【正文】 SC ttUtu ?????? ?圖 719 列出微分方程和初始條件 CCCd2 V ( 0 ) ( 7 2 0 )d( 0 ) 0uuttu ??? ? ? ???? ??3. 求 2e2tV電壓源引起的零狀態(tài)響應(yīng) [見圖 (d)電路 ] 其解為 )(e)()()( 39?，F(xiàn)在分別計(jì)算響應(yīng)的幾個(gè)分量然后相加得到全響應(yīng)。已知 uC(0)=4V，uS(t)=(2+e2t)V，求電容電壓 uC(t)的全響應(yīng)。L ttiti ??? ?? ? 電感電流 iL(t)的零狀態(tài)響應(yīng)為 )Ae1()e1()( 500 LpL ttiti ?? ???? ? iL(t)的全響應(yīng)為零輸入響應(yīng)與零狀態(tài)響應(yīng)之和 )0( A ) . 0 5 e()Ae1()()()(500 500 500 L39。 ???K 于是 )0(A)()( 500L ??? ? tti t 可以得到 電感電流 iL(t)的全響應(yīng)也可以用分別計(jì)算出零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng) ， 然后相加的方法求得 。 圖 718 iL(0+)= 解：在 t0時(shí)，電阻 R1被開關(guān)短路，電感電流的初始值為 V10)0(2SL ????? RUi 在 t0時(shí)的電路中，用諾頓等效電路代替連接電感的含源電阻單口網(wǎng)絡(luò)，得到圖 (b)所示電路，該電路的微分方程為 )0(dd scLLo??? tIitiRL 其全解為 )()()()( Lp LpLhL tiKetititit???? ? ? 式中 )( scLp0??????? ItiRL? 代入上式得到 )( 500L ?? ? tKti 代入初始條件 )0()0( LL ?? ?? ii其中第一項(xiàng)是瞬態(tài)響應(yīng)，第二項(xiàng)是穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。 (a) 全響應(yīng)分解為固有響應(yīng)與強(qiáng)制響應(yīng)之和 (b) 全響應(yīng)分解為零輸入響應(yīng)與零狀態(tài)響應(yīng)之和 圖 717 瞬態(tài)響應(yīng) 穩(wěn)態(tài)響應(yīng) 全響應(yīng) 零輸入響應(yīng) 零狀態(tài)響應(yīng) 全響應(yīng) 圖 718(a)所示電路原來處于穩(wěn)定狀態(tài)。 C 0 S ( ) e ( 1 e ) ( 0 ) ( 7 1 7 ) ttu t U U t????? ? ? ? ?全 響 應(yīng) ＝ 零 輸 入 響 應(yīng) ＋ 零 狀 態(tài) 響 應(yīng) 以上兩種疊加的關(guān)系，可以用波形曲線來表示。 也就是說電路的 完全響應(yīng)等于零輸入響應(yīng)與零狀態(tài)響應(yīng)之和。 在直流輸入時(shí)，當(dāng) t??時(shí)，uC(t)=uCp(t) 這個(gè)強(qiáng)制響應(yīng)稱為 直流穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。 圖 7－ 16 RC電路的完全響應(yīng) 為了求得電容電壓的全響應(yīng)，以電容電壓 uC(t)為變量，列出圖 (b)所示電路的微分方程 其解為 S CpChC e)()()( UKtututuRCt???? ?UC(0+)=U0 CCSd ( 0 ) ( 7 1 5 )duR C u U tt ? ? ? ? 代入初始條件 S0C )0( UKUu ????S0 UUK ?? 求得 S S0C e)()( UUUtuRCt??? ? 于是得到電容電壓以及電容電流的表達(dá)式 S S0CpChC e)()()()( UUUtututuRCt????? ? C 0 S S ( ) ( ) e ( 0) ( 7 16) tu t U U U t??????? ? ? ? ?