【正文】 1 ??? ?? ? 令 z?y?1? 則上述方程成為 xazxdxdz ln1 ??? ? 這是一個(gè)線性方程 ? 它的通解為 ])( ln2[ 2xaCxz ?? ? 以 y?1代 z ? 得所求方程的通解為 1])( ln2[ 2 ?? xaCyx ? xayxdxdyy ln1 12 ?? ?? ? 即 xayxdxyd ln1)( 11 ??? ?? ? 下頁(yè)?上頁(yè) 下頁(yè) 鈴 結(jié)束 返回 首頁(yè) 例 3 求 4dyy x yd x x?? ? ?0 , 0yx??的通解 . 解 : 此方程是伯努利方程 : 124 .dy y x yd x x??方程兩邊同乘 得 , 12y?11224 .dyy y xd x x? ??即 1 12 yxd x x??令 12 ,zy? 得 41 .22dz zxd x x?? ???上頁(yè) 下頁(yè) 鈴 結(jié)束 返回 首頁(yè) )()(dd ygxfxy ?變量可分離方程 0)(dd ?? yxpxy一階線性齊次方程 一階線性非齊次方程 伯努利方程 變量分離 常數(shù)變易 變量代換 d ( ) ( )dny p x y q x yx ??上頁(yè) 下頁(yè) 鈴 結(jié)束 返回 首頁(yè) ,2lnd2)()( 20???????? ? ttfxfxf x滿足關(guān)系式設(shè)).()( ?xf則。 ( 2 ) 5xyydxdy ?? 。 ( ) ( 1 ) ( )2 ( 1 )y c x x c x x? ? ? ?兩 端 求 導(dǎo) , 得 ( ) .xc x e c??故原方程的通解為： y = (ex + c) (x+1)2 ． 將 y與 y’ 代入非齊次方程 , 并整理 , 得 39。 非線性的 . .0)(dd ?? yxPxy,d)(d xxPyy ?? ,d)(d ?? ?? xxPyy,lnd)(ln CxxPy ??? ?齊次方程的通解為 .e d)(?? ? xxPCy1. 線性齊次方程 一階線性微分方程的 解法 : 使用分離 變量法 這里記號(hào) ? xxP d)( 表示 )( xP 的某個(gè)確定的原函數(shù) . ,lnd)( CxxP eey ?? ??2. 線性非齊次方程 ).()(dd xQyxPxy ??常數(shù)變易法 把齊次方程通解中的常數(shù)變易為待定函數(shù)的方法 . 實(shí)質(zhì) : 未知函數(shù)的變量代換 . 作變換 ?? ? xxPxuy d)(e)(,e)]()[(e)( d)(d)( ??????? ?? xxPxxP xPxuxuy代入原方程得和將 yy ? ),(e)( d)( xQxu xxP ??? ?,de)()( d)( CxxQxu xxP ??? ?積分得 所以一階線性非齊次微分方程的通解為 : ]de)([e d)(d)( CxxQy xxPxxP ???? ??xxQC xxPxxPxxP de)(ee d)(d)(d)( ?????? ???對(duì)應(yīng)齊次方程的通解 非齊次方程特解 代入原方程得和將 yy ? ),(e)( d)( xQxu xxP ??? ??? ? xxPxuy d)(e)()ds i n(1 ? ?? Cxxx .)c o s(1 Cxx ???解 ]de)([e d)(d)( CxxQy xxPxxP ???? ??例 1 上頁(yè) 下頁(yè) 鈴 結(jié)束 返回 首頁(yè) 例 7 求方程 3( 1 ) 2 ( 1 )xdyx y e xdx? ? ? ?解 將方程改寫為 的通解 . 22 ( 1 ) .1xdy y e xd x x? ? ?? 先求齊次方程 的通解 . 2 01dy yd x x???分離變量 , 得 2 .1dy dxyx? ?兩端積分并整理 , 得 齊次方程的通解 2( 1 ) .y c x??用 常數(shù)變易法 求非齊次線性方程的通解， 2( ) ( 1 ) ,y c x x??令239。 可分離變量的微分方程 上頁(yè) 下頁(yè) 鈴結(jié)束返回首頁(yè)第二節(jié) 可分離變量的一階微分方程 xxfyyg d)(d)( ?? ?? xxfyyg d)(d)(設(shè)函數(shù) )( yG 和 )( xF 是依次為 )( yg 和 )( xf的某個(gè)原函數(shù) , 為微分方程的通解 . 