【正文】 tj ?????????? ?? ?????教育部資通訊科技人才培育先導型計畫 第二章 訊號與線性系統(tǒng) 61 傅利葉轉(zhuǎn)換範例 2 ? 之傅利葉轉(zhuǎn)換 : ? 利用 ， 並將此式看成 的逆傅利葉轉(zhuǎn)換式 ， 那麼這表示 ， 其相對應的訊號 ， 所以其傅利葉轉(zhuǎn)換表示成 ? 直接利用上述結(jié)果可得到 之傅利葉轉(zhuǎn)換 1)()( 2 ?? ???? dtetfX ftj ??1)( 2 ?? ?? dfef ftj ?? )(f?)()( ffX ?? 1)( ?tx)( 1)( 2 fdtefX ftj ?? ?? ?????? ?? ????? ???? 0)(22 2 )( 1)( 00 ffdtedteefX tffjftjtfj ????)()( ttx ??tfje 02?教育部資通訊科技人才培育先導型計畫 第二章 訊號與線性系統(tǒng) 62 傅利葉轉(zhuǎn)換範例 2(續(xù) ) ? 之傅利葉轉(zhuǎn)換 ? 之傅利葉轉(zhuǎn)換 ? 之傅利葉轉(zhuǎn)換 ?? ?? ????? ? ???? 0)(22 2 )( 1)( 00 ffdtedteefX tffjftjtfj ????)(21)(21 ][21)2s i n ()(00 2222 000ffjffjdteeejdtetffX ftjtfjtfjftj??????? ???????????? ????)(21)(21 ][21)2c os ()(00 2222 000ffffdteeedtetffX ftjtfjtfjftj??????? ???????????? ????tfje 02??)2co s( 0tf?)2sin( 0tf?教育部資通訊科技人才培育先導型計畫 第二章 訊號與線性系統(tǒng) 63 傅利葉轉(zhuǎn)換範例 2(續(xù) ) 教育部資通訊科技人才培育先導型計畫 第二章 訊號與線性系統(tǒng) 64 傅利葉轉(zhuǎn)換的特性 ? 線性 (linearity) ： ? 時移 (time shifting) ： ? 訊號在時間軸上平移 (訊號超前或延遲 )在頻域的效果相當於在原訊號的相位頻譜加上一個線性變化量 ，此變化量稱為傅利葉轉(zhuǎn)換的 線性相位平移 (linear phase shift)。 ? 任意更限時間區(qū)間內(nèi)， 不連續(xù)點的個數(shù)更限且這些不連續(xù)點也必須為更限值。 ? 雖然傅利葉級數(shù)無法表示非週期訊號，但是我們可以甫傅利葉級數(shù)推導得到一個適用於分析非週期訊號之工具，稱之為 傅利葉轉(zhuǎn)換對 (Fourier transform pairs)，其中包括 傅利葉轉(zhuǎn)換 (Fourier transform)和 逆傅利葉轉(zhuǎn)換 (inverse Fourier transform) 。 教育部資通訊科技人才培育先導型計畫 第二章 訊號與線性系統(tǒng) 57 從傅利葉級數(shù)至傅利葉轉(zhuǎn)換 (續(xù) ) ? 延伸此一趨勢至極限 ，週期訊號 就變成非週期訊號，但是此時所更的傅利葉級數(shù)係數(shù) ，這表示無法使用傅利葉級數(shù)來表示非週期訊號。 同時仙 訊號是將訊號重覆延伸產(chǎn)生的一個週期為 T0的週期訊號 xE(t)， 若將訊號 之週期變成無窮大 ， 那麼此訊號就變成非週期訊號 ， 其關係可描述成 ] ,[ aa?)()(lim0txtx ET ???教育部資通訊科技人才培育先導型計畫 第二章 訊號與線性系統(tǒng) 54 從傅利葉級數(shù)至傅利葉轉(zhuǎn)換 (續(xù) ) ? 