【正文】 圓方程 )0(12222 ???? babyax得 byb ??? 由 (1)式知 2d 是 y 的二次函數(shù)，其對稱軸為 21??y 上述錯(cuò)解在于沒有就對稱軸在區(qū)間 ],[ bb? 內(nèi)或外進(jìn)行分類， 其正解應(yīng)對 f(y)= 34)21(3 22 ???? by 的最值情況進(jìn)行討論： （ 1）當(dāng) 21???b ，即 21?b 時(shí) 34)21( 2m a x2 ???? bfd =7 1??b ,方程為 14 22 ??yx （ 2）當(dāng) b???21 , 即 21?b 時(shí)， 7)(m ax2 ??? bfd ? 7?b 2123?? ，與 21?b 矛盾。 錯(cuò)解 由已知，有222241332beaabab? ??? ? ?? ??????? ?? ?? 解之得： 1,3 22 ?? ba 所以雙曲線方程為 13 22 ??yx 把直線 y=kx+m 代入雙曲線方程，并整理得： 0336)31( 222 ????? mk m xxk 所以 031 22 ????? km (1) 設(shè) CD 中點(diǎn)為 ),( 00 yxP ，則 AP ? CD，且易知： 2020 31,31 3 kmykkmx ???? 所以kkkmkmk AP 131313122 ?????? 143 2 ??? mk (2) 將 (2)式代入 (1)式得 042 ?? mm 解得 m4 或 0?m 故所求 m 的范圍是 ),4()0,( ????? ?m 剖析 上述錯(cuò)解，在于在減元過程中，忽視了元素之間的制約關(guān)系， 將 3 142 ?? mk 代入 (1) 式時(shí)， m 受 k 的制約。 且 35|| 21 ??OO ,點(diǎn) M 的軌跡為雙曲線右支，方程為)4(1449)25( 22????xyx 例題 11 點(diǎn) P 與定點(diǎn) F（ 2， 0）的距離和它到直線 x=8 的距離比是 1： 3,求動(dòng)點(diǎn) P 與定點(diǎn) )3,45(1P 距離的最值。 剖析：上述解法將 |||| 21 MOMO ? =3 看成 3|||||| 21 ?? MOMO ,誤認(rèn)為動(dòng)圓圓心的軌跡為雙曲線，這是雙曲線的概念不清所致。 例題 10 已知圓 1: 221 ?? yxO ，圓 :2O 091022 ???? xyx 都內(nèi)切于動(dòng)圓，試求動(dòng)圓圓心的軌跡方程。 解答：（ 1）由 21 ( 1) 14yx? ? ? ?得： 2( 1) 4( 1)xy? ? ? ?，故 1( 1,0)F? （ 2）設(shè)點(diǎn) 2( , )F xy ，則又雙曲線的定義得 1 2 1 2|| | | || || | | || 0AF AF BF BF? ? ? ? 又 21| | | | 2 2AF AF?? 22| | | |AF BF?? 或 2 2 1 1| | | | | | | | 4 2F A F B A F B F? ? ? ? ? 點(diǎn) 2F 的軌跡是以 ,AB為焦點(diǎn)的橢圓 ? 10x?? 除去點(diǎn) ( 1,0),( 1,4)??或 22( 1) ( 2 ) 184xy????除去點(diǎn) ( 1,0),( 1,4)?? 圖略。 易錯(cuò)原因：審題不清，忽略所求軌跡方程的范圍。 （ 2）求證方程 xxf ?)( 的兩實(shí)根 1x ， 2x 滿足 2|| 21 ??xx 解答：（ 1）設(shè) ( 2 , 2 ) , ( 2 , 2 ) , 0B s s D s s s? ? ? ? ? 因?yàn)? B,D 在拋物線上 所以222 ( 2 ) ( 2 )2 ( 2 ) ( 2 )s S b S cS S b S c? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? 兩式相減得 2 8 2s s sb?? ? 則 5b?? 代入（ 1） 得 22 4 4 10 5s s s s c? ? ? ? ? ? ? 288cs? ? ? ? 故點(diǎn) ( , )Nbc 的方程 5( 8)xy?? ? 是一條射 線。 ∴ z 最小＝ 3? （－ 2）＋ 5? （－ 1） = － 11。由圖知： z = 3x + 5y 應(yīng)在 A 點(diǎn)取得 最大值，在 C 點(diǎn)取得最小值。反之， 即為 Z 取得最小值的 點(diǎn)，并把這一認(rèn)識(shí)移到不同情況中加以應(yīng)用，由此造 成了解題失誤。 ∴ z 最大＝ 3? 23 ＋ 5? 25 = 17 。 由于經(jīng)過 A 點(diǎn)且與 L0 平行的直線與原點(diǎn)的距離最大， 故 z = 3x + 5y 在 A 點(diǎn)取得最大值。 由于經(jīng)過 B 點(diǎn)且與 L0 平行的直線與原點(diǎn)的距離最近， 故 z = 3 x + 5 y 在 B 點(diǎn)取得最小值。 它表示以（ 4， 2）為圓心，以 10 為半徑的圓，除去（ 3， 5）（ 5， 1）兩點(diǎn)。 