兩邊積分 , 為 可分離變量的方程 . 稱 則 ? ?? ?fxdyd x g y?上頁(yè) 下頁(yè) 鈴 結(jié)束 返回 首頁(yè) 下頁(yè)221 xyyxdxdy ???? 例 2? 求微分方程 的通解 ? )1)(1( 2yxdxdy ??? ? 方程可化為 解 : dxxdyy )1(1 1 2 ??? ? 分離變量得 兩邊積分得 ?? ??? dxxdyy )1(1 1 2 ? 即 Cxxy ??? 221ar c t an ? )21t an ( 2 Cxxy ??? ? 于是原方程的通解為 ?? ??? dxxdyy )1(1 1 2 ? 即 Cxxy ??? 221ar c t an ? 求方程 xyxy 2dd ? 的通解 . 解 分離變量 , xxyy d2d ? , 積分 Cxy ?? 2ln , 記 CC e1 ?? , 則通解為 2e1 xCy ? . 或解 分離變量 , xxyyd2d? , 積分 Cxy ?? 2ln , 則通解為 2e1 xCy ? . 例 2 22x C x Cy e e e?? ? ?22 ,x C x Cy e e e?? ? ?2 ,Cxy e e? ? ?( C1為 任意常數(shù) ) 上頁(yè) 下頁(yè) 鈴 結(jié)束 返回 首頁(yè) 例 1. 求微分方程 的通解 . 解 : 分離變量得 兩邊積分 得 即 1CC e??令( C 為 任意常數(shù) ) 說(shuō)明 : 在求解過(guò)程中每一步不一定是同解變形 , 因此可能增、 減解 . ( 此式含分離變量時(shí)丟失的解 y≡0 ) 上頁(yè) 下頁(yè) 鈴 結(jié)束 返回 首頁(yè) 作業(yè) P172 1. (1)(2)(3)(4) 3. (1) 2. (1)(2)(5) 高等院校非數(shù)學(xué)類本科數(shù)學(xué)課程 —— 一元微積分學(xué) 大 學(xué) 數(shù) 學(xué) （ 一 ） 第五十七講 腳本編寫： 教案制作： 一階線性微分方程 上頁(yè) 下頁(yè) 結(jié)束 返回 首頁(yè) 鈴 一、線性方程 二、伯努利方程 167。 — (3) 再積分一次 ? 得 s??0?2t2 ?C1t?C2? — (4) 這里 C1? C2都是任意常數(shù) ? 把條件 s?|t?0?20代入 (3)式得 20?C1。高等院校非數(shù)學(xué)類本科數(shù)學(xué)課程 —— 一元微積分學(xué) 大 學(xué) 數(shù) 學(xué) （ 一 ） 第五十六講 腳本編寫： 教案制作： 微分方程的基本概念 上頁(yè) 下頁(yè) 鈴 結(jié)束 返回 首頁(yè) 設(shè)所求曲線的方程為y?y(x)? 例 1? 一曲線通過(guò)點(diǎn) (1? 2)? 且在該曲線上任一點(diǎn) M(x? y)處的切線的斜率為 2x? 求這曲線的方程 ? 根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義 ? 可知未知函數(shù) y?y(x)應(yīng)滿足 解 : 此外 ? 未知函數(shù) y?y(x)還應(yīng)滿足下列條件 : 由 (1)式得， 其中 C是任意常數(shù) ? ?? x d xy 2 ? 即 Cxy ?? 2 ? xdxdy 2? ? — (1) x?1時(shí) ? y?2? — (2) 把條件 “ x?1時(shí) ? y?2” 代入 (3)式 ? 得 2?12?C? C?1? 把 C?1代入 (3)式 ? 得所求曲線方程 : y?x2?1? — (3) ?? x d xy 2 ? 即 Cxy ?? 2 ? 下頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè) 鈴 結(jié)束 返回 首頁(yè) ?微分方程 ?常微分方程與偏微分方程 未知函數(shù)是一元函數(shù)的微分方程 ? 叫常微分方程 ? 未知函數(shù)是多元函數(shù)的微分方程 ? 叫偏微分方程 ? 下頁(yè)凡含有 未知函數(shù) 的導(dǎo)數(shù)或微分的方程叫 微分方程 . 例 上頁(yè) 下頁(yè) 鈴 結(jié)束 返回 首頁(yè) 例 2? 列車在平直線路上以 20m/s的速度行駛 。 當(dāng)制動(dòng)時(shí)列車獲