【正文】 ? ? ? ?211 ( 39。減小柵欄效應(yīng)方法：尾部補(bǔ)零，使譜線變密，增加頻域采樣點(diǎn)數(shù)，原來(lái)漏掉的某些頻譜分量就可能被檢測(cè)出來(lái) 柵欄效應(yīng) 用 DFT（ FFT）對(duì)周期信號(hào)進(jìn)行譜分析 假設(shè)由模擬信號(hào)采樣得到周期序列 ，其周期為 N ()xn對(duì) 進(jìn)行 FT，得到： ()xn22( ) [ ( ) ] ( ) ( )jkX e F T x n X k kNN? ?? ???? ? ?? ? ??截取 一個(gè)周期，即 N長(zhǎng) ( ) ( ) ( )Nx n x n R n?對(duì) 進(jìn)行 N點(diǎn) DFT： ()xn( ) [ ( ) ] ( ) ( )NX k D F T x n X k R k??()xn可用 表示 的頻譜結(jié)構(gòu) ()Xk ()xn如果截取長(zhǎng)度 M=mN, m為整數(shù)，則 ( ) ( ) ( )MMx n x n R n?210210( ) [ ( ) ] ( )()Mj k nMM M MnmNj k nmNnX k D F T x n x n ex n e?????????????令： 39。如對(duì)抽樣信號(hào)做 N=1600點(diǎn)的 DFT，試確定 X[k]中 k=600和k=1200點(diǎn)所分別對(duì)應(yīng)原連續(xù)信號(hào)的連續(xù)頻譜點(diǎn) f1 和 f2 (kHz)。 解： (1)最大的抽樣間隔 Tmax為 )( 0 0 02 12 1 3m a x sfTm??????(2)最少的信號(hào)持續(xù)時(shí)間 Tpmin為 )( i n sfTc????(3) 由最大的抽樣間隔 Tmax與最少信號(hào)持續(xù)時(shí)間 Tpmin，可得最少 DFT點(diǎn)數(shù) N為 1 0 0 3m a xm in ???? ?TTN p選擇 DFT的 點(diǎn)數(shù) N=1024，以滿足其為 2的整數(shù)冪次。 上述兩種現(xiàn)象又稱為截?cái)嘈?yīng)。 泄漏現(xiàn)象：截?cái)嗪?，使原?lái)的離散譜線向附近展寬，通常稱這種展寬為泄漏，它使頻譜模糊，譜分辨率下降。 F愈小，頻率分辨率愈高。如圖所示： M0NM Mx1( n )x0( n ) x2( n )N ＋ M － 1N ＋ M － 1y0( n )y1( n )N ＋ M － 1y2( n )2 M M3 M ＋ N － 10N － 1y ( n ) ＝ y0( n ) ＋ y1( n ) ＋ y2( n ) ＋ …nnnnnnh ( n )重疊相加法卷積示意圖 模擬信號(hào)的頻譜分析 頻譜分析過(guò)程 時(shí)域抽樣 時(shí)域加窗 頻域抽樣 /pi? 用 DFT對(duì)連續(xù)時(shí)間信號(hào)進(jìn)行頻譜分析必然是近似的，其近似程度與信號(hào)帶寬，抽樣頻率和窗函數(shù)寬度等有關(guān)，近似公式為： 210( ) ( ) [ ( ) ]1( ) [ ( ) ]N j k nNNNnNNX k T x n e T D FT x nx n I D FT X kT??????????? ???? （ ）（ ）頻譜分析存在的問(wèn)題 混疊現(xiàn)象 柵欄效應(yīng) 頻譜泄漏 混疊現(xiàn)象 時(shí)域離散 頻域周期，混疊 要求： fs ≥2fmax 頻域抽樣： F=fs/N=1/(NTs)=1/tp 或 N=fs/F F與信號(hào)的實(shí)際長(zhǎng)度有關(guān)。 長(zhǎng)序列線性卷積的計(jì)算 直接用 DFT計(jì)算的缺點(diǎn)： 1）信號(hào)要全部輸入后才能進(jìn)行計(jì)算，延遲太多 2）內(nèi)存要求大 3）算法效率不高 需要將 x(n)分成若干段短序列 設(shè) h(n)的長(zhǎng)度為 N， x(n)為長(zhǎng)度為 L的長(zhǎng)序列。具體步驟為 : 22 1 2( ) 0 139。 ( ) [ ( ) ]( ) [ ( ) ]X k D F T x nH k D F T h n??