【正文】 為棱的二面角 A— OC— B 的余弦值等于 ______新疆源頭學(xué)子小屋 特級(jí)教師 王新敞htp::/ 15． 正三棱錐的一個(gè)側(cè)面的面積與底面積之比為 2∶ 3,則這個(gè)三棱錐的側(cè)面和底面所成二面角的度數(shù)為 _________新疆源頭學(xué)子小屋 特級(jí)教師 王新敞htp::/ 16．空間四點(diǎn) A、 B、 C、 D 中，每?jī)牲c(diǎn)所連線段的長(zhǎng)都等于 a，動(dòng)點(diǎn) P 在線段 AB 上，動(dòng)點(diǎn) Q在線段 CD 上，則 P 與 Q 的最短距離為 _________新疆源頭學(xué)子小屋 特級(jí)教師 王新敞htp::/ （一） 解答題 17. 已知 ABCD ，從平面 AC 外一點(diǎn) O 引向量 , , ,O E k O A O F K O B O G k O C O H k O D? ? ? ?， （ 1）求證：四點(diǎn) , , ,E F G H 共面； （ 2）平面 AC // 平面 EG ． 18. 如圖， P ABCD? 是正四棱錐 , 1 1 1 1ABCD A B C D? 是正方體，其中 2, 6AB PA??． （ Ⅰ ）求證： 11PA BD? ； （ Ⅱ ）求平面 PAD 與平面 11BDDB 所成的銳二面角 ? 的大小； O A B C D H F G E A1 CA1 BA1 AA1 B1 C1 D1 DA1 OA1 共 28 頁(yè) 第 21 頁(yè) （ Ⅲ ）求 1B 到平面 PAD 的距離． 19. 在四棱錐 PABCD 中，底面 ABCD 是矩形， 側(cè)棱PA 垂直于底面， E、 F 分別是 AB、 PC 的中點(diǎn)． （ 1）求證： //EF 平面 PAD； （ 2）當(dāng)平面 PCD 與平面 ABCD 成多大二面角時(shí)， 直線 ?EF 平面 PCD？ 20． （ 安徽省合肥市 2020 年高三第三次教學(xué)質(zhì)量檢測(cè) ） 已知，在如圖所示的幾何體 ABCED中， EC⊥面 ABC， DB⊥面 ABC， CE=CA=CB=2DB，∠ ACB=90176。,過(guò) O 點(diǎn)引∠ AOB 所在平面的斜線 OC，與 OA、 OB 分別成 45176。 (D)15176。 (B)45176。和 45176。 D． 30176。 B． 60176。 （ 5） 求平面與平面所成角的時(shí)，若用第 ○2 、 ○3 種方法，先要去判斷這個(gè)二面角的平面角是鈍角還是銳角，然后再根據(jù)我們所作出的判斷去取舍。讓人看起來(lái)一目了然。 我們現(xiàn)在來(lái)解決立體幾何的有關(guān)問(wèn)題的時(shí)候，注意到向量知識(shí)的應(yīng)用，如果可以比較容易建立坐標(biāo)系，找出各點(diǎn)的坐標(biāo)，那么剩下的問(wèn)題基本上就可以解決了，如果建立坐標(biāo)系不好做的話，有時(shí)求距離、角的時(shí)候也可以用向量，運(yùn)用向量不是很方便的時(shí)候，就用傳統(tǒng)的共 28 頁(yè) 第 18 頁(yè) 方法了！ 4．解題注意點(diǎn) （ 1） 我們現(xiàn)在提倡用向量來(lái)解決立體幾何的有關(guān)問(wèn)題，但是當(dāng)運(yùn)用向量不是很方便的時(shí)候，傳統(tǒng)的解法我 們也要能夠運(yùn)用自如。 （ 3） 平面與平面所成的角 求法： ○1 “一找二證三求”，找出這個(gè)二面角的平面角，然后再來(lái)證明我們找出來(lái)的這個(gè)角是我們要求的二面角的平面角，最后就通過(guò)解三角形來(lái)求。 （ 2） 直線和平面所成的角 求法： ○1 “一找二證三求”，三步都必須要清楚地寫(xiě)出來(lái)。 ○3 向量法，利用公式||||nnABd ? （其中 A、 B 分別為兩條異面直線上的一點(diǎn)， n 為這兩共 28 頁(yè) 第 17 頁(yè) 條異面直線的法向量） （ 2） 點(diǎn)到平面的距離 求法： ○1 “一找二證三求”，三步都必須要清楚地寫(xiě)出來(lái)。 2． 求距離： 求距離的重點(diǎn)在點(diǎn)到平面的距離，直線到平面的距離和兩個(gè)平面的距離可以轉(zhuǎn)化成點(diǎn)到平面的距離，一個(gè)點(diǎn)到平面的距離也可以轉(zhuǎn)化成另外一個(gè)點(diǎn)到這個(gè)平面的距離。 （ 4） 平面和平面相互垂直 證明方法： ○1 證明這兩個(gè)平面所成二面角的平面角為 90186。 （ 2） 直線和平面相互平行 證明方法： ○1 證明直線和這個(gè)平面內(nèi)的 一條直線相互平行； ○2 證明這條直線的方向量和這個(gè)平面內(nèi)的一個(gè)向量相互平行； ○3 證明這條直線的方向量和這個(gè)平面的法向量相互垂直。 三、 方法總結(jié) 1． 位置關(guān)系： （ 1） 兩條異面直線相互垂直 證明方法： ○1 證明兩條異面直線所成角為 90186。 當(dāng)且僅當(dāng) a＝a2，即 a＝ 2 時(shí)，等號(hào)成立 . ∴當(dāng) AD＝ ME＝ 2 時(shí)，滿足條件的球最大半徑為 2 1. 點(diǎn)評(píng)： 涉及球與棱柱、棱錐的切接問(wèn)題時(shí)一般過(guò)球心及多面體中的特殊點(diǎn)或線作截面，把空間問(wèn)題化歸為平面問(wèn)題，再利用平面幾何知識(shí)尋找?guī)缀误w中元素間的關(guān)系。 (II)若 ACD 為正三角形 ,試判斷點(diǎn) A 在平面 BCDE 內(nèi)的射影 G 是否在直線 EF 上 ,證明你的結(jié)論 ,并求角? 的余弦值新疆源頭學(xué)子小屋 特級(jí)教師 王新敞htp::/ 分析 :充分發(fā)揮空間想像能力，抓住不變的位置和數(shù)量關(guān)系，借助模型圖形得出結(jié)論，并給出證明 . 解析 : (I)證明 :EF 分別為正方形 ABCD 得邊 AB、 CD 的中點(diǎn) , ?EB//FD,且 EB=FD, ?四邊形 EBFD 為平行四邊形新疆源頭學(xué)子小屋 特級(jí)教師 王新敞htp::/ ?BF//ED. ,E F A E D B F A E D??平 面 而 平 面,? //BF 平面 ADE新疆源頭學(xué)子小屋 特級(jí)教師 王新敞htp::/ (II)如右圖 ,點(diǎn) A在平面 BCDE內(nèi)的射影 G 在直線 EF 上 ,過(guò)點(diǎn) A作 AG 垂直于平面 BCDE,垂足為 G, 連結(jié) GC,GD新疆源頭學(xué)子小屋 特級(jí)教師 王新敞htp::/ A D B C V x y 共 28 頁(yè) 第 15 頁(yè) ? ACD 為正三角形 ,?AC=AD. ?CG=GD. G 在 CD 的垂直平分線上 , ?點(diǎn) A 在平面 BCDE 內(nèi)的射影 G 在直線 EF 上 , 過(guò) G 作 GH垂直于 ED 于 H,連結(jié) AH,則 AH DE? ,所以 AHD? 為二面角 ADEC 的平面角新疆源頭學(xué)子小屋 特級(jí)教師 王新敞htp::/ 即 GAH ???. 設(shè)原正方體的邊長(zhǎng)為 2a,連結(jié) AF,在折后圖的 ? AEF 中 ,AF= 3a ,EF=2AE=2a,即 ? AEF為直角三角形 , AG EF AE AF? ? ?. 32AG a?? 在 Rt? ADE 中 , A H D E A E A D? ? ? 25AH a?? . 25aGH??, 1cos 4GHAH? ??新疆源頭學(xué)子小屋 特級(jí)教師 王新敞htp::/ 點(diǎn)評(píng)： 在平面圖形翻折成空間圖形的這類折疊問(wèn)題中，一般來(lái)說(shuō)，位于同一平面內(nèi)的幾何元素相對(duì)位置和數(shù)量關(guān)系不變：位于兩個(gè)不同平面內(nèi)的元素，位置和數(shù)量關(guān)系要發(fā)生變化，翻折問(wèn)題常用的添輔助線的方法是作棱的垂線。 nn，得 2022ta n 0aya x a z ?? ???? ? ???，． 可取 (tan 01)n ?? ， ， ，又 22 0B C a a??? ? ?????， ， 于是22 ta nπ 22s in s in621 ta naBCBC a? ??? ? ??nn，即 AB DV? ． 又 DC DV D? ， AB?∴ 平面 VCD ． 又 AB? 平面 VAB ， ∴ 平面 VAB? 平面 VCD ． （ Ⅱ ）設(shè)平面 VAB 的一個(gè)法向量為 ()x y z? ， ，n ， A D B C V x y z 共 28 頁(yè) 第 14 頁(yè) 則由 00A B D V??， 2 0 0 02 a????????， ， nn． 得 0 2ta n 02 2 2a x a yaax y a z ?? ? ???? ? ? ???