【正文】 值).因此我們可通過判定函數(shù)導(dǎo)數(shù)的正負(fù)來判定函數(shù)的增減性.判定方法：函數(shù)單調(diào)性的判定法 　 另外，若遇到 、 、 、 等型，通常是轉(zhuǎn)化為型后，在利用法則求解。 解答：此題為未定式中的型求解問題，利用羅彼塔法則來求解 例題：求 解答：容易看出此題利用以前所學(xué)的法則是不易求解的，因為它是未定式中的型求解問題，因此我們就可以利用上面所學(xué)的法則了。 例題：求 這種通過分子分母求導(dǎo)再來求極限來確定未定式的方法，就是所謂的羅彼塔(L39。 則：= 當(dāng)x→a(或x→∞)時，函數(shù),都趨于零或無窮大，在點a的某個去心鄰域內(nèi)(或當(dāng)│x│＞N)時，與都存在，≠0，且存在Hospital)法則 注：它是根據(jù)柯西中值定理推出來的。Hospital)法則，它就是這個問題的答案 則極限可能存在，也可能不存在，我們就把式子稱為未定式。 例題：證明方程在0與1之間至少有一個實根 注：這個定理是羅爾在17世紀(jì)初，在微積分發(fā)明之前以幾何的形式提出來的。 這個定理的特殊情形，即：的情形，稱為羅爾定理。 如果函數(shù)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，那末在(a,b)內(nèi)至少有一點c，使 注：這個結(jié)果就稱為微分學(xué)中值定理，也稱為拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理 設(shè)有連續(xù)函數(shù)，a與b是它定義區(qū)間內(nèi)的兩點(a＜b)，假定此函數(shù)在(a,b)處處可導(dǎo)，也就是在(a,b)內(nèi)的函數(shù)圖形上處處都由切線，那末我們從圖形上容易直到， 在給出微分學(xué)中值定理的數(shù)學(xué)定義之前，我們先從幾何的角度看一個問題，如下： ()三、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用微分學(xué)中值定理 　 解答：我們發(fā)現(xiàn)用計算的方法特別麻煩，為此把轉(zhuǎn)化為求微分的問題 復(fù)合函數(shù)的微分法則就是前面我們學(xué)到的微分形式不變性，在此不再詳述。 由函數(shù)和、差、積、商的求導(dǎo)法則，下面我們用表格來把微分的運算法則與導(dǎo)數(shù)的運算法則對照一下：函數(shù)和、差、積、商的求導(dǎo)法則函數(shù)和、差、積、商的微分法則 由于函數(shù)微分的表達(dá)式為：，于是我們通過基本初等函數(shù)導(dǎo)數(shù)的公式可得出基本初等函數(shù)微分的公式，下面我們用表格來把基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式與微分公式對比一下：(部分公式)導(dǎo)數(shù)公式微分公式微分運算法則 下面我們來學(xué)習(xí)———基本初等函數(shù)的微分公式與微分的運算法則基本初等函數(shù)的微分公式與微分的運算法則 　基本初等函數(shù)的微分公式 解答：把2x+1看成中間變量u，根據(jù)微分形式不變性，則 例題：已知，求dy于是我們又得出：當(dāng)△x→0時，△y≈： ，現(xiàn)在我們可以發(fā)現(xiàn)，它不僅表示導(dǎo)數(shù)的記號，而且還可以表示兩個微分的比值(把△x看成dx,即:定義自變量的增量等于自變量的微分)，還可表示為：由此我們得出：若函數(shù)在某區(qū)間上可導(dǎo)，則它在此區(qū)間上一定可微，反之亦成立。叫做函數(shù)在點x0相應(yīng)于自變量增量△x的微分，記作dy，即：=。從上式我們可以看出，△A分成兩部分，第一部分是△x的線性函數(shù)，即下圖中紅色部分；第二部分即圖中的黑色部分，當(dāng)△x→0時，它是△x的高階無窮小，表示為：由此我們可以發(fā)現(xiàn)，如果邊長變化的很小時，面積的改變量可以近似的用地一部分來代替。例題：已知x＞0，求此題若對其直接求導(dǎo)比較麻煩，我們可以先對其兩邊取自然對數(shù)，然后再把它看成隱函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，就比較簡便些。有些函數(shù)在求導(dǎo)數(shù)時，若對其直接求導(dǎo)有時很不方便，像對某些冪函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)時，有沒有一種比較直觀的方法呢？