【正文】 uu??? ? ? c o sp gy ??? ???0pz? ??同理， y方向和 z方向的運動方程簡化后的形式分別為 0 0,xxuuxz????，由 于 所以 ux僅僅是 y的函數(shù) 因此 x方向的運動方程可以寫作 22s i nddxup gxy? ? ?? ??? (357) c o s ( )p g y F x??? ? ? ?d ( )dp F xxx? ??22dd ( ) s inddxuFx gxy? ? ???c o sp gy ??? ???對 y方向的運動方程 積分，得： 上式對 x微分，得： 代入 (357）式，可得： 上式左邊是一個關(guān)于 x的函數(shù)，上式右邊是一個關(guān)于 y的函數(shù)，因此，若要使上式成立，等式兩邊都必須等于某一常數(shù) C 22d ( ) sindxuFx gCxy? ? ??? ? ??即1c o sp g y C x C??? ? ? ?0 ( ) c o sp p g y? ? ?? ? ?1()F x C x C??100 c o sC C p g? ? ?? ? ?上式對 x積分得： 代入 c o s ( )p g y F x??? ? ?得： 由于在液膜表面處 (y = δ)， p=p0(大氣壓 )，而且表面上的大氣壓力不隨 x而變化，由此可得 代入 得 液膜中的壓力分布方程為 1c o sp g y C x C??? ? ? ?/0px? ? ?上式對 x求導(dǎo)得： 2sin ( 2 )2xgu y y? ?????d, 0dxuyy???0 , 0xyu??把上式改寫為： 方程的邊界條件為： 22d s i ndxu gy? ????(358) 對式 (358)積分，并將邊界條件代入得： —— 流體作層流降膜流動時液膜內(nèi)速度分布方程 所以式 (357)變?yōu)? 22ds in 0dxup gxy? ? ?? ? ? ?? 方程的求解： 速度分布方程的應(yīng)用： 2sin ( 2 )2xgu y y? ?????從速度分布方程 2m a x s i n2gu ?? ???在 z方向單位寬度平板上通過的流體體積流量為 301d s i n3sxgV u y? ?? ?????平均流速 2sin13ssm VV gu A ?? ???? ? ??可以看出，當(dāng) y = δ時（即在氣液相界面處），流速取得最大值 （ 1）求液膜內(nèi)的最大流速 （ 2）求液膜厚度 由此可得液膜厚度 123si nmug???????????（ 3）求流動阻力（對壁面的曳力） s i nwF L b g b L? ? ? ?? ? ? ?0d sindxwyu gy? ? ? ? ????壁面處的剪應(yīng)力： 作用在長度為 L，寬度為 b的斜面上的曳力 F為 4 2e bd b? ???? ?降膜流動類型的判別： 依據(jù) —— 雷諾數(shù) (Re) 當(dāng) Re30 降膜流動為層流 當(dāng) 30Re250 降膜流動為漣漪流 當(dāng) Re250 降膜流動為湍流 注意此時雷諾數(shù)的定義中 d要用當(dāng)量直徑 de來代替 b —— 液膜的寬度 當(dāng) b δ時 4ed ??123mug??????????2max 2gu ????2( 2 )2xgu y y? ????如果液膜沿垂直固體壁面下降，相當(dāng)于 β = π /2。 本節(jié)主要討論液膜內(nèi)流體處于穩(wěn)態(tài)層流時液膜內(nèi)的速度分布和流動阻力問題。 在自身重力的作用下，液體在傾斜或垂直的壁面上呈膜狀下流。 第 5節(jié) 降膜流動 降膜流動 ? 固體表面?yxo液膜xu自由表面?如右圖所示，不可壓縮流體沿傾角為 β的平板表面作降膜流動。 0 ( )rruuzz?? ???? 不 考 慮 端 效 應(yīng) 影 響( 3 ) 0 ( )u ??? ?? 連 續(xù) 性 方 程 簡 化 的 結(jié) 果( 5 ) 0rzuu?? （ 一 維 流 動 ） 同理， θ方向和 z方向上的運動方程可分別簡化為 ()1 0rur r r??? ?? ???????θ方向 z方向 1 0dpz?? ?? 微分方程的求解 0u??? ?? 0uz?? ??由于 所以 uθ僅僅是 r 的函數(shù) 故 θ方向化簡后的運動方程可以寫作常微分方程的形式 d( )d1 0ddrur r r??? ????? (347) 1 1 1r r u r? ???，21Cu C rr? ??2222 122 2 1 1 2 122211 ( ) ( )rru r r rr r r? ? ? ? ???? ? ? ???? ??2 2 2 22 2 1 1 1 2 1 2122 2 2 22 1 2 1()r r r rC Cr r r r? ? ? ????? ， 方程的邊界條件為 2 2 2r r u r? ???， 對常微分方程 (347) 連續(xù)兩次積分得： 將邊界條件帶入得 于是，流體在兩圓筒間的速度分布方程為 (350) 速度分布方程的應(yīng)用 —— 計算流動阻力及測量粘度 根據(jù)第 3章的結(jié)論，柱坐標(biāo)系下 θ方向上的剪應(yīng)力與形變速率的關(guān)系為 1 rru urr r r???? ??? ?? ??????????????rurrr????? ?????? ??222 1 1 22 2 221()2()rrrr r r????? ????