【正文】 （ ） 式中： Cv—— 粘度濾失控制系數(shù) ? ?213nxpvnCv????? （ ） 顯式有限差分的一個主要局限： 在計算中所用的時間步長不能超過某一臨界值，以確保穩(wěn)定性。 坐標系拉伸 如果： （ ） x在 0~L(t)之間變化時， X一直在 0~1之間。 另外的方法： ? 引入平面三維模型中討論的固定網(wǎng)格；它的優(yōu)點在于模擬初始階段不需要精度很高時，所需要的單元數(shù)相對較小，而隨著模擬的進行單元數(shù)要增加。這樣 壓力梯度 ： ? ? 211 1 ?? ??????iiiii xxppxp （ ） 由方程（ ） 得到新的速度后， 網(wǎng)格位置 的更新方程 ： ? ? ? ? ? ? tttutxttx iii ??????? （ ） 這就是拉格朗日動坐標方法，它的局限性在于： ? 網(wǎng)格點坐標隨流體移動，濾失引起每個單元收縮甚至隨著深入裂縫中而消失。如圖 （網(wǎng)格以數(shù)字編號 i=1代表端部，如果有必要它可以用于井筒中的新的單元）。 解這些耦合方程的方法： 網(wǎng)格點隨流體移動的顯式有限差分法 網(wǎng)格點隨流體移動的隱式有限差分法 在開始做裂縫演化模擬前，要先按照在第 中介紹的“固體力學解”，計算得到壓力 — 縫高 — 縫寬的關(guān)系（右平衡高度解）表。高溫下流體粘度降低；交聯(lián)劑可能引起流體粘度下降前初始粘度增加；模擬軟件中通過 K’和 n’在不同溫度下隨時間變化表而考慮進了溫度和時間的影響。 一般的 P3D模型不能代表幾方面的特征： ? 垂向縫寬變化對流體速度的影響 ? 局部失水，是用整個縫高同時失水估算的 ? 端部脫砂（ TSOs）后的流體濾失，流體流過支撐劑充填層時，忽略了流體的濾失 ? 由于對流或重力引起的支撐劑沉降 采用平均流速和寬度（寬度以橫截面積除以高度代替） 質(zhì)量守恒方程簡化為： ? ?iLL hutAxAu ???????? 2 （ ） 式中： u —— 平均橫截面 ul —— 每層的濾失速度 hl —— 每層的濾失高度 動量守恒方程簡化為： zxp xz?????? ? （ ） 對于具有性質(zhì) n和 K的冪律流體： nxxz zuK ?????????? （ ） 結(jié)合無滑移邊界條件，解方程 （ ） 得到通道中的平均流速： nnnxwnnkxpxpu??????????????????????????11221s g n （ ） 式中： sgn —— 量值標志 對于牛頓流體， n= μ=K； 上式變?yōu)?： xpwux ?????122 （ ） 求沿縫高方向的所有橫截面的總流速 ? 將方程（ ）中換成平均流速 ? 將方程（ ）從橫截面的縫底到縫頂積分 ? ? ? ?dyyuywq x?? （ ） 平均流速： nnfhAKxpxpAqu/112s g n?????????????????????????????????????（ ） 式中： Φ—— 通道函數(shù)： ? ? dyywhnnAhnnhfnnff2121142?????????????? （ ） 層流和紊流 ? 流體在平板間以低速無濾失流動，除入口較小區(qū)域外，任意流體元與流道的壁之間保持固定的距離，即層流流動，雷諾數(shù) NRe 2100即為層流 ? 紊流中會產(chǎn)生渦流并且流體不斷混合，混合又引起摩擦增加及不同的流動特征，雷諾數(shù)NRe2100即為紊流 壓裂液的流變性 ? 壓裂液常為冪律流體；冪律模型中的有效參數(shù)K’和 n’是剪切速率在以一定范圍內(nèi)通過室內(nèi)實驗導出的；實際中要考慮到剪切速率只會在有限范圍內(nèi)。此時方程（ ） 可簡化，得到： ?????????????????????fpaypaycpfIlIuhhphKK???? 22（ ） 式中： ?—— 產(chǎn)層與隔層的應力差 hpay和 σi—— 產(chǎn)層的厚度和應力 圖 （ ） 計算得到的縫高和凈壓力的關(guān)系曲線 盡管 （ ） 是一個特例，但它表明了兩個有實用意義的結(jié)論。