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正文內(nèi)容

輕型鋼結(jié)構(gòu)講義(6)(編輯修改稿)

2025-06-01 22:45 本頁面
 

【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 ?s0 y t d s=S x ?s0 x t d s=S yy x A B s ds ρ0 P S o Qx Qy 切線 (b) dsρSIQdst)( τρxQ0s0 xxys0 00y ????先利用合力 Qy對(duì)形心的力矩等 28 在上兩式的積分中, s表示從截面上的起始點(diǎn) A到終點(diǎn) B 中心線長(zhǎng)度為 s的積分。 從上兩式分析可知,截面剪切中心的坐標(biāo)只與截面的 形狀和尺寸有關(guān),而與受力條件無關(guān),即剪切中心僅是截 面的幾何性質(zhì)。 對(duì)于異形的開口薄壁截面,需要通過上述步驟確定剪 切中心的位置。 有些截面可以套用現(xiàn)成的計(jì)算公式,但有些截面,需 要先確定截面形心的位置,然后按照 上兩 式確定剪切中心 的位置。 ? s0 0xx0 dsρSI1=x ? s0 0yy0 dsρSI1=y同理 令 Qy= 0, Qx ≠ 0, 列出力矩平衡方程可以得到: 29 常用截面剪切中心的位置: ① 雙軸對(duì)稱截面,剪切中心與形心重合; ② 單軸對(duì)稱截面,剪切中心在對(duì)稱軸上,具體位置通過 計(jì)算確定; ③ 矩形板中線相交于一點(diǎn)的截面,剪切中心在交點(diǎn)。 ( a) ( b) c s c s (e) s c c s ( f ) s c c (g) s (h) s c (c) s c (d) 30 開口薄壁構(gòu)件的扭轉(zhuǎn) 1. 扭轉(zhuǎn)的形式 荷載作用線未通過剪切中心時(shí),產(chǎn)生的扭轉(zhuǎn)分為自由 扭轉(zhuǎn)和約束扭轉(zhuǎn)。 非圓截面扭轉(zhuǎn)時(shí),原來為平面的橫截面不再成為平 面,有的凹進(jìn)而有的凸出,這種現(xiàn)象稱為翹曲。 如果扭轉(zhuǎn)時(shí)軸向位移不受任何約 束,截面可自由翹曲,稱為自由扭轉(zhuǎn) 或圣維南扭轉(zhuǎn)(純扭轉(zhuǎn))。 自由扭轉(zhuǎn)時(shí), 截面上各點(diǎn)纖維在縱向均可自由伸縮, 各截面的翹曲變形相同,縱向纖維保持直線且長(zhǎng)度不變, 截面上只有剪應(yīng)力,無縱向正應(yīng)力。 對(duì)于等截面構(gòu)件,沿軸線方向各截面的剪應(yīng)力的分布 是相同的。 Mt Mt 31 如果由于支承情況或外力作用 方式使構(gòu)件扭轉(zhuǎn)時(shí)截面的翹曲受到 約束,稱約束扭轉(zhuǎn)(彎曲扭轉(zhuǎn))。 約束扭轉(zhuǎn)時(shí),構(gòu)件產(chǎn)生彎曲變 形, 截面上的纖維在縱向不能自由伸縮,從而產(chǎn)生縱向正 應(yīng)力,稱翹曲正應(yīng)力,或稱扇性正應(yīng)力。 當(dāng)兩個(gè)相鄰截面的翹曲正應(yīng)力不相同時(shí)還會(huì)產(chǎn)生與其 平衡的剪應(yīng)力,稱為翹曲剪應(yīng)力,或稱扇性剪應(yīng)力。 圖中 構(gòu)件的左側(cè)是固定的,截面完全受到約束,不能 發(fā)生翹曲, 其 它 截面,既有翹曲但又非自由變形 。 由于截面的翹曲程度不同,構(gòu)件截面所承受的扭矩分 為自由扭矩和約束扭矩兩部分,后者又稱為翹曲扭矩。 實(shí)際上承受扭矩作用的構(gòu)件大多數(shù)屬于此種情況。 z y x Mz 32 2. 開口薄壁構(gòu)件的自由扭轉(zhuǎn) 在鋼結(jié)構(gòu)課程中已學(xué)過開口薄壁構(gòu)件的自由扭轉(zhuǎn)。 自由扭轉(zhuǎn)時(shí)截面上的剪力流沿壁厚方向線性變化,在 壁厚中部剪應(yīng)力為零, 在兩壁面處達(dá)最大值 τ1 ,方向與壁厚中 心線平行,而且大小 相等方向相反,成對(duì)地形成扭矩。 