【正文】 (3) 建立典型方程 01P111 ?? FZk(4) 求系數(shù)和自由項 iiik 62411 ???21P 121 qlF ??(5)解方程，求得 iqlZ7221 ? 用典型方程法計算超靜定結(jié)構(gòu)在荷載作用下的內(nèi)力 l lqA B CD E FEI = 常數(shù)= 常數(shù)EI lql/2G2BAiiql1Z qi2i BAGk 11Z 1 =1i4i2i22 iGABql12?2F 1PGA B212qlql24236ql 22ql362ql36ql92236ql 2ql362ql18 18ql 22ql1818ql 2ADBE FC29ql28ql( ) )(ql82)(ql82 28ql( )d) 圖 e) MP圖 (kN 解： (1) 確定基本未知量數(shù)目 可以利用對稱性取結(jié)構(gòu)的 1/4部分進(jìn)行計算，其基本未知量只有結(jié)點 A的轉(zhuǎn)角 Z1。 【 例 82】 試用典型方程法計算圖示結(jié)構(gòu)，并作彎矩圖。 mZ 110kN30kN m10kNC A CD12kN24kNm) A C E FBD3kN/m10kN4m 3m 4m4mAD12kN24kN mZ 110kN30kN m10kNC A CD12kN24kN (5) 解方程，求基本未知量 61 ?Z (6) 作最后彎矩圖 P11 MZMM ?? 用典型方程法計算超靜定結(jié)構(gòu)在荷載作用下的內(nèi)力 A C E FBD3kN/m10kN4m 3m 4m4mAD12kN24kN mZ 110kN30kN m10kNC A CD12kN24kN取結(jié)點 C為隔離體，應(yīng)用力矩平衡條件，求得 14 ?? EIi 1M711 ?k 421P ??F 用典型方程法計算超靜定結(jié)構(gòu)在荷載作用下的內(nèi)力 A C E FBD3kN/m10kN4m 3m 4m4mAD12kN24kN m=1i(c) 基本體系 (b) 簡化后的結(jié)構(gòu) 用典型方程法計算超靜定結(jié)構(gòu)在荷載作用下的內(nèi)力 All Rights Reserved 重慶大學(xué)土木工程學(xué)院 174。 mi =111k=11Z342DBFECA24122424241263040A CBCBA1PF30kN m30kN (2) 選取基本體系，如圖 c所示。 mZ 110kN30kN m10kNC A CD12kN24kN 用典型方程法計算超靜定結(jié)構(gòu)在荷載作用下的內(nèi)力 A C E FBD3kN/m10kN4m 3m 4m4mAD12kN24kN設(shè) EI =常數(shù)。 用典型方程法計算超靜定結(jié)構(gòu)在荷載作用下的內(nèi)力 典型方程法的計算步驟 All Rights Reserved 重慶大學(xué)土木工程學(xué)院 174。由于位移法在確定基本未知量時已滿足了變形協(xié)調(diào)條件，而位移法典型方程是靜力平衡條件，故通常只需按平衡條件進(jìn)行校核。按照 疊加得出最后彎矩圖；根據(jù)彎矩圖作出剪力圖；利用剪力圖 根據(jù)結(jié)點平衡條件作出軸力圖。 1MAll Rights Reserved 重慶大學(xué)土木工程學(xué)院 174。 典型方程法的計算步驟 用典型方程法計算超靜定結(jié)構(gòu)在荷載作用下的內(nèi)力 4）求系數(shù)和自由項。根據(jù)附加約束上反力矩或反力等于零的平衡條件建立典型方程。加附加約束，鎖住相關(guān)結(jié)點，使之不發(fā)生轉(zhuǎn)動或移動，而得到一個由若干基本的單跨超靜定梁組成的組合體作為基本結(jié)構(gòu)（可不單獨畫出）；使基本結(jié)構(gòu)承受原來的荷載，并令附加約束發(fā)生與原結(jié)構(gòu)相同的位移，即可得到所選擇的基本體系。 