最后與該解相關(guān)的縫寬剖面也可得到。 在高度平衡的假設(shè)條件下，固體力學解簡化為確定裂縫橫截面形狀與靜壓力或 pcp的函數(shù)關(guān)系。這種裂縫垂向縫端基本處于靜態(tài)的假設(shè)稱為 平衡高度假設(shè) 。 這個假設(shè)使得可將固體力學和斷裂力學解與流體流動分開： ? 平面應變暗指每一橫截面獨立作用與其他橫截面無關(guān)。這與平面模型相似，不過是 沿一個方向離散而不是兩個方向 。 該準則用所有邊界單元中心的應力與材料抗張強度相比，如果超過了該強度，那么假定單元張開。 ? 用抗張強度準則代替裂縫擴展而不是斷裂力學影響。 ? 在模擬前要估計裂縫的大致規(guī)模以確保采用合理的單元數(shù)。 在這種情況下，網(wǎng)格不移動，而是超過破裂準則時，裂縫破裂縫端前面的單元被打開，允許流體流動而成為裂縫的一部分，如圖 。這種解法的一種困難就是單元可能變得高寬比大、角度變小，如圖 ，這種數(shù)值方法一般用來解對于這種幾何形狀有問題的那些方程。 這些方程一般不適合分析解，需要數(shù)值模擬 這些方程也很難得到高效穩(wěn)定的數(shù)值解 原因 ? 解的不同部分相互耦合得很緊密 （如流體流動與固體變形） ? 縫寬與壓力之間存在非線性關(guān)系以及移動邊界問題的復雜性 ? 平面模型的數(shù)值模擬 ? 由 Clifton 和 Abou— Sayed首次進行的數(shù)值模擬方法 將由射孔孔眼起裂的一條裂縫分成數(shù)個相同的單元（一般為 16方格）然后開始對方程求解。對于平板流動，關(guān)系為： nnnKK ?????? ???312 （ ） 對于管流關(guān)系式為： nnnKK ?????? ???413 （ ） 平板間一維流動的冪律流體，平均流速： nnnnxwnnxpKu?????????????? ?????????1112211 （ ） 對當 n=1時，上式轉(zhuǎn)化牛頓流體方程，其中 K’被粘度代替，表 總結(jié)。在這種情況下可按方程（ ） 寫出 y方向的方程只是多了重力項。 上面的方程可以簡化為剪切流動方程 原因 應力分量： ?????? ???? zu xzx ??????????????zu yzy ??（ ） 將方程 （ ） 代入 （ ） 得到： ixxyxx zuxpyuuxuup22???????????????????? ?gzuxpyuuxuupiyyyyx ?? ?????????????????????22（ ） 如為沿縫長一維流動，方程 （ ） 可簡化為 ： xpzu x??????122（ ） 如不存在滑移（裂縫面處流體流速為零），方程（ ） 的解為： ? ?? ?22 22 1 wzxpu x ???? ? （ ） 對上式積分，得整個通道上的平均流速： xpwux ?????122 （ ） 單位高度的流速可以通過平均流速乘以縫寬w得到。 牛頓流體 對于牛頓流體，僅含有粘度 μ參數(shù)，應力分量為： ? ?uxu xxx ?????? ??? 32? ?uyu yyy ?????? ??? 32? ?uzu zzz ?????? ??? 32???????? ????????xuyu yxyxxy ??????????? ????????yuzu zyzyyz ????????? ???????? zuxu xzxzzx ???（ ） ? 對于不可壓縮流體，正應力方程中的第三項為零 ? 在平行板間一維流動，如不考慮濾失，兩個速度分量全部為零 ? 質(zhì)量守恒意味著第三個方程不能隨位置而改變。該方程可以擴展并根據(jù)壓裂地層的不同形狀而簡化（見旁注 6F）。 6E 擬三維模型中的水平耦合 ? 質(zhì)量守恒方程（描述流體流動）： ? ? ? ? ? ? 02 ????????????????Lyx uwtywuxwu ???? （ ） 可以寫為矢量形式： ? ? ? ? 02 ??????