【正文】 電子狀態(tài) 用 n,l,j,m 四個(gè)量子 數(shù)確定。 167。 ???????mjjjmmjjjJmjjjjjmjjjJz ,|,|?,|)1(,|?2121212212????????? ? mjjjmmjmjmmjmjmjjjm,|,|,| 2112111211211本征矢 作為一個(gè)例子下面列出了電子自旋角動(dòng)量 j2 = 1/2情況下幾個(gè) CG系數(shù)公式 。 j1, j2 和 j 所滿足的上述關(guān)系稱為三角形關(guān)系 ， 表示為 Δ(j 1, j2, j)。 另一方面，對(duì)于一個(gè) j 值， |j1, j2, j, m 基矢有 2j+1個(gè)，那末 j 從 jmin 到 jmax 的所有基矢數(shù)則由下式給出： 2m i n2212m i n2m a x )1()12()12(m axm i njjjjjjjj?????????等差級(jí)數(shù)求和公式 Jmax = j1 + j2 由于非耦合表象基矢和耦合表象基矢是相互獨(dú)立的 ， 等式兩邊基矢數(shù)應(yīng)該相等 ， 所以耦合表象基矢 |j1,j2,j,m 的數(shù)亦應(yīng)等于 (2j1+1)(2j2+1)個(gè) ， ??????? ? mjjjmmjmjmmjmjmjjjm,|,|,| 2112111211211從非耦合表象到耦合表象的變換由下式給出： 等式兩邊基矢數(shù)應(yīng)該相等 于是 (j1+j2+1)2 jmin2 = (2j1+1)(2j2+1) 從而可解得： jmin = |j1j2|。 m2 = j2, j21,..., j2+1, j2 → (m2)max = j2。 （ 3） j的取值范圍 （ j與 j1,j2的關(guān)系 ） j1 j2 ， 求 jmax 因?yàn)?m m1 m2 取值范圍分別是： m = j, j1,..., j+1, j → m max = j。 m39?？紤]到 m1 = m m2 ，則上式可改寫(xiě)為： ??????? ? mjjjmjmmjmjmmjmjjjm,|,|,| 2122212221212或： ??????? ? mjjjmmjmjmmjmjmjjjm,|,|,| 2112111211211（ 2） CG系數(shù)的么正性 我們知道 ， 兩個(gè)表象之間的么正變換有一個(gè)相位不定性 ， 如果取適當(dāng)?shù)南辔灰?guī)定 ， 就可以使 CG系數(shù)為實(shí)數(shù) 。 [證畢 ] 所以這四個(gè)角動(dòng)量算符有共同的正交歸一完備的本征函數(shù)系。 事實(shí)上這是意料之中的事 ， 因?yàn)榉彩菨M足角動(dòng)量定義 JiJJ ??? ???? ??的力學(xué)量都滿足如下對(duì)易關(guān)系： ? ?zyxJJ ,0?,? 2 ?? ??? ? 2,10?,?)3( 22 ?? iJJ i證： ? ? ? ?21212221212 ?,2???,? JJJJJJJ ?? ????? ? ? ? ? ?2121212121222121 ?,??????2?,??,? JJJJJJJJJJJ zzyyxx ?????? ? ? ? ? ?212121212121 ?,??2?,??2?,??200 JJJJJJJJJ zzyyxx ?????0?上面最后一步證明中 ，使用了如下對(duì)易關(guān)系： ? ? ? ?? ? 0?,???,???,??212121212121???JJJJJJJJJzzyyxx同理可證 ? ?0?? 222 ?JJ成立。 4 兩個(gè)角動(dòng)量耦合 返回 設(shè)有 J1, J2 兩個(gè)角動(dòng)量，分別滿足如下角動(dòng)量對(duì)易關(guān)系： 222111?????? JiJJJiJJ ???????? ????因?yàn)槎呤窍嗷オ?dú)立的角動(dòng)量， 所以相互對(duì)易 ， 即 0?,? 21 ??????? JJ ??其分量 對(duì)易關(guān)系可寫(xiě)為 ? ?? ?? ???????????yxzxzyzyxJiJJJiJJJiJJ??,???,???,????證： ? ? ? ?yyxxyx JJJJJJ 2121 ??,???,? ??? ? ? ? ? ? ? ? ?yxyxyxy JJJJJJJJ 22122111 ?,??,??,??,? ????zz JiJi 21 ?00? ?? ???? zJi ??? )??( 21 zz JJi ?? ?同理，對(duì)其他分量成立。 下面我們普遍討論一下兩個(gè)角動(dòng)量的耦合問(wèn)題 。 mmcBeEE lnnl ???? ??? mcBe ??? ?? 20 ? 根據(jù)上一章選擇定則可知， )1(1,0 ?????? lm所以譜線角頻率可取三值： ????????????cBecBe??????22000??無(wú)磁場(chǎng)時(shí)的一條譜線被分裂成三條譜線 Sz= ?/2 時(shí)，取 +；Sz= ??/2 時(shí)，取 ? 。(239。39。 mlnn lmEE ??????????? ?????? )139。39。0lnnl EE ???II。 B = 0 無(wú)外磁場(chǎng)時(shí) 電子從 En ? 到 En’ ?’ 的躍遷的譜線頻率為： ?39。 ??????????????)2(2)2(20000 ????znznnn l mScBeEScBeEEE??這正是 Stern—Gerlach 實(shí)驗(yàn)所觀察到的現(xiàn)象。 （ 2）外磁場(chǎng)存在時(shí)，能量與自旋狀態(tài)有關(guān)。對(duì)類氫原子情況 如 Li， Na， …… 等堿金屬原子，核外電子對(duì)核庫(kù)侖場(chǎng)有屏蔽作用，此時(shí)能級(jí)不僅與 n 有關(guān)，而且與 ? 有關(guān)，記為 E n ? 則有心力場(chǎng)方程可寫(xiě)為： n l mn l m ErV ??? ????????? ??? )(2 22?