【正文】 的對(duì)偶公式Aop再做一次對(duì)偶操作得到的就是A本身。 (A216。 [4]. (Aop)216。 217。 186。 Bop (A 217。 B)op 186。 B216。 A216。 B)216。 Aop 217。 A [2]. (A 218。)216。 r)【】設(shè)公式A、B都是限制性公式，有： [1]. (Aop)op 186。 (216。(((216。r)) (2). A的內(nèi)否式A216。q)218。r))，則： (1). A的對(duì)偶式Aop = 216。q)217。 【】設(shè)公式A = 216。[2]. 對(duì)于限制性公式A，將其中出現(xiàn)的所有原子項(xiàng)（命題變量或命題常量）p換成216。換成217。換成218。則稱為限制性（命題）公式。、217。A1*A2，即定理成立。A239。A139。而將A2中的B用C替換后得到的為A239。若A的形式為A1 * A2，則如果B = A則定理成立，否則必有B出現(xiàn)在A1或A2中，或同時(shí)出現(xiàn)在這兩者中。A139。按歸納假設(shè)有A1 = A139。設(shè)A的形式為216。A2, A1171。A2, A1218。 歸納步：，命題公式A必為如下5種形式之一：216。A39。首先如果B = A，則有C = A39。A39。C，而A39。B39。(A39。) [5]. (A171。174。B)219。B39。(A39。) [3]. (A218。217。B)219。A39。A)219。B39。A39。A)…))。(A2174。A)。…217。An 根據(jù)以上簡(jiǎn)寫(xiě)，：【】[1]. A1, A2, …, An╞A當(dāng)且僅當(dāng)f╞((A1217。A2218?！?17。都滿足結(jié)合律，因此我們可有如下的簡(jiǎn)寫(xiě)： A1217。 由于命題聯(lián)結(jié)符號(hào)217。 (216。(216。B)217。(216。 ((216。A)) [15]. 等價(jià)否定等值式： (A171。B)174。B) 219。(B174。 ((A174。B) [13]. 等價(jià)等值式： (A171。 ((216。 0 [12]. 蘊(yùn)涵等值式： (A174。(216。A)) 219。 A [10]. 排中律： (A218。A (A217。 0 [9]. 同一律： (A218。1 (A217。A [8]. 零律： (A218。(A218。B)) 219。B)) [7]. 吸收律： (A218。A)218。B)) 219。B)) (216。A)217。B)) 219。C)) [6]. 德摩根律： (216。B)218。C)) 219。C)) (A217。B)217。C)) 219。B)) [5]. 分配律： (A218。 (A217。B)217。(B218。B) 219。A) [4]. 結(jié)合律： ((A218。B) 219。 (B218。A) [3]. 交換律： (A218。A) A219。A)) [2]. 等冪律： A219。 (216。B是永真式。即有下述定理： 【】A219。實(shí)際上，A219。 實(shí)際上公式A與B等值記為A╞╡B會(huì)更準(zhǔn)確些，但教材采用了符號(hào)A219。如果有A╞B且B╞A，則稱命題公式A與B等值，記為A219。 ，如果S為空集，則f╞A表示A為永真式，因?yàn)閷?duì)于空集S來(lái)說(shuō)，顯然任意的真值賦值函數(shù)t都滿足它（因?yàn)镾中沒(méi)有命題公式），從而f╞A意味著對(duì)任意的真值賦值函數(shù)t都有t(A) = 1，即A為永真式。說(shuō)S是可滿足的，如果存在某個(gè)真值賦值函數(shù)t使得t(S) = 1，這時(shí)稱t滿足S。定義S在真值賦值函數(shù)t : U174。q)217。(p174。q))217。q))((216。q)(216。q217。(p174。q)217。(p174。p))218。p))((p174。p)(p174。p))218。而公式B = ((p174。 (q 217。 ((216。 【】根據(jù)命題公式A = ((p 218。r)))0000100100101001010110000111111110010011101100111101001111110100【】如果命題公式A在任意的真值賦值函數(shù)t : U174。p)171。q)174。(q217。r)((216。q)(216。