下面我們再來學(xué)習(xí)一種求導(dǎo)的方法：對數(shù)求導(dǎo)法對數(shù)求導(dǎo)法對數(shù)求導(dǎo)的法則：根據(jù)隱函數(shù)求導(dǎo)的方法，對某一函數(shù)先取函數(shù)的自然對數(shù)，然后在求導(dǎo)。 注：我們對隱函數(shù)兩邊對x進(jìn)行求導(dǎo)時，一定要把變量y看成x的函數(shù)，然后對其利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則進(jìn)行求導(dǎo)。例題：已知，求解答：此方程不易顯化， ，故=解答：，一般地，可得隱函數(shù)及其求導(dǎo)法則我們知道用解析法表示函數(shù)，像y=sinx，y=1+3x等，.一般地，如果方程F(x,y)=0中，令x在某一區(qū)間內(nèi)任取一值時，相應(yīng)地總有滿足此方程的y值存在，則我們就說方程F(x,y)=，叫做隱函數(shù)的顯化。例題：已知，求下面我們給出它的數(shù)學(xué)定義：定義：，記作或，即：，二階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)，叫做三階導(dǎo)數(shù)，三階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)，叫做四階導(dǎo)數(shù)，…，一般地(n1)階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做n階導(dǎo)數(shù).分別記作：，…，或，…，二階及二階以上的導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱高階導(dǎo)數(shù)。即： 是對y求導(dǎo)，是對x求導(dǎo)例題：求的導(dǎo)數(shù).解答：此函數(shù)的反函數(shù)為，故則：例題：求的導(dǎo)數(shù).解答：此函數(shù)的反函數(shù)為，故則：高階導(dǎo)數(shù)我們知道，在物理學(xué)上變速直線運動的速度v(t)是位置函數(shù)s(t)對時間t的導(dǎo)數(shù)，即： ，而加速度a又是速度v對時間t的變化率，即速度v對時間t的導(dǎo)數(shù)： ，或。 解答：反函數(shù)求導(dǎo)法則根據(jù)反函數(shù)的定義，函數(shù)為單調(diào)連續(xù)函數(shù)，則它的反函數(shù),，如下(我們以定理的形式給出)：定理：若是單調(diào)連續(xù)的，且，則它的反函數(shù)在點x可導(dǎo)，且有： 注：通過此定理我們可以發(fā)現(xiàn)：反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于原函數(shù)導(dǎo)數(shù)的倒數(shù)。例題：已知，求下面我們給出復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)規(guī)則規(guī)則：兩個可導(dǎo)函數(shù)復(fù)合而成的復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于函數(shù)對中間變量的導(dǎo)數(shù)乘上中間變量對自變量的導(dǎo)數(shù)。函數(shù)的商的求導(dǎo)法則法則：兩個可導(dǎo)函數(shù)之商的導(dǎo)數(shù)等于分子的導(dǎo)數(shù)與分母導(dǎo)數(shù)乘積減去分母導(dǎo)數(shù)與分子導(dǎo)數(shù)的乘積，在除以分母導(dǎo)數(shù)的平方。用公式可寫成： 例題：已知，求解答：函數(shù)的積的求導(dǎo)法則法則：兩個可導(dǎo)函數(shù)乘積的導(dǎo)數(shù)等于第一個因子的導(dǎo)數(shù)乘第二個因子，加上第一個因子乘第二個因子的導(dǎo)數(shù)。其中u、v為可導(dǎo)函數(shù)。若極限存在，我們就稱它為函數(shù)在x=x0處的右導(dǎo)數(shù)。 注：導(dǎo)數(shù)也就是差商的極限左、右導(dǎo)數(shù)前面我們有了左、右極限的概念，導(dǎo)數(shù)是差商的極限，因此我們可以給出左、右導(dǎo)數(shù)的概念。這時函數(shù)對于區(qū)間(a,b)內(nèi)的每一個確定的x值，都對應(yīng)著一個確定的導(dǎo)數(shù)，這就構(gòu)成一個新的函數(shù)，我們就稱這個函數(shù)為原來函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)。