作用在構(gòu)件上的自由扭矩 Mk為: 相應(yīng)的 板件 中 的最大剪應(yīng)力為: φ :截面的扭轉(zhuǎn)角; υ39。 :?jiǎn)挝婚L(zhǎng)度的扭轉(zhuǎn)角; Ik :截面的抗扭慣性矩,又稱扭轉(zhuǎn)常數(shù)。 3. 開口薄壁截面構(gòu)件的約束扭轉(zhuǎn) 為分析約束扭轉(zhuǎn), 首先敘述有關(guān)的基本概念。 tw tw ?1 ? ?ii tG=ItM=τ kkk? ?kk IG=M33 如右圖 (a)所示任意開口薄壁構(gòu)件截面, 其剪心 S的坐標(biāo)為( x0, y0),剪心至截面 上任意點(diǎn)的垂直距離為 ρs 。 在圖 (a)中取一微段 ds,微段的中心線 兩端與剪心連線形成一個(gè)扇形,即圖中的 陰影部分。 陰影的面積相當(dāng)于以 ds為底邊,以 ρs 為三角形的高所形成的三角形面積。 ρsds為陰影面積的 2倍, dωs=ρs ds 可稱為微段扇性面積。 ωs是任意點(diǎn) P的扇性坐標(biāo),它是以剪心為極點(diǎn),從曲 線坐標(biāo) s= 0的起始點(diǎn) A至曲線坐標(biāo)為 s的任意點(diǎn) P所圍成的 面積的 2倍 ,即圖 (b)所示陰影面積的 2倍,又稱為扇性坐標(biāo)。 x S y A P dωs/2 切線 ρ s ds (a) x y S A P ωs/2 s (b) dsρ=ω s0 ss即: ?34 在計(jì)算過程中,選擇的截面上 s= 0 的 A點(diǎn)稱為扇性零 點(diǎn),扇性零點(diǎn)是可以任意選定的。 通常從某一扇性零點(diǎn)開始,以逆時(shí)針得到的扇性坐標(biāo) 為正值,以順時(shí)針得到的扇性坐標(biāo)為負(fù)值,故 ωs的計(jì)算 值是帶有正負(fù)號(hào)的。 在計(jì)算過程中,若適當(dāng)?shù)剡x擇扇性零點(diǎn)使 那么得到的扇性坐標(biāo)就是主扇性坐標(biāo), 主扇性坐標(biāo)的計(jì)算公式為: 主扇性坐標(biāo)相當(dāng)于任意開口薄壁構(gòu)件截面上任意點(diǎn)的 扇性坐標(biāo)減去全截面的平均扇性坐標(biāo)。 對(duì)于雙軸對(duì)稱截面,有 。 計(jì)算約束扭轉(zhuǎn)采用下面兩個(gè)基本假定: AdAωω=ω A ssn ?ω=ω sn0=dAωA s?35 ① 在變形過程中,桿件橫截面的形狀保持不變。 這一假定稱為截面形狀不變假定或剛周邊假定。 該假定與極薄的冷彎薄壁型鋼截面受扭后的變形條件 略有出入,實(shí)際上截面受扭以后是會(huì)產(chǎn)生一定的變形的, 但是開口薄壁構(gòu)件,根據(jù)剛周邊假定得到的計(jì)算結(jié)果與試 驗(yàn)資料是吻合的。有了該假定,可以簡(jiǎn)化計(jì)算。 ② 板件中面內(nèi)的剪應(yīng)變?yōu)榱恪? 只要組成構(gòu)件的諸板件其厚度與寬度之比小于等于 1/10,輪廓尺寸與構(gòu)件的長(zhǎng)度之比小于等于 1/10,那么構(gòu) 件彎曲和扭轉(zhuǎn)時(shí)中面產(chǎn)生的剪應(yīng)變是極微小的,它對(duì)構(gòu)件 受力的影響很小,可以忽略不計(jì)。 開口薄壁構(gòu)件在扭轉(zhuǎn)時(shí)由于翹曲 受到約束,構(gòu)件將產(chǎn)生如圖所示的上 下兩翼緣向相反方向的彎曲變形,進(jìn)而產(chǎn)生翹曲扭矩。 z y x Mz 36 梁扭轉(zhuǎn)時(shí)截面內(nèi)有如圖所示的自由 扭轉(zhuǎn)剪應(yīng)力 τk ,同時(shí)還有由于翼緣彎 曲而產(chǎn)生的翹曲剪應(yīng)力 τω。 τk沿板厚呈雙三角形分布,而 τω 視為沿板厚均勻分布。 自由扭轉(zhuǎn)剪應(yīng)力所產(chǎn)生的扭矩之和構(gòu)成內(nèi)部自由扭轉(zhuǎn) 力矩 Mk ,由前面已知 Mk應(yīng)為: 每一翼緣中翹曲剪應(yīng)力之和應(yīng)為翼緣中的彎曲剪力 Vf ,即在上下翼緣中形成大小相等、方向相反的剪力 Vf 。 