1）確定基本未知量數(shù)目： n=ny+nl 用典型方程法計算超靜定結(jié)構(gòu)在荷載作用下的內(nèi)力 典型方程法的計算步驟 All Rights Reserved 重慶大學(xué)土木工程學(xué)院 174。 lik 621 ?? 2222215312lililik ???22PqlF ? 用典型方程法計算超靜定結(jié)構(gòu)在荷載作用下的內(nèi)力 F 1P =0ql8?228ql2?8qlqlBACDq =11Z=711k ii43 i2 ik 12 = ?l6 ii6l??li6BA DC BA DC3 il?q?2ql 0=2PFql26 il?BC?0k 21 = ?li6B C CBli122 23 il215 ilk 22 =Z 2 =121kF 2P22kMP圖 圖 1M圖 2MAll Rights Reserved 重慶大學(xué)土木工程學(xué)院 174。 用典型方程法計算超靜定結(jié)構(gòu)在荷載作用下的內(nèi)力 000P22112P22221211P1212111???????????????nnnnnnnnnnFZkZkZkFZkZkZkFZkZkZk????（ 811） All Rights Reserved 重慶大學(xué)土木工程學(xué)院 174。副系數(shù)和自由項則可能為正、負(fù)或零。 系數(shù)和自由項的符號規(guī)定是：以與該附加約束所設(shè)位移方向一致者為正。式中，主斜線上的系數(shù) kii稱為主系數(shù) 或 主反力 ；其他系數(shù) kij稱為 副系數(shù) 或 副反力 ； FiP稱為 自由項 。 位移法典型方程 用典型方程法計算超靜定結(jié)構(gòu)在荷載作用下的內(nèi)力 ???????????002P2221211P212111FZkZkFZkZk (c) All Rights Reserved 重慶大學(xué)土木工程學(xué)院 174。 其物理意義是：基本體系每個附加約束中的反力矩和反力都應(yīng)等于零。 又設(shè)單位位移 Z1=1及 Z2=1單獨作用時，在基本結(jié)構(gòu)附加剛臂上產(chǎn)生的反力矩分別為 k11及 k21，在附加支座鏈桿中產(chǎn)生的反力分別為k12及 k22，則有 將式 (b)代入式 (a)，得 ?????????????002P222121P12111FFFFFFFF (a) ?????????22222121212121211111,ZkFZkFZkFZkF (b) 上式稱為 位移法典型方程 。 設(shè)基本結(jié)構(gòu)由于 Z Z2及荷載單獨作用，引起相應(yīng)于 Z1的附加剛臂的反力矩分別為 F1 F12及 F1P，引起相應(yīng)于 Z2的附加支座鏈桿的反力分別為 F2 F22及 F2P（圖 d、 e、 f）。據(jù)此，可建立求解 Z1和 Z2的兩個位移法的典型方程。其基本體系如圖 b所示。 位移法的基本結(jié)構(gòu)及位移法方程 All Rights Reserved 重慶大學(xué)土木工程學(xué)院 174。 另一種途徑，則是將待分析結(jié)構(gòu)先“拆散”為許多桿件單元，進(jìn)行單元分析 ——根據(jù)轉(zhuǎn)角位移方程，逐桿寫出桿端內(nèi)力式子；再“組裝”，進(jìn)行整體分析 ——直接利用結(jié)點平衡或截面平衡條件建立位移法方程。這種方法能以統(tǒng)一的、典型的形式給出位移法方程。 典型方程法和直接平衡法 關(guān)于如何建立位移法方程以求解基本未知量的問題，有兩種途徑可循。m) b) 圖 (1/m) c) M圖 (kN 36727211EIEIEIk ???將 k11和 F1P的值代入位移法方程式，解得 EIZ16201 ?結(jié)構(gòu)的最后彎矩圖可由疊加公式 計算后繪制。m) 1M 分別在 MP圖和 圖中，截取兩柱頂端以上部分為隔離體，如圖所示。 