含參變量的常義積分-文庫吧資料
2025-05-05 04:53本頁面
【正文】 ???????????????? ????????????| ( ) ( ) | | ( , ) ( , ) | dbaI y y I y f x y y f x y x??? ? ? ? ??d ( ) .ba y b a??? ? ??即 I (y) 在 [ , ]cd 上連續(xù) . 同理可證 : 若 ( , )f x y在矩形區(qū)域 R上連續(xù) ,則含參 量 x 的積分 ( ) ( , ) ddcJ x f x y y? ?在 [a ,b ]上連續(xù) . 注 1 對于定理 1 的結論也可以寫成如下的形式 : ???????????????????????????????????????? ????????????若 ( , )f x y在矩形區(qū)域 R 上連續(xù) ,則對任何 ?0 [ , ] ,x a b都有 00lim ( , ) d lim ( , ) d .bbaay y y yf x y x f x y x?? ???這個結論表明 ,定義在矩形區(qū)域上的連續(xù)函數(shù) ,其極 限運算與積分運算的 順序是可以交換的 . [ , ] [ , ] [ , ] ,a b c d a b ???上 連 續(xù) 可 改 為 在 上 連 續(xù) 其 中? 為任意區(qū)間 (開的、閉的、半開半閉的、有限或 注 2 由于連續(xù)性是局部性質(zhì) , 定理 1 中條件 f 在無限的 ). ???????????????????????????????????????? ????????????( ( ) )Fx 的 連 續(xù) 性( , )f x y定理 2 若二元函數(shù) 在區(qū) 域 ? ? ? ? ?{ ( , ) | ( ) ( ) , }G x y c x y d x a x b上連續(xù) , 其 中 c(x), d(x)為 [ , ]ab上的連續(xù)函數(shù) , 則函數(shù) ()()( ) ( , ) ddxcxF x f x y y? ?在 [ , ]ab上連續(xù) (教材上的定理 3). 證 (與 教材證明方法不同 ) 令 ( ) ( ( ) ( ) ) .y c x t d x c x? ? ?當 y 在 c(x)與 d(x)之間取值時 , t 在 [0, 1] 上取值 , 且 ???????????????????????????????????????? ????????????d ( ( ) ( ) ) d .y d x c x t??所以 ? ? ()()( ) ( , ) ddxcxF x f x y y10 ( , ( ) ( ( ) ( ) ) ) ( ( ) ( ) ) d .f x c x t d x c x d x c x t? ? ? ??由于被積函數(shù) ? ? ?( , ( ) ( ( ) ( ) ) ) ( ( ) ( ) )f x c x t d x c x d x c x在矩形區(qū)域 [ , ] [ 0 , 1 ]ab ?上連續(xù) , 由定理 1 得函數(shù) F(x) 在 [a, b]連續(xù) . ???????????????????????????????????????? ????????????()Iy 的 可 微 性( , )f x y定理 3 ( ) 若函數(shù) 與其偏導 ( , )yf x y [ , ] [ , ]R a b c d??數(shù) 都在矩形區(qū)域 上連續(xù) , 則函數(shù) ( ) ( , ) dbaI y f x y x? ?在 [ , ]cd上可微 , 且 d ( , ) d ( , ) d ( , ) d .db b bya a af x y x f x y x f x y xyy????? ? ?三、含參變量正常積分的可微性 ???????????????????????????????????????? ????????????[ , ]cd [ , ]y y c d???證 對于 內(nèi)任意一點 y, 設 (若 y 為 區(qū)間的端點 , 則討論單側函數(shù) ), 則 ( ) ( ) ( , ) ( , ) aI y y I y f x y y f x y xyy??? ? ? ?? ?
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鄂ICP備17016276號-1