若 則由時(shí)域循環(huán)卷積定理有 Yc(k)=DFT［ yc(n) ］ =X (k)H(k) 1010( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )LcLmqLLqmy n h m x n m q L R nh m x n m q L R n??? ? ? ???? ? ? ?? ? ?? ? ?????循環(huán)卷積與線性卷積的關(guān)系 10( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) ) ( )01LLLmcy n x n h n h m x n m R nnL??? ? ? ?? ? ??( ( ) ) ( ) ,Lqx n x n q L?? ? ????()ly n qL?10( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )Nlmc l Lqh m x n q L m y n q Ly n y n q L R n???? ? ?? ? ? ?????所以 ,循環(huán)卷積 yc(n)等于線性卷積 yl(n)以 L為周期的周期延拓序列的主值序列 , 因?yàn)?yl(n)的長(zhǎng)度為 N1+N21, 因此只有L≥ N1+N21時(shí)， yl(n)以 L為周期進(jìn)行周期延拓才不會(huì)產(chǎn)生混疊， yc(n)= yl(n) 將 x(n)、 h(n)的長(zhǎng)度都變?yōu)?N1+N21, 則： 11 1 2( ) 0 139。 可看出 y(n)≠y ’(n) 10( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) ) ( )01LNNmcy n x n h n h m x n m R nnL??? ? ? ?? ? ??循環(huán)卷積與線性卷積的關(guān)系 即 yl(n)的長(zhǎng)度為 N1+N21 由此可見(jiàn)， 循環(huán)卷積既可在時(shí)域直接計(jì)算，也可以在頻域計(jì)算。 ?????? ?????? ?? kNkX ?? 2)( 實(shí)際應(yīng)用中，大多數(shù)是求解線性卷積，如信號(hào) x（ n）通過(guò)系統(tǒng) h（ n），其輸出就是線性卷積 y（ n） =x（ n） *h（ n）。 因而可知 ， 滿足以下關(guān)系： Ni?? 2??????? ?? Nk ?? 2?????????????????????kiNiNkNkik,20212???????? 也就是說(shuō) ， 函數(shù) 在本采樣點(diǎn) , , 而在其他采樣點(diǎn) 上 ， 函數(shù) 整個(gè) X(ejω)就是 由 N個(gè) 函數(shù)分別乘上 X(k)后求和 。 因而 ， 插值函數(shù) Φk(z)只在本身采樣點(diǎn) r=k處不為零 ， 在其他（ N1） 個(gè)采樣點(diǎn) r上 （ r=0, 1, …, N1， 但 r≠k） 都是零點(diǎn) （ 有 （ N1）個(gè)零點(diǎn) ） 。令其分子為零，得 2jN rrze?? r=0, 1, …, k, …, N1 即內(nèi)插函數(shù)在單位圓的 N等分點(diǎn)上 （ 也即采樣點(diǎn)上 ） 有 N個(gè)零點(diǎn) 。所以 X（ Z）的 N個(gè)取樣值 X(K），包含了 X（ Z）的全部信息。 =(x[n]+x[n+3])R3(n) ={2, 1, 4。記 X(ej?)在 {?=2? k/3。 例：已知序列 對(duì) x(n)的 Z變換 X(z)在單位圓上等間隔采樣 N點(diǎn)，采樣值為： 求有限長(zhǎng)序列 IDFT[X(k)] 解： ( ) ( ) , 0 1nx n a u n a? 2( ) ( ) | 0 , 1 , 1jkNkzeX k X z kN??? ??00( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )1()1NNrn rNNrn rN n rNNNrrnNNx n x n rN R na u n rN R na R n a a R na R na?? ? ???? ? ??????????????????