【正文】 I ω稱為截面的翹曲剛度。 不同截面的扇性慣性矩是不同的，見(jiàn)附錄 。 2hu φ?2222zdd2hzdud φ??其曲率為： x y φ Vf Vf o h h / 2 y z x Mf Mf + dM f Vf + dVf Vf dz 2222zddIE2hzdudIEM ?fff ?????（ 2） 正， 38 再依右圖所示上翼緣間的內(nèi)力平衡關(guān)系， 并忽略高階微量，可得： 上式可以改寫為： hV=M ω f0dz)VdV(MMdM ????? fffffdzMdV ff ?將式（ 2）代入（ 3）式，得到： 33zddIE2hV ?ff ??將式（ 4）代入（ 1）式， 即 中得到： 332zddIE2hM ω?f??4hI=2hI=I 2y2ωf y z x Mf Mf + dM f Vf + dVf Vf dz （ 3） （ 4） 即： 其中： Iω為翹曲扭轉(zhuǎn)常數(shù)或扇性慣性矩（又稱翹曲慣性矩）， 是約束扭轉(zhuǎn)計(jì)算中一個(gè)重要的截面幾何性質(zhì)。 剪力之間的力臂為 h，形成另一內(nèi)部扭矩，即約束扭 矩或翹曲扭矩，該扭矩為： 根據(jù)內(nèi)外扭矩的平衡關(guān)系可以寫出： M z = M k + Mω tw tw ?k ? ?kk IG=Mh τω hV=M ω f （ 1） 37 翹曲剪力可以用如下的方法求出。 τk沿板厚呈雙三角形分布，而 τω 視為沿板厚均勻分布。 開(kāi)口薄壁構(gòu)件在扭轉(zhuǎn)時(shí)由于翹曲 受到約束，構(gòu)件將產(chǎn)生如圖所示的上 下兩翼緣向相反方向的彎曲變形，進(jìn)而產(chǎn)生翹曲扭矩。 ② 板件中面內(nèi)的剪應(yīng)變?yōu)榱恪? 該假定與極薄的冷彎薄壁型鋼截面受扭后的變形條件 略有出入，實(shí)際上截面受扭以后是會(huì)產(chǎn)生一定的變形的， 但是開(kāi)口薄壁構(gòu)件，根據(jù)剛周邊假定得到的計(jì)算結(jié)果與試 驗(yàn)資料是吻合的。 計(jì)算約束扭轉(zhuǎn)采用下面兩個(gè)基本假定： AdAωω=ω A ssn ?ω=ω sn0=dAωA s?35 ① 在變形過(guò)程中，桿件橫截面的形狀保持不變。 在計(jì)算過(guò)程中，若適當(dāng)?shù)剡x擇扇性零點(diǎn)使 那么得到的扇性坐標(biāo)就是主扇性坐標(biāo)， 主扇性坐標(biāo)的計(jì)算公式為： 主扇性坐標(biāo)相當(dāng)于任意開(kāi)口薄壁構(gòu)件截面上任意點(diǎn)的 扇性坐標(biāo)減去全截面的平均扇性坐標(biāo)。 x S y A P dωs/2 切線 ρ s ds (a) x y S A P ωs/2 s (b) dsρ=ω s0 ss即： ?34 在計(jì)算過(guò)程中，選擇的截面上 s＝ 0 的 A點(diǎn)稱為扇性零 點(diǎn)，扇性零點(diǎn)是可以任意選定的。 ρsds為陰影面積的 2倍， dωs=ρs ds 可稱為微段扇性面積。 在圖 (a)中取一微段 ds，微段的中心線 兩端與剪心連線形成一個(gè)扇形，即圖中的 陰影部分。 3. 開(kāi)口薄壁截面構(gòu)件的約束扭轉(zhuǎn) 為分析約束扭轉(zhuǎn)， 首先敘述有關(guān)的基本概念。 作用在構(gòu)件上的自由扭矩 Mk為： 相應(yīng)的 板件 中 的最大剪應(yīng)力為： φ ：截面的扭轉(zhuǎn)角； υ39。 z y x Mz 32 2. 開(kāi)口薄壁構(gòu)件的自由扭轉(zhuǎn) 在鋼結(jié)構(gòu)課程中已學(xué)過(guò)開(kāi)口薄壁構(gòu)件的自由扭轉(zhuǎn)。 由于截面的翹曲程度不同，構(gòu)件截面所承受的扭矩分 為自由扭矩和約束扭矩兩部分，后者又稱為翹曲扭矩。 當(dāng)兩個(gè)相鄰截面的翹曲正應(yīng)力不相同時(shí)還會(huì)產(chǎn)生與其 平衡的剪應(yīng)力，稱為翹曲剪應(yīng)力，或稱扇性剪應(yīng)力。 