對(duì)于命題公式的真值，可根據(jù)該命題公式的生成步驟來(lái)得到。 // [6] 因此命題公式A在上述真值賦值下的真值t(A)是0。 (q 217。 ((216。 // [7] 8. t((p 218。 (q 217。 // [4] 7. t((216。 6. t(q 217。p) = 1。 q) = 1。 r)))，及真值賦值函數(shù)t： t(p) = 0, t(q) = 1, t(r) = 0有： 1. t(p) = 0, t(q) = 1。p) 171。 q) 174。B) = 0。 [7]. 若t(A) = t(B)，則t(A171。B) = 1，否則t(A174。B) = 1。 [5]. 若t(A) = t(B) = 0，則t(A218。B) = 1，否則t(A217。A) = 0。{0, 1}下的真值t(A)遞歸定義如下： [1]. 如果命題公式A是一個(gè)命題常量p，則如果p為真，t(A) = 1，否則t(A) = 0； [2]. 如果命題公式A是一個(gè)命題變量p，則t(A) = t(p) [3]. 若t(A) = 0則t(216。 r)))，有： Var(A) = {p, q, r}這里不妨假定U = Var(A)，真值賦值就是一個(gè)函數(shù)t : {p, q, r}174。p) 171。 q) 174。{0, 1}，而對(duì)于命題公式A的真值賦值來(lái)說(shuō)，我們只關(guān)心t在Var(A)上的值。這里我們假定存在一個(gè)所有命題變量所組成的集合U，或者說(shuō)我們所有命題公式中的變量都取之于集合U，我們記命題公式A中的所有命題變量所組成的集合為Var(A)?！尽?對(duì)命題公式的一次真值賦值t是從所有命題變量所組成的集合到集合{0, 1}的函數(shù)。而有關(guān)命題公式的性質(zhì)的討論。 r。p 171。 q 174。大于171。大于174。大于218。大于217。否則找與第二個(gè)左園括號(hào)配對(duì)的右園括號(hào)，從而將命題公式劃分為這樣的形式：((…) * (…))，如果原來(lái)的命題公式為根的話，那么左右兩邊的兩個(gè)命題公式分別為它的左右子樹(shù)了，而且對(duì)這兩個(gè)公式可作類似的分析，最后到原子項(xiàng)。A)與(216。B) [6]. (A171。B) [4]. (A218。 □ 【】任意命題邏輯公式A具有下列6種形式之一，且只具有其中一種形式： [1]. A為原子項(xiàng)； [2]. (216。 Sym(A * B)，從而定理對(duì)所有的命題公式都成立。A也成立。A) = deg(A) + 1，而Sym(216。 Sym(B)。 2. 歸納步：假設(shè)定理對(duì)于命題公式A和B成立（歸納假設(shè)），記命題公式A中的命題聯(lián)結(jié)符號(hào)數(shù)為Sym(A)，即有deg(A) 163。使用歸納法，我們可證明下面定理：【】deg(A)小于等于命題公式A中的命題聯(lián)結(jié)符號(hào)的數(shù)目。 □ 。、171。、218。A) = deg(A) + 1。 □ 該定理的證明類似數(shù)學(xué)歸納法的證明。B)也滿足性質(zhì)R。B)、(A174。A)、(A217。p)等都不是公式。r)、(q174。 q 217。 q不是公式，因?yàn)閮蛇厸](méi)有園括號(hào) 【】p) (q 217。 (q 217。 q) ((216。 (q 217。 ((216。 // [2]，以及3, 7 這種生成過(guò)程，可以形象地用下面的一棵樹(shù)來(lái)表示： ((p 218。 (q 217。 ((216。 r))是公式； // [2]，以及4, 6 8. ((p 218。p) 171。p)是公式； // [2] 5. r是公式； // [1] 6. (q 217。 r)))是命題公式，它通過(guò)以下步驟生成： 1. p是公式； // [1] 2. q是公式； // [1] 3. (p 218。p) 171。 q) 174。后面我們將命題邏輯公式簡(jiǎn)稱為命題公式，或在沒(méi)有二義的情況下進(jìn)一步簡(jiǎn)稱為公式。英文字母還可帶下標(biāo)。 [3]. 最小化：所有的命題邏輯公式都通過(guò)1和2得到。B)和(A171。B)、(A218。 [2]. 歸納步：如果A, B是邏輯公式，則(216。qp171。qp218。復(fù)合命題與簡(jiǎn)單命題之間的真值關(guān)系可用下表給出，其中0代表假，1代表真：pq216。