【文章內容簡介】 ?s0 y t d s=S x ?s0 x t d s=S yy x A B s ds ρ0 P S o Qx Qy 切線 (b) dsρSIQdst)( τρxQ0s0 xxys0 00y ????先利用合力 Qy對形心的力矩等 28 在上兩式的積分中， s表示從截面上的起始點 A到終點 B 中心線長度為 s的積分。 從上兩式分析可知，截面剪切中心的坐標只與截面的 形狀和尺寸有關，而與受力條件無關，即剪切中心僅是截 面的幾何性質。 對于異形的開口薄壁截面，需要通過上述步驟確定剪 切中心的位置。 有些截面可以套用現成的計算公式，但有些截面，需 要先確定截面形心的位置，然后按照 上兩 式確定剪切中心 的位置。 ? s0 0xx0 dsρSI1=x ? s0 0yy0 dsρSI1=y同理 令 Qy＝ 0， Qx ≠ 0, 列出力矩平衡方程可以得到： 29 常用截面剪切中心的位置： ① 雙軸對稱截面，剪切中心與形心重合； ② 單軸對稱截面，剪切中心在對稱軸上，具體位置通過 計算確定； ③ 矩形板中線相交于一點的截面，剪切中心在交點。 （ a） （ b） c s c s (e) s c c s ( f ) s c c (g) s (h) s c (c) s c (d) 30 開口薄壁構件的扭轉 1. 扭轉的形式 荷載作用線未通過剪切中心時，產生的扭轉分為自由 扭轉和約束扭轉。 非圓截面扭轉時，原來為平面的橫截面不再成為平 面，有的凹進而有的凸出，這種現象稱為翹曲。 如果扭轉時軸向位移不受任何約 束，截面可自由翹曲，稱為自由扭轉 或圣維南扭轉（純扭轉）。 自由扭轉時， 截面上各點纖維在縱向均可自由伸縮， 各截面的翹曲變形相同，縱向纖維保持直線且長度不變， 截面上只有剪應力，無縱向正應力。 對于等截面構件，沿軸線方向各截面的剪應力的分布 是相同的。 Mt Mt 31 如果由于支承情況或外力作用 方式使構件扭轉時截面的翹曲受到 約束，稱約束扭轉（彎曲扭轉）。 約束扭轉時，構件產生彎曲變 形， 截面上的纖維在縱向不能自由伸縮，從而產生縱向正 應力，稱翹曲正應力，或稱扇性正應力。 當兩個相鄰截面的翹曲正應力不相同時還會產生與其 平衡的剪應力，稱為翹曲剪應力，或稱扇性剪應力。 圖中 構件的左側是固定的，截面完全受到約束，不能 發(fā)生翹曲， 其 它 截面，既有翹曲但又非自由變形 。 由于截面的翹曲程度不同，構件截面所承受的扭矩分 為自由扭矩和約束扭矩兩部分，后者又稱為翹曲扭矩。 實際上承受扭矩作用的構件大多數屬于此種情況。 z y x Mz 32 2. 開口薄壁構件的自由扭轉 在鋼結構課程中已學過開口薄壁構件的自由扭轉。 自由扭轉時截面上的剪力流沿壁厚方向線性變化，在 壁厚中部剪應力為零， 在兩壁面處達最大值 τ1 ，方向與壁厚中 心線平行，而且大小 相等方向相反，成對地形成扭矩。 作用在構件上的自由扭矩 Mk為： 相應的 板件 中 的最大剪應力為： φ ：截面的扭轉角； υ39。 ：單位長度的扭轉角； Ik ：截面的抗扭慣性矩，又稱扭轉常數。 3. 開口薄壁截面構件的約束扭轉 為分析約束扭轉， 首先敘述有關的基本概念。 tw tw ?1 ? ?ii tG=ItM=τ kkk? ?kk IG=M33 如右圖 (a)所示任意開口薄壁構件截面， 其剪心 S的坐標為（ x0， y0），剪心至截面 上任意點的垂直距離為 ρs 。 在圖 (a)中取一微段 ds，微段的中心線 兩端與剪心連線形成一個扇形，即圖中的 陰影部分。 陰影的面積相當于以 ds為底邊，以 ρs 為三角形的高所形成的三角形面積。 ρsds為陰影面積的 2倍， dωs=ρs ds 可稱為微段扇性面積。 ωs是任意點 P的扇性坐標，它是以剪心為極點，從曲 線坐標 s＝ 0的起始點 A至曲線坐標為 s的任意點 P所圍成的 面積的 2倍 ，即圖 (b)所示陰影面積的 2倍，又稱為扇性坐標。 x S y A P dωs/2 切線 ρ s ds (a) x y S A P ωs/2 s (b) dsρ=ω s0 ss即： ?34 在計算過程中，選擇的截面上 s＝ 0 的 A點稱為扇性零 點，扇性零點是可以任意選定的。 通常從某一扇性零點開始，以逆時針得到的扇性坐標 為正值，以順時針得到的扇性坐標為負值，故 ωs的計算 值是帶有正負號的。 在計算過程中，若適當地選擇扇性零點使 那么得到的扇性坐標就是主扇性坐標， 主扇性坐標的計算公式為： 主扇性坐標相當于任意開口薄壁構件截面上任意點的 扇性坐標減去全截面的平均扇性坐標。 對于雙軸對稱截面，有 。 計算約束扭轉采用下面兩個基本假定： AdAωω=ω A ssn ?ω=ω sn0=dAωA s?35 ① 在變形過程中，桿件橫截面的形狀保持不變。 