【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 ?s0 y t d s=S x ?s0 x t d s=S yy x A B s ds ρ0 P S o Qx Qy 切線 (b) dsρSIQdst)( τρxQ0s0 xxys0 00y ????先利用合力 Qy對(duì)形心的力矩等 28 在上兩式的積分中， s表示從截面上的起始點(diǎn) A到終點(diǎn) B 中心線長(zhǎng)度為 s的積分。 從上兩式分析可知，截面剪切中心的坐標(biāo)只與截面的 形狀和尺寸有關(guān)，而與受力條件無關(guān)，即剪切中心僅是截 面的幾何性質(zhì)。 對(duì)于異形的開口薄壁截面，需要通過上述步驟確定剪 切中心的位置。 有些截面可以套用現(xiàn)成的計(jì)算公式，但有些截面，需 要先確定截面形心的位置，然后按照 上兩 式確定剪切中心 的位置。 ? s0 0xx0 dsρSI1=x ? s0 0yy0 dsρSI1=y同理 令 Qy＝ 0， Qx ≠ 0, 列出力矩平衡方程可以得到： 29 常用截面剪切中心的位置： ① 雙軸對(duì)稱截面，剪切中心與形心重合； ② 單軸對(duì)稱截面，剪切中心在對(duì)稱軸上，具體位置通過 計(jì)算確定； ③ 矩形板中線相交于一點(diǎn)的截面，剪切中心在交點(diǎn)。 （ a） （ b） c s c s (e) s c c s ( f ) s c c (g) s (h) s c (c) s c (d) 30 開口薄壁構(gòu)件的扭轉(zhuǎn) 1. 扭轉(zhuǎn)的形式 荷載作用線未通過剪切中心時(shí)，產(chǎn)生的扭轉(zhuǎn)分為自由 扭轉(zhuǎn)和約束扭轉(zhuǎn)。 非圓截面扭轉(zhuǎn)時(shí)，原來為平面的橫截面不再成為平 面，有的凹進(jìn)而有的凸出，這種現(xiàn)象稱為翹曲。 如果扭轉(zhuǎn)時(shí)軸向位移不受任何約 束，截面可自由翹曲，稱為自由扭轉(zhuǎn) 或圣維南扭轉(zhuǎn)（純扭轉(zhuǎn)）。 自由扭轉(zhuǎn)時(shí)， 截面上各點(diǎn)纖維在縱向均可自由伸縮， 各截面的翹曲變形相同，縱向纖維保持直線且長(zhǎng)度不變， 截面上只有剪應(yīng)力，無縱向正應(yīng)力。 對(duì)于等截面構(gòu)件，沿軸線方向各截面的剪應(yīng)力的分布 是相同的。 Mt Mt 31 如果由于支承情況或外力作用 方式使構(gòu)件扭轉(zhuǎn)時(shí)截面的翹曲受到 約束，稱約束扭轉(zhuǎn)（彎曲扭轉(zhuǎn)）。 約束扭轉(zhuǎn)時(shí)，構(gòu)件產(chǎn)生彎曲變 形， 截面上的纖維在縱向不能自由伸縮，從而產(chǎn)生縱向正 應(yīng)力，稱翹曲正應(yīng)力，或稱扇性正應(yīng)力。 當(dāng)兩個(gè)相鄰截面的翹曲正應(yīng)力不相同時(shí)還會(huì)產(chǎn)生與其 平衡的剪應(yīng)力，稱為翹曲剪應(yīng)力，或稱扇性剪應(yīng)力。 圖中 構(gòu)件的左側(cè)是固定的，截面完全受到約束，不能 發(fā)生翹曲， 其 它 截面，既有翹曲但又非自由變形 。 由于截面的翹曲程度不同，構(gòu)件截面所承受的扭矩分 為自由扭矩和約束扭矩兩部分，后者又稱為翹曲扭矩。 實(shí)際上承受扭矩作用的構(gòu)件大多數(shù)屬于此種情況。 z y x Mz 32 2. 開口薄壁構(gòu)件的自由扭轉(zhuǎn) 在鋼結(jié)構(gòu)課程中已學(xué)過開口薄壁構(gòu)件的自由扭轉(zhuǎn)。 自由扭轉(zhuǎn)時(shí)截面上的剪力流沿壁厚方向線性變化，在 壁厚中部剪應(yīng)力為零， 在兩壁面處達(dá)最大值 τ1 ，方向與壁厚中 心線平行，而且大小 相等方向相反，成對(duì)地形成扭矩。 作用在構(gòu)件上的自由扭矩 Mk為： 相應(yīng)的 板件 中 的最大剪應(yīng)力為： φ ：截面的扭轉(zhuǎn)角； υ39。 ：?jiǎn)挝婚L(zhǎng)度的扭轉(zhuǎn)角； Ik ：截面的抗扭慣性矩，又稱扭轉(zhuǎn)常數(shù)。 3. 開口薄壁截面構(gòu)件的約束扭轉(zhuǎn) 為分析約束扭轉(zhuǎn)， 首先敘述有關(guān)的基本概念。 tw tw ?1 ? ?ii tG=ItM=τ kkk? ?kk IG=M33 如右圖 (a)所示任意開口薄壁構(gòu)件截面， 其剪心 S的坐標(biāo)為（ x0， y0），剪心至截面 上任意點(diǎn)的垂直距離為 ρs 。 在圖 (a)中取一微段 ds，微段的中心線 兩端與剪心連線形成一個(gè)扇形，即圖中的 陰影部分。 陰影的面積相當(dāng)于以 ds為底邊，以 ρs 為三角形的高所形成的三角形面積。 ρsds為陰影面積的 2倍， dωs=ρs ds 可稱為微段扇性面積。 ωs是任意點(diǎn) P的扇性坐標(biāo)，它是以剪心為極點(diǎn)，從曲 線坐標(biāo) s＝ 0的起始點(diǎn) A至曲線坐標(biāo)為 s的任意點(diǎn) P所圍成的 面積的 2倍 ，即圖 (b)所示陰影面積的 2倍，又稱為扇性坐標(biāo)。 x S y A P dωs/2 切線 ρ s ds (a) x y S A P ωs/2 s (b) dsρ=ω s0 ss即： ?34 在計(jì)算過程中，選擇的截面上 s＝ 0 的 A點(diǎn)稱為扇性零 點(diǎn)，扇性零點(diǎn)是可以任意選定的。 通常從某一扇性零點(diǎn)開始，以逆時(shí)針得到的扇性坐標(biāo) 為正值，以順時(shí)針得到的扇性坐標(biāo)為負(fù)值，故 ωs的計(jì)算 值是帶有正負(fù)號(hào)的。 在計(jì)算過程中，若適當(dāng)?shù)剡x擇扇性零點(diǎn)使 那么得到的扇性坐標(biāo)就是主扇性坐標(biāo)， 主扇性坐標(biāo)的計(jì)算公式為： 主扇性坐標(biāo)相當(dāng)于任意開口薄壁構(gòu)件截面上任意點(diǎn)的 扇性坐標(biāo)減去全截面的平均扇性坐標(biāo)。 對(duì)于雙軸對(duì)稱截面，有 。 計(jì)算約束扭轉(zhuǎn)采用下面兩個(gè)基本假定： AdAωω=ω A ssn ?ω=ω sn0=dAωA s?35 ① 在變形過程中，桿件橫截面的形狀保持不變。 這一假定稱為截面形狀不變假定或剛周邊假定。 該假定與極薄的冷彎薄壁型鋼截面受扭后的變形條件 略有出入，實(shí)際上截面受扭以后是會(huì)產(chǎn)生一定的變形的， 但是開口薄壁構(gòu)件，根據(jù)剛周邊假定得到的計(jì)算結(jié)果與試 驗(yàn)資料是吻合的。有了該假定，可以簡(jiǎn)化計(jì)算。 ② 板件中面內(nèi)的剪應(yīng)變?yōu)榱恪? 只要組成構(gòu)件的諸板件其厚度與寬度之比小于等于 1/10，輪廓尺寸與構(gòu)件的長(zhǎng)度之比小于等于 1/10，那么構(gòu) 件彎曲和扭轉(zhuǎn)時(shí)中面產(chǎn)生的剪應(yīng)變是極微小的，它對(duì)構(gòu)件 受力的影響很小，可以忽略不計(jì)。 開口薄壁構(gòu)件在扭轉(zhuǎn)時(shí)由于翹曲 受到約束，構(gòu)件將產(chǎn)生如圖所示的上 下兩翼緣向相反方向的彎曲變形，進(jìn)而產(chǎn)生翹曲扭矩。 z y x Mz 36 梁扭轉(zhuǎn)時(shí)截面內(nèi)有如圖所示的自由 扭轉(zhuǎn)剪應(yīng)力 τk ，同時(shí)還有由于翼緣彎 曲而產(chǎn)生的翹曲剪應(yīng)力 τω。 τk沿板厚呈雙三角形分布，而 τω 視為沿板厚均勻分布。 自由扭轉(zhuǎn)剪應(yīng)力所產(chǎn)生的扭矩之和構(gòu)成內(nèi)部自由扭轉(zhuǎn) 力矩 Mk ，由前面已知 Mk應(yīng)為： 每一翼緣中翹曲剪應(yīng)力之和應(yīng)為翼緣中的彎曲剪力 Vf ，即在上下翼緣中形成大小相等、方向相反的剪力 Vf 。 