例：設(shè)序列 x(n)={8,7,6,5,4,3,2,1},現(xiàn)對(duì) x(n)的 DTFT 在一個(gè)周期內(nèi)作 N=6點(diǎn)的均勻抽樣 ,得 XN(K)。 同樣，頻域取樣時(shí)， 頻域離散，時(shí)域周期 。否則產(chǎn)生時(shí)域混疊現(xiàn)象。 說(shuō)明： xN(n)為原序列 x (n)以 N為周期 周期延拓后的主值序列。當(dāng) ω0=2π/N時(shí) ∴ 對(duì) X（ k）求 IDFT，得 xN(n)=IDFT［ X(k)］ ( ) ( ) nnX z x n z??? ? ?? ?22( ) ( ) ( ) , 0 k N 1 ( 3 . 5 . 1 )jkNkj k nNze nX z x n e X k??? ?? ? ? ?? ? ? ??問(wèn)題 :由頻域離散采樣能否恢復(fù)原來(lái)的信號(hào) ,其條件是什么 ? 頻率域采樣 1. 頻率域采樣定理 設(shè)：任意序列 x(n)的 Z變換為： 設(shè) X(z)收斂域包含單位圓 (即 x(n)存在傅里葉變換 )。 根據(jù)實(shí)序列 DFT的對(duì)稱特性 X[k]=X *[Nk] 可得 可見(jiàn)，當(dāng)輸入信號(hào)的頻率為 qω0時(shí)， X(K)的 N個(gè)值中只有X（ q） =N，其余皆為零，如果輸入信號(hào)為若干個(gè)不同頻率的信號(hào)的組合，經(jīng)離散付里葉變換后，不同的 k上， X（ k）將有一一對(duì)應(yīng)的輸出，因此，離散付里葉變換實(shí)質(zhì)上對(duì)頻率具有選擇性。 X[3]=X*[93]= X*[6]= ； X[5]=X*[95]= X*[4]= 。確定 DFT在奇數(shù)點(diǎn)的值。 圓周共軛對(duì)稱與共軛反對(duì)稱序列示意圖 任何有限長(zhǎng)序列 x(n)都可以表示成其共軛對(duì)稱分量和共軛反對(duì)稱分量之和， 即 ( ) ( ) ( ) , 0 1 e p o px n x n x n n N? ? ? ?1 ( ) [ ( ) * ( ) ] 21 ( ) [ ( ) * ( ) ]2epopx n x n x N nx n x n x N n? ? ?? * ( ) * ( ) * ( ) ( ) ( )e p o p e p o px N n x N n x N n x n x n? ? ? 其對(duì)應(yīng)的 DFT： D F TD F TD F TD F TD F T *D F T**ri*x ( n )x ( n )x ( n )x ( N n )()()( ) ( )( ) ( )()()epopep Rop IXXXjXXXkjkx n kx n kNkk? ???? ???? ???? ???? ???? ????( ) ( ) ( ) ( ) ( )opr e pix n x n j x n x n x n? ? ? ?( ) ( ) ( ) ( ) ( )e p o pRIX K X k j X k X k X k? ? ? ?則 : DFT的共軛對(duì)稱性 如果 即 XR(k)= XR(Nk) XI(k)= XI(Nk) | ( ) | | ( ) |X K X N K??a r g { ( ) } a r g { ( ) }X k X N k? ? ?即 X(k)的幅頻特性是偶對(duì)稱的，相頻特性是奇對(duì)稱的 若 x(n)是長(zhǎng)度為 N的實(shí)序列，且 X(k)=DFT［ x(n)］ ,則 (1) X(k)圓周共軛對(duì)稱 X(k)=X*(Nk), 0≤k≤N 1 利用 DFT的共軛對(duì)稱性，還可通過(guò)計(jì)算一個(gè) N點(diǎn)DFT，得到兩個(gè)不同實(shí)序列的 N點(diǎn) DFT， 對(duì)于實(shí)序列，計(jì)算 N點(diǎn) DFT 若 N=偶，則只要計(jì)算 前 N/2+1點(diǎn) 的 DFT，其它點(diǎn)由 X(k)=X*(Nk)可得到