（三）求解 Schrodinger 方程 由于 n l mlmnllmznllmnlzn l mzmYrRmYLrRYrRLL?????????? ????),()(),(?)(),()(??（ 2） 當(dāng) B ? 0 時(shí)（有外場(chǎng)）時(shí) 所以在外磁場(chǎng)下， ?n ? m 仍為方程的解，此時(shí) n l mn l mz ELceBrV ???? ????????? ????? )?(2)(222??n l mn l mn l m EmceBrV ????? ??????????? ??? )(2)(222???n l mn l mn l mnl EmcBeE ???? ??? )1(2?2)1(2?? ????znl Sf o rmcBeEE?同理 2)1(2?? ?????znl Sf o rmcBeEE????????????????2)1(22)1(2????znlznln l mSf o rmcBeESf o rmcBeEE??（ 1）分析能級(jí)公式可知：在外磁場(chǎng)下，能級(jí)與 n, l, m 有關(guān)。其解為： ),()(21 ????? lmnln l m YrR???I。 （ 2） 復(fù)雜塞曼效應(yīng)： 當(dāng)外磁場(chǎng)較弱，軌道 自旋相互作 用不能忽略時(shí)，將產(chǎn)生復(fù)雜塞曼效應(yīng)。 3 簡(jiǎn)單塞曼效應(yīng) 返回 （一）實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象 （二）氫、類氫原子在外場(chǎng)中的附加能 （三）求解 Schrodinger 方程 （四） 簡(jiǎn)單塞曼效應(yīng) 塞曼效應(yīng)： 氫原子和類氫原子在外磁場(chǎng)中，其光譜線發(fā)生分 裂的現(xiàn)象。 （五）自旋波函數(shù) 因?yàn)? Sz 是 2 2 矩陣，所以在 S2, Sz 為對(duì)角矩陣的表象內(nèi)， χ 1/2, χ 1/2 都應(yīng)是 2 1 的列矩陣。 此時(shí) Φ 可以寫(xiě)成如下形式： 波函數(shù)。 即： 1222 ??? zyx ??????????????yzxxzxyzzyzxyyxiii????????????????2?????2?????2????分量形式：2. 反對(duì)易關(guān)系 基于 σ 的對(duì)易關(guān)系，可以證明 σ 各分量之間滿足反對(duì)易關(guān)系 : ???????????0????0????0????zxxzyzzyxyyx???????????? 證： 我們從對(duì)易關(guān)系 : xyzzy i????? ?2???? ??出發(fā) 左乘 σ y xyyzyzyy i ???????? ??2?????? ??xyyzyzy i ??????? ??2????? 2 ??xyyzyz i ?????? ??2???? ??右乘 σ y yxyzyzy i ??????? ??2????? 2 ??yxzyzy i ?????? ??2???? ??二式相加 0???? ?? xyyx ????同理可證 :x, y 分量的反對(duì)易關(guān)系亦成立 . [證畢 ] xyyx ???? ???? ??或 由對(duì)易關(guān)系和反對(duì)易關(guān)系還可以得到關(guān)于 Pauli 算符的如下非常有用性質(zhì)： ??????????????yzxxzxyzzyzxyyxiii??????????????????????????????σy2=1 3. Pauli算符的矩陣形式 根據(jù)定義 ?????????????????????? 1001?1001?22 zzz S ????求 Pauli 算符的 其他兩個(gè)分量 令 ????????? dcbax??利用反對(duì)易關(guān)系 zxxz ???? ???? ?????????? ??????????????????????????? ? 10011001dcbadcba得： ??????????????????? ?? dcbadcba?????00daσX 簡(jiǎn)化為： ????????? 00c bx??????????????????0000 **2ccccx? ?????????22||00||cc I? 1|| 2 ?? c令： c = exp[iα ] (α 為實(shí) ） ， 則 ????????? ?00? ?? i ix e e由力學(xué)量算符厄密性 ???????????????????????????? ??000000??**cbbccbxx ??得： b = c* (或 c = b*) ????????? 00*ccx?σx2 = I 求 σy 的矩陣形式 出發(fā)由 xzyxzy ii ?????? ?????? ????????????????????????001001??? iiy eei得：????????????00)()(????iiee這里有一個(gè)相位不定性，習(xí)慣上取 α= 0 ， 于是得到 Pauli 算符的矩陣形式為： ???????? ?????????? ??????????? 10 010001 10 zyx i i ???從自旋算符與 Pauli 矩陣的關(guān)系自然得到自旋算符的矩陣表示： ???????? ?????????? ??????????? 10 01202201 102 ??? zyx Si iSS寫(xiě)成矩陣形式 （ 1） 歸一化 電 子 波 函數(shù)表示成 ?????????? ),( ),(21 tr tr???? 矩陣形式后， 波函數(shù)的歸一化時(shí)必須同時(shí)對(duì)自旋求和和對(duì)空間坐標(biāo)積分，即 ? ? ?????? dtr trd ??????????? ?? ?),(),(21*2*1 ??1]|||[|2221 ??? ? ??? d（ 2） 幾率密度 ??? ?),( tr?? 2221 |||| ?? ?? ),(),( 21 trtr ?? ?