記為：還可記為：，函數(shù)在點x0處存在導(dǎo)數(shù)簡稱函數(shù)在點x0處可導(dǎo)，否則不可導(dǎo)。因此，在此段時間內(nèi)質(zhì)點的平均速度為：.若質(zhì)點是勻速運動的則這就是在t0的瞬時速度，若質(zhì)點是非勻速直線運動，則這還不是質(zhì)點在t0時的瞬時速度。二、導(dǎo)數(shù)與微分導(dǎo)數(shù)的概念在學(xué)習(xí)到數(shù)的概念之前，我們先來討論一下物理學(xué)中變速直線運動的瞬時速度的問題。 推論：在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)一定取得介于區(qū)間兩端點的函數(shù)值間的任何值。介值定理設(shè)函數(shù)在點x=x0連續(xù)，且，而函數(shù)在點u=u0連續(xù)，那末復(fù)合函數(shù)在點x=x0也是連續(xù)的初等函數(shù)的連續(xù)性通過前面我們所學(xué)的概念和性質(zhì)，我們可得出以下結(jié)論：基本初等函數(shù)在它們的定義域內(nèi)都是連續(xù)的；一切初等函數(shù)在其定義域內(nèi)也都是連續(xù)的.閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)則是在其連續(xù)區(qū)間的左端點右連續(xù)，下面我們來學(xué)習(xí)一下：最大值最小值定理：在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)一定有最大值和最小值。連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)及初等函數(shù)的連續(xù)性連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)函數(shù)的和、積、商的連續(xù)性我們通過函數(shù)在某點連續(xù)的定義和極限的四則運算法則，可得出以下結(jié)論：a)：有限個在某點連續(xù)的函數(shù)的和是一個在該點連續(xù)的函數(shù)；b)：有限個在某點連續(xù)的函數(shù)的乘積是一個在該點連續(xù)的函數(shù)；c)：兩個在某點連續(xù)的函數(shù)的商是一個在該點連續(xù)的函數(shù)(分母在該點不為零)；反函數(shù)的連續(xù)性若函數(shù)在某區(qū)間上單調(diào)增(或單調(diào)減)且連續(xù)，那末它的反函數(shù)也在對應(yīng)的區(qū)間上單調(diào)增(單調(diào)減)且連續(xù)例：函數(shù)在閉區(qū)間上單調(diào)增且連續(xù)，故它的反函數(shù)在閉區(qū)間[1,1]上也是單調(diào)增且連續(xù)的。此時函數(shù)不連續(xù)原因是：不存在或者是存在但≠。 例3：函數(shù)當(dāng)x→0時，左極限，右極限，從這我們可以看出函數(shù)左、右極限雖然都存在，但不相等，故函數(shù)在點x=0是不存在極限。注：一個函數(shù)若在定義域內(nèi)某一點左、右都連續(xù)，則稱函數(shù)在此點連續(xù)，否則在此點不連續(xù).注：連續(xù)函數(shù)圖形是一條連續(xù)而不間斷的曲線。函數(shù)的一重要性質(zhì)——連續(xù)性在自然界中有許多現(xiàn)象，如氣溫的變化，就是函數(shù)的連續(xù)性在定義函數(shù)的連續(xù)性之前我們先來學(xué)習(xí)一個概念——增量設(shè)變量x從它的一個初值x1變到終值x2，終值與初值的差x2x1就叫做變量x的增量，記為：△x即：△x=x2x1 增量△x可正可負(fù).我們再來看一個例子：函數(shù)在點x0的鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)自變量x在領(lǐng)域內(nèi)從x0變到x0+△x時，函數(shù)y相應(yīng)地從變到，其對應(yīng)的增量為：這個關(guān)系式的幾何解釋如下圖：現(xiàn)在我們可對連續(xù)性的概念這樣描述：如果當(dāng)△x趨向于零時，函數(shù)y對應(yīng)的增量△y也趨向于零，即：，那末就稱函數(shù)在點x0處連續(xù)。等價無窮小的性質(zhì)設(shè)，且存在，則.注：這個性質(zhì)表明：求兩個無窮小之比的極限時，分子及分母都可用等價無窮小來代替，因此我們可以利用這個性質(zhì)來簡化求極限問題。定理二：無窮小量的有利運算定理a)：有限個無窮小量的代數(shù)和仍是無窮小量； b)：有限個無窮小量的積仍是無窮小量；c)：常數(shù)與無窮小量的積也是無窮小量.