優(yōu)控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)ppt課件-文庫(kù)吧資料
2025-05-12 00:31本頁(yè)面
【正文】 ?????? ??? ? ??X P X X P X X P X X P XA X B u P X X P X X P A X B uX P A P P A P B R B P XT T T TT T TTT由式 里卡德 (Ricatti)矩陣方程 ()可得 令 ， 于是可得 () 已知 R是正定矩陣 ,Q是半正定矩陣．因此式()右端必永遠(yuǎn)為負(fù)。因此 充分條件 可歸納為：R是正定的， Q和 S至少是半正定的。由于里卡德矩陣方程是一個(gè)非線性微分方程，雖然有一些求解的方法，但是解法很繁，只是在方程形式很簡(jiǎn)單的情況下，才能求得解析形式的解。 ②反饋矩陣 K 確實(shí)能夠求得，并能夠?qū)? 際實(shí)現(xiàn)。如圖 。 // 1[ ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ] 0()TTt t t tt t t t t t t?? ? ???P P A A PP B R B P Q X0)( ?tX1( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 6 . 1 6 )TTt t t tt t t t t t?? ? ? ??P P A A PP B R B P Qn n )1(21 ?nn 求它的解所需的 個(gè)邊界條件，可根據(jù)式()和式 ()給出的 終值條件 求得 : 即 : 于是利用里卡德矩陣方程，可以由已知的 時(shí)的 P 矩陣求出 時(shí)的值。 1? ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )()Tu t t t t ttt?? ? ? ?R B P XKX1 ( ) ( ) )) (( Ttt tt ?? RK B P P(t) 將式 ()代入式 ()后可得 () 由式 ()和式 ()可得 () 將式 ()代入式 ()可得 : 1( ) ( ) ( ) [ ( ) ( ) ( ) (( ) ( ) ( ) ))](X t tt t ttt t t tt??? ???TA X B R B P XA X B u()( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )Tt t tttt t t t??? ? ?Xλ P X Pλ Q X A P X 上式中，由于 ，所以必須有： 式中， P為一個(gè) 對(duì)稱正定矩陣，共有 個(gè)不同類項(xiàng)。由式 ()得 () 假定上面這個(gè)控制作用 u(t)可以用一個(gè)閉環(huán)控制來(lái)代替，而且能滿足伴隨方程式()的條件，設(shè) : () 將其代入式 ()，得 : )(tX)()()( ttt XP??)()()()( 1 tttt T λBRu ??? 式中 () 為反饋增益矩陣。 根據(jù)上一節(jié)所述的變分法原理求解。 ②終端時(shí)間無(wú)限 的最優(yōu)控制： 當(dāng)終端時(shí)間 時(shí)，終端狀態(tài) 進(jìn)入到給定的終端穩(wěn)定狀態(tài) ，所以性能指標(biāo)中 不應(yīng)有 末值項(xiàng)，此時(shí)積分項(xiàng)上限 為 。 這兩類問(wèn)題，又可根據(jù)要求的性能指標(biāo)不同，分為兩種情況： ① 終端時(shí)間有限 的最優(yōu)控制 ： 因?yàn)樗o控制時(shí)間 是有限的，這就限制了終端狀態(tài)，所以終端狀態(tài) 可以是自由的，也可以是受限制的，往往不可能要求 完全固定。\\\\5,28 2. 線性伺服器問(wèn)題 對(duì)被控對(duì)象施加控制，使其狀態(tài) 按照參考輸入的變化而變化 ，這就是伺服器問(wèn)題。 常見(jiàn)的二次型性能指標(biāo)最優(yōu)控制分兩類 : ① 線性調(diào)節(jié)器 ② 線性伺服器 —— 它們已在實(shí)際中得到了廣泛應(yīng)用。 