復習推理與證明ppt課件-文庫吧資料
2025-05-04 23:33本頁面
【正文】 頂點的三角形不可能都是銳角三角形． 證明 假設以每三點為頂點的四個三角形都是銳角三角形，記這四個點為 A ， B ， C ， D ，考慮 △ ABC ，點 D 在 △ A B C 之內(nèi)或之外兩種情況． ① 如果點 D 在 △ ABC 之內(nèi) ( 如圖 ① 所示 ) ，根據(jù)假設圍繞點 D 的三個角都是銳角，其和小于 2 7 0 176。c ＋ a2＞ abc .( 中間結(jié)果 ) 因為 a ， b ， c 是不全相等的正數(shù)，則a ＋ b2≥ ab ＞ 0 ，b ＋ c2≥ bc＞ 0 ，c ＋ a2≥ ca ＞ 0. 且上述三式中的等號不全成立，所以a ＋ b2c ) ， 只需證a ＋ b2c ＋ a2) ＞ lg ( a b2＋ 1b－254＝4 a2b2－ 33 ab ＋ 84 ab＝? 1 － 4 ab ?? 8 － ab ?4 ab≥ 0. ∴ ( a ＋1a)( b ＋1b) ≥254. 題型五 分析法 例 5 已知 a ＞ 0 ， b ＞ 0 ， c ＞ 0 ，且 a ， b ， c 不全相等． 求證：bca＋acb＋abc＞ a ＋ b ＋ c . 證明 要證明bca＋acb＋abc＞ a ＋ b ＋ c . 只要證? bc ?2＋ ? ac ?2＋ ? ab ?2abc＞ a ＋ b ＋ c . ∵ a ， b ， c ＞ 0 ， 只要證 ( bc )2＋ ( ac )2＋ ( ab )2＞ abc ( a ＋ b ＋ c ) ， 由公式知 ( bc )2＋ ( ac )2≥ 2 abc2， ( ac )2＋ ( ab )2≥ 2 a2bc ， ( bc )2＋ ( ab )2≥ 2 ab2c . ∵ a ， b ， c 不全相等，上面各式等號至少有一個不成立，三式相加得： 2 [ ( bc )2＋ ( ac )2＋ ( ab )2] ＞ 2 a b c2＋ 2 a2bc ＋ 2 ab2c ＝ 2 a b c ( a ＋ b ＋ c ) ． 即 ( bc )2＋ ( ac )2＋ ( ab )2＞ abc ( a ＋ b ＋ c ) 成立． ∴bca＋acb＋abc＞ a ＋ b ＋ c 成立 . 變式遷移 5 若 a ， b ， c 是不全相等的正數(shù)，求證： lga ＋ b2＋ lgb ＋ c2＋ lgc ＋ a2＞lg a ＋ lg b ＋ lg c . 證明 要證 lga ＋ b2＋ lgb ＋ c2＋ lgc ＋ a2＞ lg a ＋ lg b ＋ lg c ， 只需證 lg (a ＋ b2是循環(huán)小數(shù) ( 小前提 ) 所以， 0 . 3 3 2? 2 n ＋ 1 ?2， ? . Sn為其前 n 項和，計算得 S1＝89， S2＝2425， S3＝4849， S4＝8081.觀察上述結(jié)果，推測出計算 Sn的公式． 解析 從 S 1 ， S 2 ， S 3 ， S 4 的數(shù)值結(jié)構(gòu)可看出它們有其共同特點：都是分數(shù)，分母為奇數(shù)的平方，分子比分母少 1 ，據(jù)此可猜想 S n的計算公式為： S n ＝? 2 n ＋ 1 ?2－ 1? 2 n ＋ 1 ?2 ，即 S n ＝ 1 －1? 2 n ＋ 1 ?2 . 題型三 演繹推理 例 3 用三段論的形式寫出下列演繹推理． ( 1 ) 菱形的對角線相互垂直，正方形是菱形，所以正方形的對角線相互垂直． ( 2 ) 若兩角是對頂角，則此兩角相等，所以若兩角不相等，則此兩角不是對頂角． ( 3 ) 0 . 3 3 252 ， ? ，832 ，8 考 點 串 講 1 ． 推理 ( 1) 定義 在日常生活中我們常常遇到這樣一些問題：看到天空烏云密布，燕子低飛，螞蟻搬家等現(xiàn)象時，我們會得出一個判斷 —— 天要下雨了；張三今天沒來上課，我們會推斷 —— 張三一定生病了；諺語：“ 八月十五云遮月，來年正月十五雪打燈 ” ，等等，這樣根據(jù)一個或幾個已知的判斷來確定一個新的判斷的思維過程就叫做推理．推理是人們思維活動的過程． ( 2 ) 結(jié)構(gòu) 從結(jié)構(gòu)上來說推理一般分為兩個部分：一部分是已知的事實 ( 或者假設 ) ，這叫做推理的前提； 另一部分是由已知推出的新的判斷叫做結(jié)論，推理的一般形式為：前提 ? 結(jié)論．例如：推理 a ＞ b ， b ＞ c ，則 a ＞ c .這里 a ＞ b ， b ＞ c 叫做推理的前提； a ＞ c 是推理的結(jié)論． 注：推理也可以看作是連接詞將前提和結(jié)論連結(jié)起來的一個邏輯連接，常用的連接有 “ 因為 ?? 所以 ??” ， “ 如果 ?? 那么 ??” ， “ 根據(jù) ?? 可知 ??” 等等形式． ( 3 ) 分類：推理一般可分為合情推理和演繹推理． 2 ． 合情推理 ( 1 ) 定義：根據(jù)已有的事實，經(jīng)過觀察、 分析、比較、聯(lián)想，再進行歸納、類比，然后提出猜想的推理．其包括歸納推理和類比推理． 合情推理是指 “ 合 乎情理 ” 的推理，數(shù)學研究中，得到一個新結(jié)論之前，合情推理常常能幫助我們猜測和發(fā)現(xiàn)結(jié)論；證明一個數(shù)學結(jié)論之前，合情推理常常能為我們提供證明的思路和方向． 合情推理的過程概括為： 從具體問題出發(fā) ― → 觀察、分析、比較、聯(lián)想 ― → 歸納、類比 ― → 提出猜想 ( 2 ) 歸納推理 ① 歸納推理的特點 ( ⅰ ) 歸納推理的前提是幾個已知的特殊現(xiàn)象，歸納所得的結(jié)論是尚屬未知的一般現(xiàn)象，該結(jié)論超越了前提所包容的范圍． ( ⅱ ) 由歸納推理得到的結(jié)論具有猜測的性質(zhì)，結(jié)論是 否真實，還需經(jīng)過邏輯證明和實踐檢驗．因此，它不能作為數(shù)學證明的工具． ( ⅲ ) 歸納推理是一種具有創(chuàng)造 性的推理．通過歸
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