剖析：因?yàn)?A、 B、 C 三點(diǎn)為三角形三個(gè)頂點(diǎn)，所以 A、 B、 C 三點(diǎn)不共線，即 B、 C 不能重合，且不能為圓 A 一直徑的兩個(gè)端點(diǎn)，這正是解題后沒有對軌跡進(jìn)行檢驗(yàn)，出現(xiàn)增解，造成的解題錯(cuò)誤。 錯(cuò)解：設(shè)另一個(gè)端點(diǎn)的坐標(biāo)為（ x ， y ），依題意有： AC = AB ，即： 22 )2()4( ??? yx = 22 )52()34( ??? ∴ （ x 4） 2 + (y 2) 2 = 10 即為 C 點(diǎn)的軌跡方程。 ??????????????????021022byy0 1)8(b4b 2212221byy 解得 1≤ b ≤ 2 。 （ * ） ∵ L 與曲線 C 有兩個(gè)公共點(diǎn)， ∴ ? = 4b2 – 8 ( b2 － 1 ) 0，解得－ 2 ＜ b＜ 2 剖析：上述解法忽視了方程 y = 21 x? 中 y ≥ 0 ，－ 1 ≤ x ≤ 1 這一限制條件，得出了錯(cuò)誤 的結(jié)論。 例題 5 已知直線 L： y = x + b 與曲線 C： y = 21 x? 有兩個(gè)公共點(diǎn)，求實(shí)線 b 的取值范圍。 剖析：本題的“陷阱”是方程 x2 + y2 + ax + 2y + a 2= 0 表示圓的充要條件，上述解法僅由條件得出 AC ＞ r ，即 a2 + a + 9 ＞ 0，卻忽視了 a 的另一制約條件 4 – 3 a2 ＞ 0。 即 22 )12()21( ???a ＞ 434 2a?。 ∵其圓心坐標(biāo)為 C（－ 2a ，－ 1），半徑 r ＝ 434 2a?。 例題 4 已知圓的方程為 x2 + y2 + ax + 2y + a2 = 0 ，一定點(diǎn)為 A（ 1， 2），要使過 A 點(diǎn)作圓的切線有兩條，求 a 的取值范圍。 錯(cuò)解：設(shè)所求方程為 1??ayax ，將（ 1， 1）代入得 a = 2， 從而得所求直線方程為 x + y – 2 = 0。其實(shí) x = 4 也符合題意。故所求直線的方程為 x + 5y – 6 = 0 。 例題 2 求過點(diǎn) A（ 4， 2）且與 x 軸的交點(diǎn)到（ 1， 0）的距離是 5 的直線方程。 事實(shí)上，直線與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形面積為 21 ba ，而不是 21 ab。 剖析：本題的“陷阱”是直線與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形面積的表示。 ∵（ 2， 1）在直線上，∴ 112 ??ba ， ① 又 4ab21 ＝ ，即 ab = 8 ， ② 由 ① 、 ② 得 a = 4， b = 2。 例題 1 求過點(diǎn)（ 2， 1）且與兩坐標(biāo)所圍成的三角形面積為 4 的直線方程。 過橢圓 12222 ??byax（ ab0） 左焦 點(diǎn)的 焦點(diǎn) 弦為 AB，則 )(2 21 xxeaAB ??? ，過右 焦點(diǎn) 的弦)(2 21 xxeaAB ??? ； 對于 y2=2px(p≠ 0)拋物線上的點(diǎn)的坐標(biāo)可設(shè)為（ py220， y0） ,以 簡化計(jì)算 。 中心在原點(diǎn)，坐標(biāo)軸為對稱軸的橢圓，雙曲線方程可設(shè)為 Ax2+Bx2＝ 1； 拋物線 y2=2px(p0)的焦點(diǎn)弦（過焦點(diǎn)的弦）為 AB， A（ x1,y1）、 B(x2,y2),則有如下結(jié)論：（ 1） AB ＝ x1+x2+p。 當(dāng) 2 2 2 2m in{ , } m a x { , }a b k a b??時(shí) ,表示雙曲線 . 直線與圓錐曲線相交的弦長公式 221 2 1 2( ) ( )A B x x y y? ? ? ?或 2 2 2 22 1 1 2 1 2( 1 ) ( ) | | 1 ta n | | 1 tA B k x x x x y y c o??? ? ? ? ? ? ? ? ?（弦端點(diǎn) A ),(),( 2211 yxByx ，由方程 ??? ??? 0)y,x(F bkxy 消去 y 得到 02 ??? cbxax ， 0?? ,? 為直線 AB 的傾斜角， k 為直線的斜率） . (八 ).圓錐曲線的兩類對稱問題 （ 1）曲線 ( , ) 0F x y ? 關(guān)于點(diǎn) 00( , )Px y 成中心對稱的曲線是 00( 2 , 2 ) 0F x x y y??. （ 2）曲線 ( , ) 0F x y ? 關(guān)于直線 0Ax By C? ? ? 成軸對稱的曲線是 2 2 2 22 ( ) 2 ( )( , ) 0A A x B y C B A x B y CF x yA B A B? ? ? ?? ? ???. 四．