，． 可取 (1 1 2 cot )?? ， ，n ，又 (0 0)BC a??， ， ， 于是2π 2s in s in622 2 c o tB C aBC a ??? ? ??nn， 即 AB VD? ．又 CD VD D? ， AB?∴ 平面 VCD ． 又 AB? 平面 VAB ． Ｖ A Ｃ Ｄ Ｂ 共 28 頁(yè) 第 13 頁(yè) ∴ 平面 VAB? 平面 VCD ． （ Ⅱ ）設(shè)平面 VAB 的一個(gè)法向量為 ()x y z? ， ，n ， 則由 00A B V D??，即 AB CD? ． 同理 222 1 1( 0) ta n 0 02 2 2 2 2aaA B V D a a a a a???? ? ? ? ? ? ? ?????， ， ， ，文 ) 如圖，在三棱錐 V ABC? 中， VC ABC⊥ 底 面 ， AC BC⊥ ， D是 AB 的中點(diǎn)，且 AC BC a??， π02VDC ????? ? ?????∠． （ I）求證：平面 VAB⊥ 平面 VCD ； （ II）試確定角 ? 的值，使得直線 BC 與平面 VAB 所成的角為 π6． 解法 1：（ Ⅰ ） AC BC a??∵ ， ACB∴ △ 是等腰三角形，又 D 是 AB 的中點(diǎn)， CD AB?∴ ，又 VC? 底面 ABC ． VC AB?∴ ．于是 AB? 平面 VCD ． 又 AB? 平面 VAB ， ∴ 平面 VAB? 平面 VCD ． （ Ⅱ ） 過(guò)點(diǎn) C 在平面 VCD 內(nèi)作 CH VD? 于 H ，則由（ Ⅰ ）知 CD? 平面 VAB ． 連接 BH ，于是 CBH? 就是直線 BC 與平面 VAB 所成的角． 依題意 π6CBH??，所以 在 CHDRt△ 中， 2 sin2CH a ?? ； 在 BHCRt△ 中， πsin 62aCH a??， 2sin 2? ?∴ ． π0 2???∵ ， π4??∴ ． 故當(dāng) π4?? 時(shí)，直線 BC 與平面 VAB 所成的角為 π6 ． 解法 2：（ Ⅰ ）以 CA CB CV， ， 所在的直線分別為 x 軸、 y 軸、 z 軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則 2( 0 0 0 ) ( 0 0 ) ( 0 0 ) 0 0 0 ta n2 2 2aaC A a B a D V a ????? ?????? ??， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 于是， 2 ta n2 2 2aaV D a ?????????， ， 022aaCD ???????， ， ( 0)AB a a??， ， ． 從而 2211( 0 ) 0 0 02 2 2 2aaA B CD a a a a??? ? ? ? ? ? ?????， ， ， ， 解法二：（ I）同解法一（ I） （ II）建立空間直角坐標(biāo)系， 的一個(gè)法向量分別為平面設(shè)平面則Q C DCDAQACQCCACD,),1,3 32,3 3(,31).1,3,0(),1,0,3(),0,3,0(),0,0,0(111111??? .33,1.033,00,0).3,1(.3,103,00,0),(),(222222211111111122221111???????????????????????????????????????????????zxzxyDQnDCnnzxzxyDAnDCnzyxnzyxn令由令由 )33,0,1(2 ??? n .6,2332211||||,c o s21212121???????????????nnnnnnnn 即平面 QDC 與平面 A1DC 所成銳二面角為 6? 點(diǎn)評(píng) ： 本題主要考查異面直線所成的角、線面角及二面角的一 般求法，綜合性較強(qiáng)新疆源頭學(xué)子小屋 特級(jí)教師 王新敞htp::/ 用平移法求異面直線所成的角，利用三垂線定理求作二面角的平面角，是常用的方法 . 例題 6. （ 福建省福州三中 2020 屆高三第三次月考 ） 如圖，正三棱柱 1 1 1ABC A BC? 的所有棱長(zhǎng)都是 2 ， D 是棱 AC 的中點(diǎn)， E 是棱 1CC 的中點(diǎn)， AE 交 1AD于點(diǎn) .H （ 1）求證： 1AE A BD? 平 面 ； （ 2）求二面角 1D BA A??的大?。ㄓ梅慈呛瘮?shù)表示）； （ 3）求