全 響 應(yīng) 固 有 響 應(yīng) 強(qiáng) 制 響 應(yīng)全 響 應(yīng) 瞬 態(tài) 響 應(yīng) 穩(wěn) 態(tài) 響 應(yīng) 第一項(xiàng)是對應(yīng)微分方程的通解 uCh(t)，稱為電路的固有響應(yīng)或自由響應(yīng)， 若時(shí)間常數(shù) ? 0，固有響應(yīng)將隨時(shí)間增長而按指數(shù)規(guī)律衰減到零，在這種情況下，稱它為瞬態(tài)響應(yīng)。 t=0時(shí)開關(guān)倒向 2端。 下面討論 RC串聯(lián)電路在直流電壓源作用下的全響應(yīng)。將電路用圖 7－ 15(b)所示諾頓等效電路代替，其中 oWscWo RURRUIRRR SS ????? 電感電流的表達(dá)式為 )e1()( oSL?tRUti ??? 設(shè) t0為延時(shí)時(shí)間，則有 mA6)e1()( τ oS0L0??? ?tRUti 由此求得 ?????? ???S0Lo0)(1lnUtiRt ? 當(dāng) Rw=0?時(shí)， ? = 1061 0 )(1ln3S0Lo0 ??????? ??????????? ??? ?UtiRt ? 當(dāng) Rw=900?時(shí)， ? = )(1ln3S0Lo0 ??????? ??????????? ??? ?UtiRt ?167。 圖 7－ 15 解：開關(guān)閉合前，電路處于零狀態(tài)， iL(0)=0。為了改變延時(shí)時(shí) 間，在電路中串聯(lián)一個(gè)電位器，其電阻值可以從零 到 900?之間變化。已知繼電 器線圈參數(shù)為： R=100?， L=4H，當(dāng)線圈電流達(dá)到 6mA時(shí)，繼電器開始動(dòng)作，將觸頭接通。 圖 714 0)0(L ??i解：開關(guān)閉合后的電路如圖 (b)所示，由于開關(guān)閉合瞬間電感電壓有界，電感電流不能躍變，即 0)0()0( LL ?? ?? ii 將圖 (b)中連接電感的含源電阻單口網(wǎng)絡(luò)用諾頓等效電路代替，得到圖 (c)所示電路。 圖 7－ 13 RL電路零狀態(tài)響應(yīng)的波形曲線 LS LL S S( ) ( 1 e ) ( 1 e ) ( 0 ) ( 7 1 4 a )d( ) e e ( 0 ) ( 7 1 4 b )dtRtLStRtLi t I I tiu t L R I R I tt??????? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? 電路如圖 714(a)所示，已知電感電流iL(0)=0。當(dāng) t=0時(shí)開關(guān)由 a倒向 b，其電感電流和電感電壓的計(jì)算如下： 圖 7－ 12 RL電路的零狀態(tài)響應(yīng) 以電感電流作為變量，對圖 (b)電路列出電路方程 SL Iii R ??SLL IiRU ?? 這是常系數(shù)非齊次一階微分方程，其解答為 LLSd ( 0 ) ( 7 1 2 )diL i I tRt ? ? ? ? 常系數(shù)非齊次一階微分方程的其解答為 式中 ? =L/R是該電路的時(shí)間常數(shù)。 0)0(C ??u圖 711 V120oc ?UuC(0)=0 ?? 300oR解：在開關(guān)閉合瞬間，電容電壓不能躍變，由此得到 0)0()0( CC ?? ?? uu 先將連接于電容兩端的含源電阻單口網(wǎng)絡(luò)等效于戴維寧等效電路，得到圖 (b)所示電路，其中 V120oc ?U ?? 3 0 0oR 電路的時(shí)間常數(shù)為 s3 0 0s103F103 0 0 46o ?? ??????? ??CR 當(dāng)電路達(dá)到新的穩(wěn)定狀態(tài)時(shí)，電容相當(dāng)開路，由此求得 V1 2 0)( ocC ??? UU 按照式 (7－ 11)可以得到 )0(3112022dd)()0(V)e1(120)e1()(4441031 1031 46CC1031 τ ocC????????????????????ttuCtitUtutttt 為了求得 i1(t)，根據(jù)圖（ a）所示電路，用 KCL方程得到 )0(A)()()(41031 CS1 ??????? ttiIti t二、 RL電路的零狀態(tài)響應(yīng) RL一階電路的零狀態(tài)響應(yīng)與 RC一階電路相似。 