32個(gè)經(jīng)典圓錐曲線問題-文庫吧資料
2025-03-30 04:35本頁面
【正文】 的 ，可得雙曲線的漸近線方程為 ，即為 ．（2） 設(shè)直線 的方程為 ． 消去 整理得：．設(shè) ，則 ，所以 為定值．23. （1） 過 ， 兩點(diǎn)作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為 ，易知 ，因?yàn)?，所以 ，所以 為 的中點(diǎn)，又 是 的中點(diǎn)，所以 是 的中位線，所以 ，而 ，所以 ，所以 ，所以 ，而 ，所以 ；（2） 設(shè)直線 的方程為：（ 且 ），由 可得 ，可得 ，因?yàn)橹本€ 與拋物線相切，所以 ，可得 ，可得 ，又由 可得 ，可得 ，所以以線段 為直徑的圓過點(diǎn) ．22. （1） 由題意可知：，橢圓的離心率 ，則 ，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：．（2） 設(shè) ，則切線 ， 的方程分別為 ，．因?yàn)辄c(diǎn) 在兩條切線上，所以 ，．故直線 的方程為 ．又因?yàn)辄c(diǎn) 為直線 上， 所以 ，即直線 的方程可化為 ，整理得 ，由 解得 因此，直線 過定點(diǎn) ．21. （1） 由題意可得：直線 的斜率存在，設(shè)方程為：，設(shè) ，動(dòng)點(diǎn) ，由 可得 ．可得 ．；；由 可得 ，即點(diǎn) 的軌跡方程為 ．（2） 假設(shè)存在滿足條件的點(diǎn) ，直線 ，有 ，設(shè) ，有 ，當(dāng) ，滿足 時(shí)， 為定值，所以 ．20. （1） 因?yàn)闄E圓 焦點(diǎn)在 軸上，且過點(diǎn) ，所以 ．設(shè) 內(nèi)切圓的半徑為 ，點(diǎn) 的坐標(biāo)為 ，則 的重心 的坐標(biāo)為 ， 因?yàn)?， 所以 ． 由 面積可得 ，即 ，則解得 ， 即所求的橢圓方程為則橢圓方程為 ．（2） 因?yàn)?，所以 ，所以 ，所以直線 與 的傾斜角互補(bǔ)，所以 ．依題意，直線 的斜率存在，設(shè)直線 的方程為：，將其代入拋物線 的方程，整理得 ．設(shè) ，則 ，所以 ．以 替換點(diǎn) 坐標(biāo)中的 ，得 ．所以 ．所以直線 的斜率為 ．19. （1） 聯(lián)立方程有，有 ，由于直線與拋物線相切，得 ，所以 ，所以 ．（2） 設(shè)直線 的方程為：， 代入橢圓方程可得：，由 ，解得 ． 設(shè) ，所以 ，則直線 的 方 程 為：，令 ，可得 所以直線 與 軸的交點(diǎn)為 ．18. （1） 依題意，設(shè)拋物線 的方程為 ．由拋物線 且經(jīng)過點(diǎn) ，得 ，所以拋物線 的方程為 ．（2） 顯然 ，由 消去 ，得 ，由題意知 ，得 ，由 消去 ，得 ， 其中 ，化簡得 ，又 ，得 ， 解得 ，設(shè) ，則 ，由 ，得 ，所以 的取值范圍是 ．17. （1） 由題意可得：，又 ，解得 ．所以橢圓 的方程為：．（2） 設(shè) ，將 代入 ，得 ．由題意知 解得 ．所以 的取值范圍為 ．16. （1） 因?yàn)閽佄锞€上的點(diǎn) 到 軸的距離等于 ，所以點(diǎn) 到直線 的距離等于點(diǎn) 到焦點(diǎn) 的距離，得 是拋物線 的準(zhǔn)線，即 ， 解得 ，所以拋物線的方程為 ；可知橢圓的右焦點(diǎn) ，左焦點(diǎn) ，由 ，得 ， 又 ，解得 ，由橢圓的定義得 ， 所以 ， 又 ，得 ，所以橢圓的方程為 ．（2） 據(jù)題意，過點(diǎn) 的切線斜率存在，設(shè)為 ，則切線方程為：，聯(lián)立拋物線方程 可得 ，由直線和拋物線相切，可得 ，即 因?yàn)?，所以方程 存在兩個(gè)不等實(shí)根，設(shè)為 ，因?yàn)?，由方程 可知，所以切線 ，所以 ，結(jié)論得證．15. （1） 由題意設(shè)雙曲線方程為 ．由已知得 ，再由 ，得 ．故雙曲線 的方程為 ．（2） 由題意，得原點(diǎn) 為 的中點(diǎn)， 軸，所以直線 與 軸的交點(diǎn) 是線段 的中點(diǎn)，故 ，即 由 得 ．設(shè) ，由題意知 ，則 即 代入 的方程，得 將 及 代入 得 ．解得 ，故 ，．14. （1） 據(jù)題意，所以 為點(diǎn) 到直線 的距離，連接 ，因?yàn)? 為線段 的中垂線與直線 的交點(diǎn)，所以 ，所以 點(diǎn)的軌跡是拋物線，焦點(diǎn)為 ，準(zhǔn)線為直線 ，所以曲線 的方程為 ．（2） ①若直線 的斜率不存在，此時(shí) 為原點(diǎn)，滿足 ，所以，方程為 ．②若直線 的斜率存在，設(shè)其方程為 ，將直線方程與橢圓方程聯(lián)立可得 即 ，可得 設(shè) ，則 ，由 可知 ，化簡得 ，解得 或 ，將結(jié)果代入 驗(yàn)證，舍掉 ．此時(shí)，直線 的方程為 ．綜上所述，直線 的方程為 或 ．13. （1） 根據(jù) 及題設(shè)知 ，．將 代入 ，解得 或 （舍去）．故 的離心率為 ．（2） 法1：因?yàn)? 的角平分線總垂直于 軸，所以 與 所在直線關(guān)于直線 對(duì)稱．設(shè)直線 的斜率為 ，則直線 的斜率為 ．所以直線 的方程為 ，直線 的方程為 ．設(shè)點(diǎn) ，由 消去 ，得
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