【正文】 A11+B11…………A1q+B1q A+B= ……………………………… Ap1+Bp1…………Apq+Bpq Aa11…………Aa1q Aa= …………………… aAp1…………aApq這就是說，兩個(gè)同類的矩陣A ，B ，如果按同一種分法進(jìn)行分塊，那么A 與B 相加時(shí)，只需要最常用到的是矩陣的分塊乘法。例如，我們也可以把上面的矩陣A 分成兩塊： a11 a12 a13 A= a21 a22 a23 a31 a32 a33 a41 a42 a43或者分成六塊： a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 a41 a42 a43等等。例如 ，設(shè)A是一個(gè)4*3矩陣 a11 a12 a13 a21 a22 a23 A= a31 a32 a33 a41 a42 a44我們可以如下地把它分成四塊： a11 a12 a13 a21 a22 a23A= a31 a32 a33 a41 a42 a44 用這種方法被分成若干小塊的矩陣叫做一個(gè)分塊矩陣。教學(xué)內(nèi)容：設(shè)A 是一個(gè)矩陣。任意m個(gè)矩陣乘積的秩不大于每一因子的秩。因此，秩AB=秩B。如果A，B中有一個(gè)，例如A是可逆矩陣。另一方面，E1…EpAB是由AB通行初等變換而得到的，所以它與AB有相同的秩。證 設(shè)A是一個(gè) mn矩陣，B是一個(gè)np矩陣，并且秩A=r。因此，注意到ā是一個(gè)對角矩陣，我們有 |AB|= |T1 TpāTp+1 TqB| = |āTp+1 TqB| = |ā||Tp+1 TqB| = |ā||B| = |A||B| . 由這個(gè)定理顯然可以得出，對于m個(gè)n階矩陣A1，A2，…，Am來說，總有 |A1A2…Am|=|A1||A2|…|Am| 6 關(guān)于矩陣乘積的秩定理 兩個(gè)矩陣乘積的秩不大于每一因子的秩。這就是說，存在Tij(k)型T1,T2,…,Tq,使 A= T1 TpāTp+1 Tq于是AB=（T1 Tp?。═p+1 TqB）。設(shè) A = . 令B=（bij），容易看出 AB = 因此由行列式的性質(zhì)得|AB|= =|A||B|現(xiàn)在看一般情形，可以通過第三種初等變換把A化為一個(gè)對角矩陣ā，并且|A|=|ā|。根據(jù)行列式的性質(zhì)，我們有 |A|=|ā|=d1d2…dn 定理 設(shè)A，B是任意兩個(gè)n階矩陣。于是再通過適當(dāng)?shù)牡谌N初等變換可以把A化為 .如果A的第一行和第一列的元素都是零，那么A已經(jīng)具有（10）的形式。首先證明引理 一個(gè)n階矩A總可以通過第三種行和列的初等變換化為一個(gè)對角矩陣 = ,并且|A|=|ā|=d1d2…dn證 如果A的第一行和第一列的元素不都是零。我們將要得出兩個(gè)有用的結(jié)論。當(dāng)方程組的行列式|A|≠0時(shí)，系數(shù)矩陣A可逆，用A的逆矩陣A1左乘（9）式的兩端，那么由（8）式得 = 由此，對i=1,2,…,n,有= =(b1A1i+b2A2i+…+bnAni) 這正是克萊姆規(guī)則給出的方程組的解。例如，我們可以應(yīng)用它來給出克萊姆規(guī)則的另一種推導(dǎo)法。當(dāng)A是可逆矩時(shí)，|A|≠0，因此由（7）得 A=A=I 這就是說（8） A1 = A* 這樣，我們得到了一個(gè)求逆矩陣的公式。第二種求逆矩陣的方法是從行列式的性質(zhì)得來的。例 1 求矩陣 A= 的逆矩陣。但對于一個(gè)矩陣施行行初等變換相當(dāng)于以初等矩陣左乘這個(gè)矩陣，因此給了一個(gè)可逆矩陣A，可以找到一些初等矩E1，E2，…，Es，使（5） Es…E2E1A=I用A1右乘這個(gè)等式的兩端，得（6） Es…E2E1I=A1比較矩式（5）和（6）。于是通過行初等變換可由（4）得到 這里A2是一個(gè)n2階矩陣。我們顯然可以通過行初等變換把A化為 這里A1是一個(gè)n1階矩陣。事實(shí)上，|A|≠0。第一種還是要用到初等變換。 定理 n 階矩陣A可逆，當(dāng)且僅當(dāng)它的行列式 |A|≠0我們常需要求出一個(gè)可逆矩的逆矩陣來。 我們把n階矩陣 A= 的唯一的n階子式 a11 a12 … a1n a21 a22 … a2n ………………… an1 an2 … ann 叫做矩陣A的行列式，記作|A|。證 A可以通過初等變換化為單位矩陣I。4 矩陣可逆的條件：定理 n階矩A可逆，當(dāng)且它可以寫成初等矩陣的乘積。當(dāng)ā不等于I時(shí)，ā至少有一個(gè)元素全是零的行，因而右乘ā以任意一個(gè)n階矩陣B，所得的乘積āB中也至少有一個(gè)元素 全是零的行，所以ā不可逆。當(dāng)ā等于單位矩陣I時(shí)，ā可逆。，n階矩陣A是否可逆，決定于ā是否可逆。 = 這里Ir 是r 階單位矩陣，Ost表示st的零矩陣、r等于A的秩。，給了任意一個(gè)mn 矩陣A，總可以通過行初等變換和交換兩列的初等變換，把A化為以下的一個(gè)矩陣： 1 0 … 0 c1,r+1 … c1n 0 1 另一方面，用E的逆矩陣E1左乘（1）式的兩端，得（2） E1ā=E1EA=IA=A因?yàn)镋1也可逆，由（2）式得，當(dāng)ā可逆時(shí)，A也可逆。那么存在一個(gè)對應(yīng)的初等矩陣E，使得（1） ā=EA由于初等矩陣E是可逆的，（1）式說明，當(dāng)A可逆時(shí)，ā是兩個(gè)可逆矩陣的乘積。證 我們只就行初等變換來證明這個(gè)引理，列初等變換的情形可以完全類似地證明。 Di(k)1=Di(通過驗(yàn)算容易看出：交換一個(gè)mn矩陣A的第和第i 和第j行或第i和第j 列，相當(dāng)于把A左乘以m階矩陣Pij或右乘以n階矩陣Pij；把A的第i