電路如圖 711(a)所示，已知電容電壓 uC(0)=0。零狀態(tài)響應(yīng)變化的快慢也取決于時(shí)間常數(shù) ? =RC。 圖 7－ 10 RC電路的零狀態(tài)響應(yīng)曲線 圖 79 從上可見， 電容電壓由零開始以指數(shù)規(guī)律上升到 US，經(jīng)過一個(gè)時(shí)間常數(shù)變化到 ()US=，經(jīng)過 (4～5)?時(shí)間后電容電壓實(shí)際上達(dá)到 US。 對于直流電源激勵(lì)的電路 ， 它是一個(gè)常數(shù) ， 令 Qtu ?)(Cp 將它代入式 (7－ 8)中求得 SCp )( UQtu ?? 因而 CCSd ( 7 8 )duR C u Ut ? ? ? C C h C p S( ) ( ) ( ) e ( 7 1 0 )tRCu t u t u t K U?? ? ? ? ? 式中的常數(shù) K由初始條件確定。其解答由兩部分組成，即 式中的 uCh(t)是與式（ 7－ 8）相應(yīng)的齊次微分方程的通解，其形式與零輸入響應(yīng)相同，即 )0(ee)( Ch ??? ? tKKtu RCtstCCSd ( 7 8 )duR C u Ut? ? ?C C h C p( ) ( ) ( ) ( 7 9 )u t u t u t? ? ? 式 (7－ 9)中的 uCp(t)是式 (7－ 8)所示非齊次微分方程的一個(gè)特解 。 (a) t0 的電路 (b) t0 的電路 以電容電壓為變量，列出圖 (b)所示電路的微分方程 SCR Uuu ??SCC UuRi ??圖 79 uC(0)=0 uC(0+)=0 其電壓電流的變化規(guī)律，可以通過以下計(jì)算求得。t=0時(shí)開關(guān)閉合， RC串聯(lián)電路與直流電壓源連接，電壓源通過電阻對電容充電。 本節(jié)只討論由直流電源引起的零狀態(tài)響應(yīng) 。 167。 圖 78 解：開關(guān)轉(zhuǎn)換瞬間，電感電流不能躍變，故 )0()0( LL ?? ?? ii 將連接到電感的電阻單口網(wǎng)絡(luò)等效為一個(gè)的電阻，得到的電路如圖 (b)所示。 圖 77 電路如圖 7－ 8(a)所示，開關(guān) S1連接至 1端已經(jīng)很久， t=0時(shí)開關(guān) S由 1端倒向 2端。 RL電路零輸入響應(yīng)也是按指數(shù)規(guī)律衰減，衰減的快慢取決于常數(shù) ? 。與能量變化過程相應(yīng)的是各電壓電流從初始值，逐漸減小到零的過程。 在開關(guān)轉(zhuǎn)換瞬間，由于電感電流不能躍變，即iL(0+)= iL(0)= I0 ，這個(gè)電感電流通過電阻 R時(shí)引起能量的消耗，這就造成電感電流的不斷減少，直到電流變?yōu)榱銥橹埂? 圖 7－ 5 解：在開關(guān)閉合瞬間，電容電壓不能躍變，由此得到 V6)0()0( CC ?? ?? uu將 連接于電容兩端的電阻單口網(wǎng)絡(luò) 等效于一個(gè)電阻，其電阻值為 ??????? k10k)36 368(oR得到圖 (b)所示電路，其時(shí)間常數(shù)為 3621 0 1 0 5 1 0 s 5 1 0 s 0 . 0 5 sRC? ??? ? ? ? ?? ? ?根據(jù)式 7－ 5得到 )0(mAe10106edd)()0(Ve6e)(20203 0CC20 0C?????????????????tRUtuCtitUtuttttt??電阻中的電流 iR(t)可以用與 iC(t)同樣數(shù)值的電流源代替電容，用電阻并聯(lián)的分流公式求得 iR(t) )(63 3)( 2020CR tttiti ?? ??????二 、 RL電路的零輸入響應(yīng) 電感電流原來等于電流 I0，電感中儲(chǔ)存一定的磁場能量，在 t=0時(shí)開關(guān)由 1端倒向 2端，換路后的電路如圖 (b)所示。 電路如圖 7－ 5(a)所示，已知電容電壓 uC(0)=6V。 例如在電容電壓初始值 U0不變的條件下，增加電容 C，就增加電容的初始儲(chǔ)能，使放電過程的時(shí)間加長；若增加電阻 R，電阻電流減小，電阻消耗能量減少，使放電過程的時(shí)間加長。 圖 7－ 4 RC電路零輸入響應(yīng)的波形曲線 由于電容在放電過程中釋放的能量全部轉(zhuǎn)換