由于 ur=0，故上式可簡化為 將速度分布方程代入上式，化簡可得 12,0? ? ???如果外筒固定不動，內(nèi)筒以角速度 ω 轉(zhuǎn)動 (即 。 ()11 0zr uurur r r z????? ? ? ?? ? ?0rzuu?? 數(shù)學(xué)模型的建立與化簡 由于是軸對稱流動，因此同樣取柱坐標(biāo)系研究比較方便 ,，取 r為半徑方向， z為軸向， θ為周向。用于測量粘度的旋轉(zhuǎn)粘度計就是根據(jù)此原理制成的。即仍滿足 數(shù)學(xué)模型的建立與求解 只不過邊界條件發(fā)生了變化，這時的邊界條件變?yōu)? 1 0r r u??，2 0r r u??，2 2 2 2 11 2 121l n ( / )( ) ( )4 l n ( / )C r ru r r r rrr???? ? ? ?????(336a） (336b） 對 (324)式連續(xù)兩次積分，并將邊界條件代入得 21222111d 2 d()rm rAu u A u r rA r r ???? ??? ?式中的常數(shù) C可由平均流速求得，根據(jù)平均流速的定義式可得 將速度分布方程代入并積分，得 d 1 d dd d ddp urCz r r r???????????????（ 324） ? ?2222 2121218 lnmC r ru r rrr??? ?? ? ? ?????于是，不可壓縮流體在套管環(huán)隙間作軸向穩(wěn)態(tài)層流時的速度分布方程為： ? ?2222 2121218ddlnmdupCrr zrrrr?? ? ????由此解得： ? ?2 2 2 2 11 2 12222 21 2121212 l n ( / )( ) ( )l n ( / )lnmu rru r r r rrr rrrrrr??? ? ? ? ???? ???? 速度分布方程的應(yīng)用 ? ?2221m a x212 l nrrrrrr???（ 1）求套管環(huán)隙間的最大流速 套管環(huán)隙間的最大流速可以根據(jù)速度分布方程，以 u對 r求導(dǎo)得到： ? ?22212222 21 2121212 ()d120d ln ( / )lnmu rru rrrr r r rrrrr?? ?? ? ? ???? ????令解得： 將其代回速度分布方程得： 2 2 2 2 m a x 1m a x m a x 1 2 12 2 22 1 m a x 2 12 l n ( / )( ) ( )2 l n ( / )mu r ru r r r rr r r r r??? ? ? ? ????? ??（ 2）求套管環(huán)隙間的沿程壓力降 ? ?2222 2121218ddlnmdupCrr zrrrr?? ? ????Q由此可見，沿流動方向動壓力梯度為一常數(shù)，即動壓力沿流動方向呈線性變化，而靜壓力不變。 1r2rzum a xru由于流動是軸對稱的，故采用柱坐標(biāo)系求解運動方程比較方便。所以可將上式進一步寫為 dd 1dd d dzd up rCz r r r???????????????該方程的邊界條件為 d0 0 ( )durr??， 中 心 對 稱0ir r u??， （ 壁 面 不 滑 脫 ）（ 324） （ 324a） （ 324b） 微分方程的求解 212ln4Cu r C r C?? ? ?212=0 4 iCC C r???，22()4 iCu r r???對式 (324)兩側(cè)積分可得方程的通解 : 由邊界條件式 (324a)和 (324b)求得積分常數(shù) 由此可得速度分布式為 式中的常數(shù) C可以管內(nèi)平均流速 um求得。 ( 3) : 0 ( )zzuu?????? 軸 對 稱 流 動22( 4 ) : 0 。 對于封閉管道內(nèi)的流動，屬于無自由表面的情況，所以采用以動壓力表示的運動方程較為方便。 數(shù)學(xué)模型的建立 由于管內(nèi)流動屬于軸對稱流動，故采用柱坐標(biāo)系下的運動方程較為方便?，F(xiàn)考察粘性不可壓縮流體在水平圓管內(nèi)的穩(wěn)態(tài)層流，并設(shè)所考察的部位遠離管路進出口。 4 1 822 ( 1 )edm??????當(dāng)量直徑 平均流速 4 / 3 6 0 00 . 0 1 1 1 /1 0 . 1mu m s???雷諾數(shù) 30 .1 8 2 0 .0 1 1 1 1 0 0 0 1 5 4 6 2 0 0 01 .3 0 7 1 0emduRe ?????? ? ? ??22ma x3112xmyyu u ubb? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?所以速度分布可以用下面的公式來計算 2223 0 . 0 1 1 1 1 6 . 6 6 ( 0 . 0 0 2 5 )2 ( 0 . 0 5 )y y??? ? ? ? ? ?????單位長度管道的壓力降可以用式（ 3－ 17）來計算 3 222d3 3 1 . 3 0 7 1 0 0 . 0 1 1 1/ 0 . 0 1