無窮小量的比較通過前面的學(xué)習(xí)我們已經(jīng)知道，兩個無窮小量的和、？好！接下來我們就來解決這個問題，這就是我們要學(xué)的兩個無窮小量的比較。定義：設(shè)有函數(shù)，對于任意給定的正數(shù)ε(不論它多么小)，總存在正數(shù)δ(或正數(shù)M)，使得對于適合不等式(或)的一切x，所對應(yīng)的函數(shù)值滿足不等式，則稱函數(shù)當(dāng)(或x→∞)時 為無窮小量.記作：(或)注意：無窮大量與無窮小量都是一個變化不定的量，不是常量，只有0可作為無窮小量的唯一常量。為此我們可定義如下：設(shè)有函數(shù)y=，在x=x0的去心鄰域內(nèi)有定義，對于任意給定的正數(shù)N(一個任意大的數(shù))，總可找到正數(shù)δ，當(dāng)時，成立，則稱函數(shù)當(dāng)時為無窮大量。 我們先來看一個例子：例：符號函數(shù)為對于這個分段函數(shù),、右極限的概念。解答：注：通過此例題我們可以發(fā)現(xiàn)：當(dāng)分式的分子和分母都沒有極限時就不能運用商的極限的運算規(guī)則了，應(yīng)先把分式的分子分母轉(zhuǎn)化為存在極限的情形，然后運用規(guī)則求之。 在求函數(shù)的極限時，利用上述規(guī)則就可把一個復(fù)雜的函數(shù)化為若干個簡單的函數(shù)來求極限。 推論： d):則對于任給的ε＞0，總能找出δ，當(dāng)0＜＜δ時，＜ε成立，因此函數(shù)極限的運算規(guī)則前面已經(jīng)學(xué)習(xí)了數(shù)列極限的運算規(guī)則，我們知道數(shù)列可作為一類特殊的函數(shù)，故函數(shù)極限的運算規(guī)則與數(shù)列極限的運算規(guī)則相似。此定義的核心問題是：對給出的ε，是否存在正數(shù)δ，使其在去心鄰域內(nèi)的x均滿足不等式。我們先來看一個例子.例：函數(shù)，當(dāng)x→1時函數(shù)值的變化趨勢如何？函數(shù)在x=，在數(shù)軸上任何一個有限的范圍內(nèi)，都有無窮多個點，為此我們把x→1時函數(shù)值的變化趨勢用表列出,如下圖:從中我們可以看出x→1時，→，：只要與2只差一個微量ε，就一定可以找到一個δ，當(dāng)＜δ時滿足＜δ定義：設(shè)函數(shù)在某點x0的某個去心鄰域內(nèi)有定義，且存在數(shù)A，如果對任意給定的ε(不論其多么小)，總存在正數(shù)δ，當(dāng)0＜＜δ時，＜ε則稱函數(shù)當(dāng)x→x0時存在極限，且極限為A，記：。存在函數(shù)與常數(shù)A，任給一正數(shù)ε＞0，總可找到一正數(shù)X，對于適合的一切x，都滿足，函數(shù)當(dāng)x→∞時的極限為A，記：。我們已知道函數(shù)的極值的情況，那么函數(shù)的極限如何呢 ?下面我們結(jié)合著數(shù)列的極限來學(xué)習(xí)一下函數(shù)極限的概念!⑴、函數(shù)的極限(分兩種情況)a):自變量趨向無窮大時函數(shù)的極限定義：設(shè)函數(shù)，若對于任意給定的正數(shù)ε(不論其多么小)，總存在著正數(shù)X，使得對于適合不等式 的一切x，所對應(yīng)的函數(shù)值都滿足不等式函數(shù)的極限前面我們學(xué)習(xí)了數(shù)列的極限，已經(jīng)知道數(shù)列可看作一類特殊的函數(shù)，即自變量取 1→∞內(nèi)的正整數(shù)，若自變量不再限于正整數(shù)的順序，而是連續(xù)變化的，就成了函數(shù)。 1，1，1，1，…，(1)n+1，…注：有界的數(shù)列不一定收斂，即：數(shù)列有界是數(shù)列收斂的必要條件，但不是充分條件。 ⑸、數(shù)列的有界性：對于數(shù)列，若存在著正數(shù)M，使得一切都滿足不等式││≤M，則稱數(shù)列是有界的，若正數(shù)M不存在，則可說數(shù)列是無界的。 因不等式與不等式等價，故當(dāng)n＞N時，所有的點都落在開區(qū)間(aε，a+ε)內(nèi)，而只有有限個(至多只有N個)在此區(qū)間以外。 ⑷、數(shù)列的極限的幾何解釋：在此我們可能不易理解這個概念，下面我們再給出它的一個幾何解釋，以使我們能理解它。 ⑶、數(shù)列的極限：一般地，對于數(shù)列來說，若存在任意給定的正數(shù)ε(不論其多么小)，總存在正整數(shù)N，使得對于n＞N時的一切不等式都成立，那末就稱常數(shù)a是數(shù)列的極限，或者稱數(shù)列收斂于a .記作：或注：此定義中的正數(shù)ε只有任意給定，不等式才能表達(dá)出與a無限接近的意思。我們可以