剪力之間的力臂為 h，形成另一內(nèi)部扭矩，即約束扭 矩或翹曲扭矩，該扭矩為： 根據(jù)內(nèi)外扭矩的平衡關(guān)系可以寫出： M z = M k + Mω tw tw ?k ? ?kk IG=Mh τω hV=M ω f （ 1） 37 翹曲剪力可以用如下的方法求出。 如右圖，在距固定端為 z處的截面，若 產(chǎn)生扭轉(zhuǎn)角 φ 時(shí)，則上翼緣在 x軸方向的位 移為： 若取右下圖所示的彎矩方向?yàn)? 則依右上圖懸臂梁的約束扭轉(zhuǎn)變 形，彎矩與曲率間的關(guān)系可以寫成： 式中： M f ：一個(gè)翼緣的側(cè)向彎矩； I f ：一個(gè)翼緣繞 y 軸的慣性距， I f ≈I y / 2 。 2hu φ?2222zdd2hzdud φ??其曲率為： x y φ Vf Vf o h h / 2 y z x Mf Mf + dM f Vf + dVf Vf dz 2222zddIE2hzdudIEM ?fff ?????（ 2） 正， 38 再依右圖所示上翼緣間的內(nèi)力平衡關(guān)系， 并忽略高階微量，可得： 上式可以改寫為： hV=M ω f0dz)VdV(MMdM ????? fffffdzMdV ff ?將式（ 2）代入（ 3）式，得到： 33zddIE2hV ?ff ??將式（ 4）代入（ 1）式， 即 中得到： 332zddIE2hM ω?f??4hI=2hI=I 2y2ωf y z x Mf Mf + dM f Vf + dVf Vf dz （ 3） （ 4） 即： 其中： Iω為翹曲扭轉(zhuǎn)常數(shù)或扇性慣性矩（又稱翹曲慣性矩）， 是約束扭轉(zhuǎn)計(jì)算中一個(gè)重要的截面幾何性質(zhì)。 ? ????? ωω EIM（ 5） （ 6） 39 (6)式是由雙軸對(duì)稱工字形截面導(dǎo)出的，故僅適用于工 字形截面。 不同截面的扇性慣性矩是不同的，見附錄 。 將式 和 代入 M z = M k + Mω 中，即得約束扭轉(zhuǎn)的內(nèi)外扭矩平衡微分方程為： 式 (7) 為開口薄壁構(gòu)件約束扭轉(zhuǎn)計(jì)算的一般公式。 E I ω稱為截面的翹曲剛度。 由右圖已知一個(gè)翼緣的側(cè)向彎矩為 上下翼緣的彎矩大小相等但方向 相反，形成稱為雙力矩的一種內(nèi)力， ? ????? ωω EIM? ?kk IG=M?? ????? ωkz EIIG=M （ 7） 2222zddIE2hzdudIEM ?fff ?????y z x Mf Mf + dM f Vf + dVf Vf dz ? ????? 2ω hEI2)(1hMB ff40 將 (6)式即 代入 中，得 雙力矩的普遍公式： 比較上式和 知： 在外扭矩作用下的約束扭轉(zhuǎn)，構(gòu)件截面中產(chǎn)生以下三 種應(yīng)力： 雙軸對(duì)稱工字型截面翼緣因翹 曲而產(chǎn)生的翹曲正應(yīng)力和翹曲剪應(yīng) 力，如圖所示。 截面上任何一點(diǎn)的應(yīng)力可如受 彎構(gòu)件一樣按下式計(jì)算： 2hI=I 2ω f? ???? ωω EIBzdBdM ωω ?? ????? ωω EIM? ???? 2ω hEI2)(1B fσω τω Mf Mf x y z 41 最大翹曲正應(yīng)力為 ： 最大翹曲剪應(yīng)力為： 雙軸對(duì)稱工字型截面由自由扭矩 Mk產(chǎn)生的剪應(yīng)力為： 任意截面的翹曲應(yīng)力的計(jì)算公式為： xIMσ ωff?tISVτ 1ωff?? ????????? 4bhEzd υd4E b h2bIMσ22ω m a xff? ????????? 16 hbEzd υd16 hbEtISVτ 23321ω m a xff? ?ii tG=ItM=τ kkkIωBE ωσωnωnω ????? ?tISMtSEτωωωωω ?????? ?42 式中： Sω稱為翹曲靜矩，又稱為扇性靜矩，它是與截 面曲線坐標(biāo) s 對(duì)應(yīng)的一種幾何性質(zhì)。 即： 對(duì)