Q(t) 中的各元體現(xiàn)了對(duì) X(t) 中各分量的重視程度，如果 Q(t) 中有些元素等于零，則說(shuō)明對(duì) X(t) 中對(duì)應(yīng)的狀態(tài)分量沒(méi)有任何要求，這些狀態(tài)分量往往對(duì)整個(gè)系統(tǒng)的控制性能影響較微小，由此也能說(shuō)明加權(quán)矩陣 Q(t)為什么可以是 正定或非負(fù)定對(duì)稱矩陣 。 求兩者之和的極小值，實(shí)質(zhì)上是求取在某種最優(yōu)意義下的 折衷 ，這種折衷側(cè)重哪一方面，取決于加權(quán)矩陣 Q(t)及 R(t)的選取。積分的 第二項(xiàng) 是對(duì)控制總能量的限制 ，如果僅要求控制誤差盡量小，則可能造成求得的控制向量 u(t)過(guò)大，控制能量消耗過(guò)大，甚 至在實(shí)際上難以實(shí)現(xiàn)。 ft)( ftX 式 (）右側(cè)的 積分項(xiàng) 是一項(xiàng)綜合指標(biāo)。 00( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , ( )t t t t t t? ? ?X A X B u X X01( ) ( )21[ ( ) ( ) ( ) ( ) ]2( ) ( )fTfftTTtJ t tt t t t dttt????XXX X u uSQR 對(duì)性能指標(biāo)的意義加以了解與討論是非常必要的。 下面介紹什么是 二次型性能指標(biāo)的最優(yōu) 控制 給定一個(gè) n階線性控制對(duì)象，其狀態(tài)方程是 () 尋求最優(yōu)控制 u(t)，使性能指標(biāo) () 達(dá)到極小值。 線性調(diào)節(jié)器問(wèn)題 一、二次型性能指標(biāo)的最優(yōu)控制 在現(xiàn)代控制理論中，基于二次型性能指標(biāo)進(jìn)行最優(yōu)設(shè)計(jì)的問(wèn)題已成為最優(yōu)控制理論中的一個(gè)重要問(wèn)題。即 : 由于 可得貫截條件方程為 () 為待定常數(shù)乘子。 由龐德亞金方程可知，初端與終端的各種不同情況都將影響貫截方程，即貫截條件，這 一點(diǎn)是較難掌握的。 ??????????????????????????????????控制方程u伴隨方程Xλ系統(tǒng)方程uXX貫截方程λXX0),(00HHHtffttT?????⑥ 極小值存在的 充分條件 是：沿著滿足 的一切軌線， J的 二次變分必須非負(fù) 。 所以新的性能指標(biāo)為 : [ ( ) , ( ) , ( ) , ][ ( ) , ( ) , ] ( ) [ ( ) , ( ) , ]TH t t t tt t t t f t t t? ? ?X u λX u λ Xu00[ ( ) , ][ ( ) , ( ) , ( ) , ] ( ) ]{}fftttTtJ t tH t t t t t dt?? ????XX u λ Xλ ③ 對(duì) 的最后一項(xiàng)進(jìn)行 分部積分 ∵ ∴ ④求 對(duì)控制向量及狀態(tài)向量的 一次變分 ，并利用內(nèi)積可換位性質(zhì)（為方便，以下用 J代 ） ,有： J?000( ) ( ) ( ) ( )ff ftt tT T Ttt X t d t t t d t???????λ λ XX00[ ( ) , ] ( ) ( )[ ( ) , ( ) , ] ( ) ]{}{}fTtTtfttJ t t t tH t t t t d t???? ? ? ???Xλ XX u X39。 另一種方法是 :組成新的泛函 J，求考慮約束的極值問(wèn)題，即 拉格朗日乘子法 。 由上述最優(yōu)控制的提法知，約束方程為狀態(tài)方程，所以現(xiàn)在的問(wèn)題成為 有約束條件的泛函極值問(wèn)題 ， 即在狀態(tài)空間中，在曲面 上找出極值曲線。 ),( tuf XX ??],[ 0 ftt 給定 ：始點(diǎn)與終點(diǎn)的時(shí)間固定，狀態(tài)自由。 無(wú)約束最優(yōu)控制的變分方法 所謂無(wú)約束，是指控制作用 u(t)不受不等式的約束，可以在整個(gè) r
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