(xué)新定理，應(yīng)用時要注意全等定勢的干擾，注意采用簡捷證法．例7 已知：如圖21，△ABC中，BD=CD，∠1＝∠2．求證：AD平分∠BAC．證明：過D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F． 圖21在△BED與△CFD中，∠1＝∠2，∠BED＝∠CFD＝，BD=CD，∴△BED≌△CFD(AAS)．∴DE＝DF，∴AD平分∠BAC．說明：遇到有關(guān)角平分線的問題時，可引角的兩邊的垂線，先證明三角形全等，然后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出垂線段相等，再利用角的平分線性質(zhì)得出兩角相等．（2）利用角的平分線構(gòu)造全等三角形①過角平分線上一點(diǎn)作兩邊的垂線段例8 如圖22，AB∥CD，E為AD上一點(diǎn)，且BE、CE分別平分∠ABC、∠BCD．求證：AE=ED．分析：由于角平分線上一點(diǎn)到角的兩邊的距離相等，而點(diǎn)E是兩條角平分線的交點(diǎn)，因此我們自然想到過點(diǎn)E分別作AB、BC、CD的垂線段．證明：過點(diǎn)E作EF⊥AB，交BA的延長線于點(diǎn)F，作EG⊥BC，垂足為G，作EH⊥CD，垂足為H．∵BE平分∠ABC，EF⊥AB，EG⊥BC，∴EF=EG．同理EG =EH．∴EF=EH．∵AB∥CD，∴∠FAE=∠D．∵EF⊥AB，EH⊥CD，∴∠AFE=∠DHE=90186。可以繞著點(diǎn)O自由轉(zhuǎn)動，就做成了一個測量工件，則A39。的中點(diǎn)O連在一起，使AA39。BF=BF，所以△GBF≌△DBF．所以∠G=∠BDF．所以∠ADC＝∠BDF．所以∠ADC＝∠BDF．說明：常見的構(gòu)造三角形全等的方法有如下三種：①涉及三角形的中線問題時，常采用延長中線一倍的方法，構(gòu)造出一對全等三角形；②涉及角平分線問題時，經(jīng)過角平分線上一點(diǎn)向兩邊作垂線，可以得到一對全等三角形；③證明兩條線段的和等于第三條線段時，用“截長補(bǔ)短”法可以構(gòu)造一對全等三角形．（5）會在實(shí)際問題中用全等三角形的判別方法新課標(biāo)強(qiáng)調(diào)了數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值，注意培養(yǎng)同學(xué)們應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識，形成解決簡單實(shí)際問題的能力﹒在近年中考出現(xiàn)的與全等三角形有關(guān)的實(shí)際問題，體現(xiàn)了這一數(shù)學(xué)理念，應(yīng)當(dāng)引起同學(xué)們的重視．例5 要在湖的兩岸A、B間建一座觀賞橋，由于條件限制，無法直接度量A，B兩點(diǎn)間的距離﹒請你用學(xué)過的數(shù)學(xué)知識按以下要求設(shè)計一測量方案﹒(1)畫出測量圖案﹒(2)寫出測量步驟（測量數(shù)據(jù)用字母表示）﹒ 圖5 (3)計算A、B的距離（寫出求解或推理過程，結(jié)果用字母表示）﹒分析：可把此題轉(zhuǎn)化為證兩個三角形全等．第(1)題，測量圖案如圖5所示．第(2)題，測量步驟：先在陸地上找到一點(diǎn)O，在AO的延長線上取一點(diǎn)C，并測得OC=OA，在BO的延長線上取一點(diǎn)D，并測得OD=OB，這時測得CD的長為，則AB的長就是．第(3)題易證△AOB≌△COD，所以AB=CD，測得CD的長即可得AB的長．解：(1)如圖6示．(2)在陸地上找到可以直接到達(dá)A、B的一點(diǎn)O，在AO的延長線上取一點(diǎn)C，并測得OC＝OA，在BO的延長線上取一點(diǎn)D，并測得OD＝OB，這時測出C
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