但就數(shù)理邏輯這門(mén)課程本身而言，我們只關(guān)心公式之間的真值關(guān)系，而不關(guān)心公式所具體指代的命題。 簡(jiǎn)單命題邏輯中的這種蘊(yùn)涵常常稱為“實(shí)質(zhì)蘊(yùn)涵”，相對(duì)應(yīng)地有“嚴(yán)格蘊(yùn)涵（p嚴(yán)格蘊(yùn)涵q，意味著p為真，則q不可能為假）”、“相干蘊(yùn)涵”等。q為假當(dāng)且僅當(dāng)p為真，而q為假，稱p為蘊(yùn)涵式的前件，q為蘊(yùn)涵式的后件。p174。命題邏輯中采用了“或”的相容性。q為真當(dāng)且僅當(dāng)p和q中至少有一個(gè)為真。p218。上述定義中的非(negation)、合取(conjunction)、析取(disjunction)、蘊(yùn)涵(implication)和等價(jià)(equivalence)是在命題邏輯中的術(shù)語(yǔ)，而引號(hào)中給出的復(fù)合命題是自然語(yǔ)言中的典型用法。q。 設(shè)p和q是任意命題，復(fù)合命題“如果p則q”稱為p蘊(yùn)涵q，記為p174。q。 設(shè)p和q是任意命題，復(fù)合命題“p且q”稱為p和q的合?。ㄅc），記為p217。 p。復(fù)合命題的聯(lián)結(jié)詞通常包括： 簡(jiǎn)單命題與復(fù)合命題：不能分成更簡(jiǎn)單的陳述句的命題為簡(jiǎn)單命題或原子命題，否則稱為復(fù)合命題，復(fù)合命題使用命題聯(lián)結(jié)詞聯(lián)結(jié)簡(jiǎn)單命題而得到。如果沒(méi)有特別指明，通常來(lái)說(shuō)命題符號(hào)p等是命題變量，即可指代任何命題。命題常量與命題變量：使用符號(hào)來(lái)表示命題，通常用p, q或帶下標(biāo)來(lái)表示命題常量或者變量。如果命題的真值為真，則稱為真命題，否則稱為假命題。 經(jīng)典命題邏輯不區(qū)分現(xiàn)在已確定為真，還是將來(lái)可能確定為真這種情況，處理與時(shí)間有關(guān)的真值問(wèn)題是時(shí)態(tài)邏輯的任務(wù)。命題必須具有真假值，從某種意義上來(lái)說(shuō)，疑問(wèn)句、祈使句、感嘆句沒(méi)有真假之分。3 是有理數(shù) 2. 8小于10 3. 2是素?cái)?shù) 4. 烏鴉是黑色的 下列句子不是命題： 1. 這個(gè)小男孩多勇敢??！ 2. 烏鴉是黑色的嗎？ 3. 但愿中國(guó)隊(duì)能取勝。 2. 簡(jiǎn)單命題與復(fù)合命題 若定義：[x, y, z] = {{x}, {x, y}, {x, y, z}}，則如果有[x1, y1, z1] = [x2, y2, z2]是否意味著有x1 = x2且y1 = y2且z1 = z2？52 / 52第二講 數(shù)理邏輯一、命題邏輯(Propositional Logic)1. 內(nèi)容概述 A/R定義為對(duì)任意a206。A}，稱A關(guān)于R的商集。A，可定義： a) [a] = {b206。R2是否還是A上的等價(jià)關(guān)系？如果是請(qǐng)證明，否則請(qǐng)舉一反例。 N，f(n) = n, n+1，請(qǐng)問(wèn)f是不是單射、滿射或雙射？*6. 設(shè)R1和R2都是A上的等價(jià)關(guān)系，請(qǐng)問(wèn)R1200。4. 使用數(shù)學(xué)歸納法證明：12 + 22 + 32 + … + n2 = (n * (n + 1) * (2n + 1)) / 65. 設(shè)有函數(shù)f : N174。B是函數(shù)，R是A上的如下二元關(guān)系：R = {a, b | a, b206。B以及P(A)(即A的冪集)。B、A199。 10且n 是奇數(shù)}，B = {n | n 163。形式語(yǔ)言本身沒(méi)有含義，但我們?cè)跇?gòu)造它們時(shí)是假想它們能代表某種意義的，特別的當(dāng)我們?cè)谶x擇形式系統(tǒng)的公理時(shí)，總是選擇所研究的問(wèn)題域中那些最為明顯或最容易公認(rèn)為正確的性質(zhì)。形式語(yǔ)言的語(yǔ)義是關(guān)于形式系統(tǒng)的解釋和意思。形式語(yǔ)言的語(yǔ)法是構(gòu)成形式系統(tǒng)的公式集、公理集和規(guī)則集的法則。 