剪力之間的力臂為 h,形成另一內(nèi)部扭矩,即約束扭 矩或翹曲扭矩,該扭矩為: 根據(jù)內(nèi)外扭矩的平衡關(guān)系可以寫出: M z = M k + Mω tw tw ?k ? ?kk IG=Mh τω hV=M ω f ( 1) 37 翹曲剪力可以用如下的方法求出。 如右圖,在距固定端為 z處的截面,若 產(chǎn)生扭轉(zhuǎn)角 φ 時(shí),則上翼緣在 x軸方向的位 移為: 若取右下圖所示的彎矩方向?yàn)? 則依右上圖懸臂梁的約束扭轉(zhuǎn)變 形,彎矩與曲率間的關(guān)系可以寫成: 式中: M f :一個(gè)翼緣的側(cè)向彎矩; I f :一個(gè)翼緣繞 y 軸的慣性距, I f ≈I y / 2 。 2hu φ?2222zdd2hzdud φ??其曲率為: x y φ Vf Vf o h h / 2 y z x Mf Mf + dM f Vf + dVf Vf dz 2222zddIE2hzdudIEM ?fff ?????( 2) 正, 38 再依右圖所示上翼緣間的內(nèi)力平衡關(guān)系, 并忽略高階微量,可得: 上式可以改寫為: hV=M ω f0dz)VdV(MMdM ????? fffffdzMdV ff ?將式( 2)代入( 3)式,得到: 33zddIE2hV ?ff ??將式( 4)代入( 1)式, 即 中得到: 332zddIE2hM ω?f??4hI=2hI=I 2y2ωf y z x Mf Mf + dM f Vf + dVf Vf dz ( 3) ( 4) 即: 其中: Iω為翹曲扭轉(zhuǎn)常數(shù)或扇性慣性矩(又稱翹曲慣性矩), 是約束扭轉(zhuǎn)計(jì)算中一個(gè)重要的截面幾何性質(zhì)。 ? ????? ωω EIM( 5) ( 6) 39 (6)式是由雙軸對(duì)稱工字形截面導(dǎo)出的,故僅適用于工 字形截面。 不同截面的扇性慣性矩是不同的,見附錄 。 將式 和 代入 M z = M k + Mω 中,即得約束扭轉(zhuǎn)的內(nèi)外扭矩平衡微分方程為: 式 (7) 為開口薄壁構(gòu)件約束扭轉(zhuǎn)計(jì)算的一般公式。 E I ω稱為截面的翹曲剛度。 由右圖已知一個(gè)翼緣的側(cè)向彎矩為 上下翼緣的彎矩大小相等但方向 相反,形成稱為雙力矩的一種內(nèi)力, ? ????? ωω EIM? ?kk IG=M?? ????? ωkz EIIG=M ( 7) 2222zddIE2hzdudIEM ?fff ?????y z x Mf Mf + dM f Vf + dVf Vf dz ? ????? 2ω hEI2)(1hMB ff40 將 (6)式即 代入 中,得 雙力矩的普遍公式: 比較上式和 知: 在外扭矩作用下的約束扭轉(zhuǎn),構(gòu)件截面中產(chǎn)生以下三 種應(yīng)力: 雙軸對(duì)稱工字型截面翼緣因翹 曲而產(chǎn)生的翹曲正應(yīng)力和翹曲剪應(yīng) 力,如圖所示。 截面上任何一點(diǎn)的應(yīng)力可如受 彎構(gòu)件一樣按下式計(jì)算: 2hI=I 2ω f? ???? ωω EIBzdBdM ωω ?? ????? ωω EIM? ???? 2ω hEI2)(1B fσω τω Mf Mf x y z 41 最大翹曲正應(yīng)力為 : 最大翹曲剪應(yīng)力為: 雙軸對(duì)稱工字型截面由自由扭矩 Mk產(chǎn)生的剪應(yīng)力為: 任意截面的翹曲應(yīng)力的計(jì)算公式為: xIMσ ωff?tISVτ 1ωff?? ????????? 4bhEzd υd4E b h2bIMσ22ω m a xff? ????????? 16 hbEzd υd16 hbEtISVτ 23321ω m a xff? ?ii tG=ItM=τ kkkIωBE ωσωnωnω ????? ?tISMtSEτωωωωω ?????? ?42 式中: Sω稱為翹曲靜矩,又稱為扇性靜矩,它是與截 面曲線坐標(biāo) s 對(duì)應(yīng)的一種幾何性質(zhì)。 即: 對(duì)
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