基本方法和數(shù)學(xué)思想 橢圓焦半徑公式：設(shè) P（ x0,y0）為橢圓 12222 ??byax（ ab0）上任一點(diǎn)，焦點(diǎn)為 F1(c,0),F2(c,0),則0201 , exaPFexaPF ???? （ e 為離心率）； 雙曲線焦半徑公式：設(shè) P（ x0,y0）為雙曲線 12222 ??byax（ a0,b0）上任一點(diǎn)，焦點(diǎn)為 F1(c,0),F2(c,0),則 : （ 1）當(dāng) P 點(diǎn)在右支上時(shí)， 0201 , exaPFexaPF ????? ； （ 2）當(dāng) P 點(diǎn)在左支上時(shí)， 0201 , exaPFexaPF ????? ；（ e 為離心率）； 另：雙曲線 12222 ??byax（ a0,b0）的漸進(jìn)線方程為 02222 ??byax； 拋物線焦半徑公式：設(shè) P（ x0,y0）為拋物線 y2=2px(p0)上任意一點(diǎn)， F 為焦點(diǎn)，則 20 pxPF ?? ； y2=2px(p＜ 0)上任意一點(diǎn)， F 為焦點(diǎn)， 20 pxPF ??? ； 涉及圓錐曲線的問題勿忘用定義解題； 共漸進(jìn)線 xaby ?? 的雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程為 ??(2222 ??byax為參數(shù)， ? ≠ 0）； 計(jì)算焦點(diǎn)弦長可利用上面的焦半徑公式， 一般地，若斜率為 k 的直線被圓錐曲線所截得的弦為 AB， A、 B 兩點(diǎn)分別為 A(x1， y1)、 B(x2,y2)，則弦長 ]4))[(1(1 212212122 xxxxkxxkAB ???????? ]4)[()11(11 212212122 yyyykyyk ????????? ,這里體現(xiàn)了解析幾何“設(shè)而不求”的解題思想； 橢圓、雙曲線的通徑（最短弦）為 ab22 ，焦準(zhǔn)距為 p=cb2 ，拋物線的通徑為 2p，焦準(zhǔn)距為 p。 （ 8）直線與拋物線的關(guān)系：直線與拋物線方程聯(lián)立之后得到一元二次方程： x2 +bx+c=0，當(dāng) a≠ 0 時(shí)，兩者的位置關(guān)系的判定和橢圓、雙曲線相同，用判別式法即可；但如果 a=0，則直線是拋物線的對稱軸或是和對稱軸平行的直線，此時(shí)，直線和拋物線相交，但只有一個(gè)公共點(diǎn)。 2 :ppy px P F x y px P F xx py P F y x py P F y? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? （ 7）焦點(diǎn)弦長公式：對于過拋物線焦點(diǎn)的弦長，可以用焦半徑公式推導(dǎo)出弦長公式。 3．拋物線 的幾何性質(zhì)，以標(biāo)準(zhǔn)方程 y2=2px 為例 （ 1）范圍： x≥ 0； （ 2）對稱軸：對稱軸為 y=0，由方程和圖像均可以看出； （ 3）頂點(diǎn)： O（ 0， 0），注：拋物線亦叫無心圓錐曲線（因?yàn)闊o中心）； （ 4）離心率： e=1，由于 e 是常數(shù)，所以拋物線的形狀變化是由方程中的 p 決定的； （ 5）準(zhǔn)線方程 2px?? ； （ 6）焦半徑公式：拋物線上一點(diǎn) P（ x1， y1）， F 為拋物線的焦點(diǎn)，對于四種拋物線的焦半徑公式分別為（ p＞ 0）： 22112 : 。 需強(qiáng)調(diào)的是，點(diǎn) F 不在直線 l 上，否則軌跡是過點(diǎn) F 且與 l 垂直的直線，而不是拋物線。解析幾何單元易錯(cuò)題練習(xí) 一．考試內(nèi)容： 橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程 .橢圓的簡單幾何性質(zhì) .橢圓的參數(shù)方程 . 雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程 .雙曲線的簡單幾何性質(zhì) . 拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程 .拋物線的簡單幾何性質(zhì) . 二．考試要求： 掌握橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程和橢圓的簡單幾何性質(zhì)，了解橢圓的參數(shù)方程 . 掌握雙曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程和雙曲線的簡單幾何性質(zhì) . 掌握拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程和拋物線的簡單幾何性質(zhì) . 了解圓錐曲線的初步應(yīng)用 . 【注意】圓錐曲線是解析幾何的重點(diǎn)，也是高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)內(nèi)容，高考中主要出現(xiàn)三種類型的試