對(duì)象語(yǔ)言(Object language)與元語(yǔ)言(Meta language)：在形式系統(tǒng)內(nèi)部，所能認(rèn)識(shí)的只能是符號(hào)串及其改寫(xiě)，只能在形式系統(tǒng)外對(duì)這種符號(hào)串及規(guī)則賦予意義。 形式化實(shí)際上是一個(gè)可機(jī)械實(shí)現(xiàn)的過(guò)程，在它里面，符號(hào)、規(guī)則和演算等被表示得嚴(yán)密、精確。FS，通常表示成下面的形式：t1, t2, …, tnRn(t1, t2, …, tn) …180。對(duì)于形式系統(tǒng)中的規(guī)則Rn : FS 180。是S中的規(guī)則，那么Rn(t1, t2, …, tn)也是形式系統(tǒng)S中的定理。 歸納基：t 206。 FS 174。 FS 180。 FS 174。 FS 180。從FS中選取一個(gè)子集AS，稱為形式系統(tǒng)S的公理(Axiom)集； 一個(gè)非空集合SS，稱為形式系統(tǒng)S的字母表或說(shuō)符號(hào)(Symbol)表； 5. 形式系統(tǒng) 在數(shù)學(xué)歸納法中，也可將歸納步改為如果R對(duì)于所有小于n的自然數(shù)成立，則推出R對(duì)于n也成立，即歸納步是假設(shè)對(duì)于所有小于n的自然數(shù)性質(zhì)R成立來(lái)導(dǎo)出性質(zhì)R對(duì)于自然數(shù)n成立。顯然在數(shù)學(xué)歸納法中，對(duì)于歸納基改為R對(duì)于自然數(shù)k成立，歸納步不變的話，則可證明R對(duì)于所有大于k的自然數(shù)都成立。顯然有：1 + 2 + … + n + (n + 1) = (n * (n+1))/2 + (n+1) // 根據(jù)歸納假設(shè)= (n * (n+1) + 2 * (n+1))/2 = ((n+1) * ((n+1) + 1))/2 因此要證的公式對(duì)于n+1成立，所以對(duì)于所有的自然數(shù)成立。 數(shù)學(xué)歸納法舉例：使用數(shù)學(xué)歸納法證明1 + 2 + … + n = (n * (n+1))/2 N，所以S = N。S，所以S是滿足上面自然數(shù)集的歸納定義中的2點(diǎn)的一個(gè)集合，而自然數(shù)集N是滿足這兩點(diǎn)的最小集合，所以有N 205。歸納步：根據(jù)上面的定義有如果n206。歸納基：根據(jù)上面的定義有0206。定義集合S = {n206。數(shù)學(xué)歸納法：關(guān)于自然數(shù)的許多性質(zhì)都可通過(guò)數(shù)學(xué)歸納法來(lái)證明，對(duì)于性質(zhì)R，如果它對(duì)0成立，而且如果對(duì)于n成立的話，能夠得到它對(duì)于n+1也成立，那么性質(zhì)R對(duì)所有的自然數(shù)成立。這里不需要最小化，因?yàn)檫@里不是定義集合。An1) 200。An = (A1200。歸納步：A1200。A1或者x206。歸納基：A1200。這種定義方式可推廣到對(duì)其他一些概念的定義，例如上述多個(gè)集合的并、交、笛卡爾積以及多個(gè)元素的有序n元組都可通過(guò)遞歸的方式定義。 [3]. 最小化：所有的自然都通過(guò)步驟[1]和[2]得到，或者說(shuō)自然數(shù)集是通過(guò)步驟[1]和[2]得到的最小集合。N。記n的后繼為succ(n)，即若n206。 N。 歸納步：定義一些規(guī)則（或者說(shuō)操作），從該集合中已有的元素來(lái)生成該集合的新的元素； 一個(gè)集合的歸納定義(inductive definition)通常分為三步： 3. 小結(jié) B| = |A| 180。 定義無(wú)限集合，不直接定義基數(shù)，而是通過(guò)定義兩個(gè)集合之間的等勢(shì)關(guān)系來(lái)刻劃集合的基數(shù)或勢(shì)，說(shuō)集合A和集合B是等勢(shì)的(equipotent)，如果存在一個(gè)從A到B的雙射。對(duì)于有限集合A，令A(yù)的基數(shù)為A中元素的個(gè)數(shù)。 A，f 1(y) = x當(dāng)且僅當(dāng)f(x) = y。A都有唯一的像。說(shuō)f是雙射(bijection，或說(shuō)f是一一對(duì)應(yīng))，