這一假定稱為截面形狀不變假定或剛周邊假定。 該假定與極薄的冷彎薄壁型鋼截面受扭后的變形條件 略有出入，實際上截面受扭以后是會產生一定的變形的， 但是開口薄壁構件，根據剛周邊假定得到的計算結果與試 驗資料是吻合的。有了該假定，可以簡化計算。 ② 板件中面內的剪應變?yōu)榱恪? 只要組成構件的諸板件其厚度與寬度之比小于等于 1/10，輪廓尺寸與構件的長度之比小于等于 1/10，那么構 件彎曲和扭轉時中面產生的剪應變是極微小的，它對構件 受力的影響很小，可以忽略不計。 開口薄壁構件在扭轉時由于翹曲 受到約束，構件將產生如圖所示的上 下兩翼緣向相反方向的彎曲變形，進而產生翹曲扭矩。 z y x Mz 36 梁扭轉時截面內有如圖所示的自由 扭轉剪應力 τk ，同時還有由于翼緣彎 曲而產生的翹曲剪應力 τω。 τk沿板厚呈雙三角形分布，而 τω 視為沿板厚均勻分布。 自由扭轉剪應力所產生的扭矩之和構成內部自由扭轉 力矩 Mk ，由前面已知 Mk應為： 每一翼緣中翹曲剪應力之和應為翼緣中的彎曲剪力 Vf ，即在上下翼緣中形成大小相等、方向相反的剪力 Vf 。 剪力之間的力臂為 h，形成另一內部扭矩，即約束扭 矩或翹曲扭矩，該扭矩為： 根據內外扭矩的平衡關系可以寫出： M z = M k + Mω tw tw ?k ? ?kk IG=Mh τω hV=M ω f （ 1） 37 翹曲剪力可以用如下的方法求出。 如右圖，在距固定端為 z處的截面，若 產生扭轉角 φ 時，則上翼緣在 x軸方向的位 移為： 若取右下圖所示的彎矩方向為 則依右上圖懸臂梁的約束扭轉變 形，彎矩與曲率間的關系可以寫成： 式中： M f ：一個翼緣的側向彎矩； I f ：一個翼緣繞 y 軸的慣性距， I f ≈I y / 2 。 2hu φ?2222zdd2hzdud φ??其曲率為： x y φ Vf Vf o h h / 2 y z x Mf Mf + dM f Vf + dVf Vf dz 2222zddIE2hzdudIEM ?fff ?????（ 2） 正， 38 再依右圖所示上翼緣間的內力平衡關系， 并忽略高階微量，可得： 上式可以改寫為： hV=M ω f0dz)VdV(MMdM ????? fffffdzMdV ff ?將式（ 2）代入（ 3）式，得到： 33zddIE2hV ?ff ??將式（ 4）代入（ 1）式， 即 中得到： 332zddIE2hM ω?f??4hI=2hI=I 2y2ωf y z x Mf Mf + dM f Vf + dVf Vf dz （ 3） （ 4） 即： 其中： Iω為翹曲扭轉常數或扇性慣性矩（又稱翹曲慣性矩）， 是約束扭轉計算中一個重要的截面幾何性質。 ? ????? ωω EIM（ 5） （ 6） 39 (6)式是由雙軸對稱工字形截面導出的，故僅適用于工 字形截面。 不同截面的扇性慣性矩是不同的，見附錄 。 將式 和 代入 M z = M k + Mω 中，即得約束扭轉的內外扭矩平衡微分方程為： 式 (7) 為開口薄壁構件約束扭轉計算的一般公式。 E I ω稱為截面的翹曲剛度。 由右圖已知一個翼緣的側向彎矩為 上下翼緣的彎矩大小相等但方向 相反，形成稱為雙力矩的一種內力， ? ????? ωω EIM? ?kk IG=M?? ????? ωkz EIIG=M （ 7） 2222zddIE2hzdudIEM ?fff ?????y z x Mf Mf + dM f Vf + dVf Vf dz ? ????? 2ω hEI2)(1hMB ff40 將 (6)式即 代入 中，得 雙力矩的普遍公式： 比較上式和 知： 在外扭矩作用下的約束扭轉，構件截面中產生以下三 種應力： 雙軸對稱工字型截面翼緣因翹 曲而產生的翹曲正應力和翹曲剪應 力，如圖所示。 截面上任何一點的應力可如受 彎構件一樣按下式計算： 2hI=I 2ω f? ???? ωω EIBzdBdM ωω ?? ????? ωω EIM? ???? 2ω hEI2)(1B fσω τω Mf Mf x y z 41 最大翹曲正應力為 ： 最大翹曲剪應力為： 雙軸對稱工字型截面由自由扭矩 Mk產生的剪應力為： 任意截面的翹曲應力的計算公式為： xIMσ ωff?tISVτ 1ωff?? ????????? 4bhEzd υd4E b h2bIMσ22ω m a xff? ????????? 16 hbEzd υd16 hbEtISVτ 23321ω m a xff? ?ii tG=ItM=τ kkkIωBE ωσωnωnω ????? ?tISMtSEτωωωωω ?????? ?42 式中： Sω稱為翹曲靜矩，又稱為扇性靜矩，它是與截 面曲線坐標 s 對應的一種幾何性質。 即： 對