Mt Mt 31 如果由于支承情況或外力作用 方式使構(gòu)件扭轉(zhuǎn)時(shí)截面的翹曲受到 約束，稱約束扭轉(zhuǎn)（彎曲扭轉(zhuǎn)）。 自由扭轉(zhuǎn)時(shí)， 截面上各點(diǎn)纖維在縱向均可自由伸縮， 各截面的翹曲變形相同，縱向纖維保持直線且長(zhǎng)度不變， 截面上只有剪應(yīng)力，無(wú)縱向正應(yīng)力。 非圓截面扭轉(zhuǎn)時(shí)，原來(lái)為平面的橫截面不再成為平 面，有的凹進(jìn)而有的凸出，這種現(xiàn)象稱為翹曲。 ? s0 0xx0 dsρSI1=x ? s0 0yy0 dsρSI1=y同理 令 Qy＝ 0， Qx ≠ 0, 列出力矩平衡方程可以得到： 29 常用截面剪切中心的位置： ① 雙軸對(duì)稱截面，剪切中心與形心重合； ② 單軸對(duì)稱截面，剪切中心在對(duì)稱軸上，具體位置通過(guò) 計(jì)算確定； ③ 矩形板中線相交于一點(diǎn)的截面，剪切中心在交點(diǎn)。 對(duì)于異形的開(kāi)口薄壁截面，需要通過(guò)上述步驟確定剪 切中心的位置。 令 Qx＝ 0， Qy ≠ 0，列出力矩平衡方程： ?s0 y t d s=S x ?s0 x t d s=S yy x A B s ds ρ0 P S o Qx Qy 切線 (b) dsρSIQdst)( τρxQ0s0 xxys0 00y ????先利用合力 Qy對(duì)形心的力矩等 28 在上兩式的積分中， s表示從截面上的起始點(diǎn) A到終點(diǎn) B 中心線長(zhǎng)度為 s的積分。 計(jì)算剪力流的力矩時(shí)，取從截面的形心 o到微段 ds中 心線的切線方向的垂直距離 ρ0為距，稱為極距。 x y z o A B τt (a) y x A B s ds ρ0 P S o Qx Qy 切線 (b) τt τt dz ds σ t sdst)(τtτ ???zdzt)(τtτ ???dzzt)(σtσ ???(c) 由于截面各部分的壁厚 沿壁厚 26 建立其在 z方向的力平衡微分 方程，得到： 由材料力學(xué)知： τt τt dz ds σ t sdst)(τtτ ???zdzt)(τtτ ???dzz t)(σtσ ???(c) 0zdtτzdsds t)( τtτsdtσsdzdz t)( σtσ ???????? ??????????? ???zt)( σst)( τ ???? ?：故xIM+yIM=σyyxx dzMd=Q yx dzMd=Q xyIxQ+IyQ=IxdzMd+IydzMd=dzσdyxxyyyxx 得到：ISQISQ=x t d sIQy t d sIQ=tτyyxxxys0yxs0xy ??（ a） 將上式代入式 （ a） 得到截面上任一點(diǎn)的剪力流為： 其中： Sx為自 A點(diǎn)至計(jì)算點(diǎn) P的曲線面積對(duì) x軸的靜矩， Sy為自 A點(diǎn)至計(jì)算點(diǎn) P的曲線面積對(duì) y軸的靜矩， y x A B s ds ρ0 P S o Qx Qy 切線 (b) 27 截面上剪力流在 x方向的諸分力的合力為 Qx，在 y方向 的諸分力的合力為 Qy ， Qx和 Qy兩力的交點(diǎn)稱為截面的剪 切中心，即圖（ b）中的 S點(diǎn)。 截面上各部分的壁厚 t (s)從 其起點(diǎn)開(kāi)始沿曲線坐標(biāo) s是變化 的，但在縱向即 z軸方向，假定 壁厚是相同的， 都較薄，可以認(rèn)為橫向荷載產(chǎn)生的剪應(yīng) 力 τ沿壁厚 t (s) 是均勻分布的， 中心線方向單位長(zhǎng)度的剪力是 τt ，其 方向與中心線的切線方向一致，稱之為剪力流。 確定任意開(kāi)口薄壁截面剪切中心的位置，宜采用剪力 流理論。 23 開(kāi)口薄壁構(gòu)件的扭轉(zhuǎn) 開(kāi)口薄壁構(gòu)件的剪力流和剪切中心 圖（ a），若橫向荷載通過(guò)截面形心， 梁僅產(chǎn)生彎曲變形，若橫向荷載不通過(guò) 截面形心，梁不僅產(chǎn)生彎曲變形，同時(shí) 還會(huì)產(chǎn)生扭轉(zhuǎn)變形； 在圖（ b）中，即使橫向荷載通過(guò)截面形心，梁除產(chǎn) 生彎曲變形外，還會(huì)產(chǎn)生扭轉(zhuǎn)變形。 