kN450451P ??????? FDBFCA FFF 位移法的基本結(jié)構(gòu)及位移法方程 C DA BDBAC DBAC(90)90C DF 1PQFFCA= =0DBFFQ1PF72EIC D k 11EI72EI1245?? ?12EIZ 1 =1 11k(90)225 135a) MP圖 (kN其相應(yīng)的基本體系如圖所示，它的變形和受力情況與原結(jié)構(gòu)完全相同。 例如，圖示剛架的基本未知量為結(jié)點 C、 D的水平線位移 Z1。結(jié)構(gòu)的最后彎矩可由疊加公式計算，即 P11 MZMM ?????????????????????????????????????????????????????????????32/516/16/32/58/8/00642442PPPPPPPlFlFlFlFlFlFilFiiiiMMMMCAACABBA 位移法的基本結(jié)構(gòu)及位移法方程 All Rights Reserved 重慶大學(xué)土木工程學(xué)院 174。 ? ? 0AM ik 811 ?在圖 中取結(jié)點 A為隔離體，由 得， 1M在 MP圖中取結(jié)點 A為隔離體，由 得， ? ? 0AM lFF P1P 81??（剛臂內(nèi)之反力矩以順時針為正 ） 位移法的基本結(jié)構(gòu)及位移法方程 11kABCF PF 1PPF l8 8lF PPF l88lF P1PFAABCZ 1 =14 ii2i42 ik 11Ai44 i16lF PPF l64PF l1616lF P32lF P9BCAPM 1MAll Rights Reserved 重慶大學(xué)土木工程學(xué)院 174。 為了求出系數(shù) k11和自由項 F1P，可利用表 82和表 81，在基本結(jié)構(gòu)上分別作出荷載作用下的彎矩圖（ MP圖）和 Z1=1引起的彎矩圖（ 圖）。 式中， Fij表示廣義的附加反力矩（或反力），其中第一個下標(biāo)表示該反力矩所屬的附加約束，第二個下標(biāo)表示引起反力矩的原因。 APFBCZ 1 Z 1EI = 常數(shù)l/2 /2ll1Z 1ZBACF P1F =0Z 11ZF 11ABCZ 1Z 11PFPFABCCBA 位移法方程 基本結(jié)構(gòu)在結(jié)點位移 Z1和荷載共同作用下，剛臂上的反力矩 F1必定為零（圖 c）。同力法一樣，受荷載和基本未知量共同作用的基本結(jié)構(gòu)，稱為 基本體系 （圖 c）。 位移法的基本體系 圖 a所示剛架的基本未知量為結(jié)點 A的轉(zhuǎn)角 Z1。 All Rights Reserved 重慶大學(xué)土木工程學(xué)院 174。 所謂 附加剛臂 ，就是在每個可能發(fā)生獨立角位移的剛結(jié)點和組合結(jié)點上，人為地加上的一個能阻止其角位移 (但并不阻止其線位移 )的附加約束，用黑三角符號“ ”表示。 n=2+1=3 2ZZ 10 =∞EIEI =∞0EI =∞00 =∞EI3Z123 46 5①a) 原結(jié)構(gòu)及其基本未知量 b) “鉸化結(jié)點，增設(shè)鏈桿” 位移法的基本未知量 All Rights Reserved 重慶大學(xué)土木工程學(xué)院 174。 綜上所述，對于有剛性桿的剛架， ny等于全為彈性桿匯交的剛結(jié)點數(shù)與組合結(jié)點數(shù)之和； nl等于使僅將彈性桿端改為鉸結(jié)的體系成為幾何不變所需增設(shè)的最少鏈桿數(shù)。 2）剛性桿兩端的線位移，仍取決于整個剛架的結(jié)點線位移。因為如果該桿兩端的線位移確定了，則桿端的轉(zhuǎn)角也就隨之確定了。 4. 兩點說明 (1) 當(dāng)剛架中有需要考慮軸向變形（ ）的二力桿時，其兩端距離就不能再看作不變。 (2) 確定方法 ——鉸化結(jié)點，增設(shè)鏈桿 位移法的基本未知量 4 2 6yln n n? ? ? ? ?2Z Z 3Z1Z54Z6ZEDA BF GC CBADEF G①ADEF GB C②