二次函數(shù)壓軸題最短路徑問題-文庫(kù)吧資料
2025-04-01 23:36本頁(yè)面
【正文】 ＝180176。再得到∠MON＝90176?！唷螦FD＝∠HFE，∴∠AEO＝∠ADC．（3）由⊙E的半徑為1，根據(jù)勾股定理，得PQ2＝EP2－1．要使切線長(zhǎng)PQ最小，只需EP長(zhǎng)最小，即EP2最小．設(shè)P坐標(biāo)為（x，y），由勾股定理，得EP2＝(x－3)2＋(y－2)2．∵y＝ (x－3)2－1，∴(x－3)2＝2y＋2．∴EP2＝2y＋2＋y2－4y＋4＝(y－1)2＋5．當(dāng)y＝1時(shí)，EP2最小值為5．把y＝1代入y＝(x－3)2－1，得(x－3)21＝1，解得x1＝1，x2＝5．又∵點(diǎn)P在對(duì)稱軸右側(cè)的拋物線上，∴x1＝1舍去．∴點(diǎn)P坐標(biāo)為(5，1)．此時(shí)Q點(diǎn)坐標(biāo)為（3，1）或(，)． 6．（14遂寧）已知：直線l：y＝﹣2，拋物線y＝ax2＋bx＋c的對(duì)稱軸是y軸，且經(jīng)過點(diǎn)（0，﹣1），（2，0）．（1）求該拋物線的解析式；（2）如圖①，點(diǎn)P是拋物線上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)P作直線l的垂線，垂足為Q，求證：PO＝PQ．（3）請(qǐng)你參考（2）中結(jié)論解決下列問題：（i）如圖②，過原點(diǎn)作任意直線AB，交拋物線y＝ax2＋bx＋c于點(diǎn)A、B，分別過A、B兩點(diǎn)作直線l的垂線，垂足分別是點(diǎn)M、N，連結(jié)ON、OM，求證：ON⊥OM．（ii）已知：如圖③，點(diǎn)D（1，1），試探究在該拋物線上是否存在點(diǎn)F，使得FD＋FO取得最小值？若存在，求出點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．【思路點(diǎn)撥】（1）因?yàn)閽佄锞€的對(duì)稱軸是y軸，所以b＝0，再代入點(diǎn)（0，﹣1），（2，0）即可求出拋物線的解析式；（2）由（1）設(shè)出P的坐標(biāo)，分別表示出PE，PQ的長(zhǎng)度，即可得出結(jié)論；（3）（i）因?yàn)锽N∥AM，所以∠ABN＋∠BAM＝180176。．設(shè)AE交CD于點(diǎn)F．∴∠ADC＋∠AFD＝90176?！唷螹OE＝∠GCD．又∵∠CGD＝∠OMN＝90176。即可得出結(jié)論；（3）先畫出圖形．因?yàn)镻Q為⊙E的切線，所以△PEQ為直角三角形，半徑EQ長(zhǎng)度不變，當(dāng)斜邊PE最小時(shí)，PQ的長(zhǎng)度最?。O(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)，然后表示出PE，求出PE的最小值，得到點(diǎn)P的坐標(biāo)，再求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)即可．【解題過程】解：（1）頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（3，1）．令y＝0，得 (x3)21＝0，解得x1＝3＋，x2＝3．∵點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)，∴A點(diǎn)坐標(biāo)(3，0)，B點(diǎn)坐標(biāo)（3+，0）．（2）過D作DG⊥y軸，垂足為G．則G（0，1），GD＝3．令x＝0，則y＝，∴C點(diǎn)坐標(biāo)為（0，）．∴GC＝(1) ＝ ．設(shè)對(duì)稱軸交x軸于點(diǎn)M．∵OE⊥CD，∴∠GCD＋∠COH＝90176。只需證明∠EAD＝90176。由勾股定理得QB＝8，∴HN＋NM＋MK的最小值為8．4．（14海南）如圖，對(duì)稱軸為直線x＝2的拋物線經(jīng)過A（－1，0），C（0，5）兩點(diǎn)，與x軸另一交點(diǎn)為B．已知M（0，1），E（a，0），F(xiàn)（a＋1，0），點(diǎn)P是第一象限內(nèi)的拋物線上的動(dòng)點(diǎn)．（1）求此拋物線的解析式；（2）當(dāng)a＝1時(shí)，求四邊形MEFP的面積的最大值，并求此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）若△PCM是以點(diǎn)P為頂點(diǎn)的等腰三角形，求a為何值時(shí)，四邊形PMEF周長(zhǎng)最小？請(qǐng)說明理由．【思路點(diǎn)撥】（1）由對(duì)稱軸為直線x＝2，可以得出頂點(diǎn)橫坐標(biāo)為2，設(shè)二次函數(shù)的解析式為y＝a（x－2）2＋k，再把點(diǎn)A，B的代入即可求出拋物線的解析式；（2）求四邊形MEFP的面積的最大值，要先表示出四邊形MEFP面積．直接求不好求，可以考慮用割補(bǔ)法來求，過點(diǎn)P作PN⊥y軸于點(diǎn)N，由S四邊形MEFP＝S梯形OFPN－S△PMN－S△OME即可得出；（3）四邊形PMEF的四條邊中，線段PM，EF長(zhǎng)度固定，當(dāng)ME＋PF取最小值時(shí)，四邊形PMEF的周長(zhǎng)取得最小值．將點(diǎn)M向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度（EF的長(zhǎng)度），得到點(diǎn)M1（1，1），作點(diǎn)M1關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)M2（1，－1），連接PM2，與x軸交于F點(diǎn)，此時(shí)ME＋PF＝PM2最?。窘忸}過程】解：（1）∵對(duì)稱軸為直線x＝2，∴設(shè)拋物線解析式為y＝a（x－2）2＋k．將A（－1，0），C（0，5）代入得：，解得，∴y＝－（x－2）2＋9＝－x2＋4x＋5．（2）當(dāng)a＝1時(shí)，E（1，0），F(xiàn)（2，0），OE＝1，OF＝2．設(shè)P（x，－x2＋4x＋5），如答圖2，過點(diǎn)P作PN⊥y軸于點(diǎn)N，則PN＝x，ON＝－x2＋4x＋5，∴MN＝ON－OM＝－x2＋4x＋4．S四邊形MEFP＝S梯形OFPN－S△PMN－S△OME＝（PN＋OF）?ON－PN?MN－OM?OE＝（x＋2）（－x2＋4x＋5）－x?（－x2＋4x＋4）－11＝－x2＋x＋ ＝－（x－）2＋ ∴當(dāng)x＝時(shí)，四邊形MEFP的面積有最大值為，此時(shí)點(diǎn)P坐標(biāo)為（，）．（3）∵M(jìn)（0，1），C（0，5）
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