部分加勁板件中卷邊的高厚比不宜大于 12，卷邊的最 小高厚比應(yīng)根據(jù)部分加勁板件的寬厚比按下表采用。 當(dāng)受壓板件的寬厚比大于計(jì)算出來(lái)的有效寬厚比時(shí)， 受壓板件的有效截面應(yīng)自截面的受壓部分按下圖所示扣除 其超出部分（即圖中不帶斜線部分）來(lái)確定，截面的受拉 部分全部有效。 受壓板件邊緣的最大控制應(yīng)力 σ1的取值： ① 在軸心受壓構(gòu)件中板件的最大控制應(yīng)力 σ1由構(gòu)件的最 大長(zhǎng)細(xì)比確定，即 ； ② 壓彎構(gòu)件截面上各板件的壓應(yīng)力分布不均勻系數(shù) ψ應(yīng) 由構(gòu)件毛截面按強(qiáng)度計(jì)算，不考慮雙力矩的影響。 當(dāng)計(jì)算板件僅一邊有鄰接板件，即計(jì)算板件為非加勁 板件或部分加勁板件，且鄰接板件受拉時(shí)，取 k1 = k1＇。1值按k各式的,時(shí)1當(dāng) ?? ψψ時(shí)，當(dāng) ≤ξ ξ1k 1 ?時(shí)，當(dāng) ? 0 . 0 5 )( ξ 0 . 9 30 . 1 1k 21 ??kkbcξc? 其中：21 當(dāng) k1 k1＇時(shí)，取 k1 = k1＇， k1＇為 k1的上限值。 ；時(shí)，當(dāng)；時(shí)，當(dāng) ψ0ψ0ψ 1 b=bb=b cc≥11 σkk205?ρ；＝時(shí)，取當(dāng) 1 . 1 5ψ α019 板件受壓穩(wěn)定系數(shù) k 按下列公式計(jì)算： ① 加勁板件 ② 部分加勁板件 最大壓應(yīng)力作用于支承邊 最大壓應(yīng)力作用于部分支承邊 ③ 非加勁板件 最大壓應(yīng)力作用于支承邊 時(shí)，當(dāng) 0≥1 ?ψ 2+=k 時(shí)，1當(dāng) ?ψ≥0 2+=k 時(shí)，1當(dāng) ≥ψ ψ6 . 6 8ψ 2+=k 1 1 . 5 9時(shí)，1當(dāng) ≥ψ ψψ 20 4 +=k 0 . 2 2時(shí)，當(dāng) 01 ?? ψ ψψ +=k 3 . 0 2 5時(shí)， ?ψ≥0 ψψ 255+=k 1 . 7 5時(shí)，1當(dāng) ≥≥ ψ ψψ +=k 20 最大壓應(yīng)力作用于自由邊 注： 受壓板件的板組約束系數(shù) k1按下列公式計(jì)算： 式中 b ：計(jì)算板件的寬度； c ：與計(jì)算板件鄰接的板件的寬度，如果計(jì)算板件兩 邊均有鄰接板件時(shí)，即計(jì)算板件為加勁板件 時(shí)，取壓應(yīng)力較大一邊的鄰接板件的寬度； k ：計(jì)算板件的受壓穩(wěn)定系數(shù)； kc ：鄰接板件的受壓穩(wěn)定系數(shù)，計(jì)算方法同 k 。 f y σ cr c/2 c/2 然后再等效轉(zhuǎn)化為兩側(cè)應(yīng)力為 fy 的矩形圖形。 板件有效寬度與板件厚度之比稱為有效寬厚比。 試驗(yàn)研究和理論分析證明，只要梁 翼緣和加勁肋沒(méi)有破壞，即使梁腹板失 去局部穩(wěn)定，鋼梁仍可繼續(xù)承載。 σ cr f y 加。 板的縱邊出現(xiàn)自相平衡的應(yīng)力。 構(gòu)件截面組成板件的分類示意圖 ① ① ① ① ① ① ② ② ② ③ ③ ③ ③ 加勁板件： 部分加勁板件： 非加勁板件： 15 屈曲后強(qiáng)度與有效寬厚比 當(dāng)板達(dá)到微微撓曲的臨界狀態(tài)時(shí)， 若板的邊緣保持直線不變 ，隨著撓度增 大，板的中面產(chǎn)生薄膜張力，即橫向拉 力，牽制板縱向變形的發(fā)展，提高板縱 向的承載力，這種薄板屈曲后的強(qiáng)度增 長(zhǎng)就稱為屈曲后強(qiáng)度。 13 結(jié)構(gòu)類別 項(xiàng)