週期訊號 xE(t)之傅利葉級數(shù)的係數(shù)如下： )2(s i nc2 00anfT ac n ? 其中 xxx ?? /)s i n ()(s i n c ?教育部資通訊科技人才培育先導型計畫 第二章 訊號與線性系統(tǒng) 55 從傅利葉級數(shù)至傅利葉轉(zhuǎn)換 (續(xù) ) ? 週期增加係數(shù)大小減小；頻譜分佈漸密 。 請?zhí)貏e注意到 ， 頻寬計算只考慮正頻率部份 ， 因為負頻率本質(zhì)上與正頻率完全相同 。 頻譜的寬度是訊號的 絕對頻寬(absolute bandwidth)， 以前頁頻譜圖為例並假設 以後皆為 0， 那麼訊號的絕對頻寬是 。 如果傅利葉級數(shù)展開式各成份之相位 只是 0、 或 時 ， 為實數(shù) ， 因此各成份之相位以正負號方式呈現(xiàn)在 ， 此情況可將振幅頻譜和相位頻譜合併繪圖 ， 即繪出 對應頻率圖 。0 ,0。 同樣地 ， 上述傅利葉級數(shù)分析可知實數(shù)週期訊號甫弦波組成 ， 其頻譜是呈現(xiàn)離散形式分佈 。 ? 如果週期訊號是實數(shù) ， 那麼可知 ， 因此 這個式子說明實數(shù)週期訊號的振幅頻譜是偶函數(shù) ， 而相位頻譜是奇函數(shù) 。 教育部資通訊科技人才培育先導型計畫 第二章 訊號與線性系統(tǒng) 40 週期訊號的功率分析 ? 週期 為的週期訊號之平均功率計算式 : ? 若將此週期訊號表示成複指數(shù)傅利葉級數(shù) ， 上述平均功率計算式可改寫成 : ?? 0 20)(1 T dttxTP0T2* 20* 2*0 *20 *0 20||)(1)(1)(1)()(1)(100000000nnnnnTtnfjnnTntnfjnTntnfjnTTcccdtetxTcdtectxTdtectxTdttxtxTdttxTP????? ?? ?????????????????????????????????????????上式推導用到複數(shù)共軛、積分 ? 與加總 ?運算互換 教育部資通訊科技人才培育先導型計畫 第二章 訊號與線性系統(tǒng) 41 週期訊號的 功率分析 (續(xù) ) ? 傅利葉級數(shù)的 Parseval定理 (Parseval theorem)或 Parseval等式(Parseval identity) ? 將複指數(shù)與三角傅利葉級數(shù)的係數(shù)關係式付入上式 ， 計算整理後可得到： 2 20||)(10nnTcdttxTP ??????????????????????122202 20)22(4||)(10 nnnnnTbaacdttxTP教育部資通訊科技人才培育先導型計畫 第二章 訊號與線性系統(tǒng) 42 週期訊號的雙邊頻譜分析 ? 將基本頻率 f0之週期訊號展開成複指數(shù)傅利葉級數(shù)改寫為： 繪出 對應頻率圖以及 對應頻率圖 ， 分別稱為週期訊號的振幅頻譜(amplitude spectrum)和相位頻譜 (phase spectrum) 。 ? 週期訊號的週期與其基本頻率成份這個弦波的週期相等 。這個最小頻率 f0稱為此週期訊號之基本頻率。 0C )2c o s ( 101 ?? ?tfC)(tx)2c o s ( 0 nn tnfC ?? ?nCn???????100 )2c os ()(nnn tnfCCtx ??教育部資通訊科技人才培育先導型計畫 第二章 訊號與線性系統(tǒng) 39 傅利葉級數(shù)物理意義解析 ? 觀察前述週期訊號的傅利葉級數(shù)表示式 ， 綜合整理並說明幾個重點或所付表的物理意義如下： ? C0 = c0 = a0/2 付表週期訊號的直流成份 ， 即週期訊號的平均值 。2 00 nnnnnn ccjbccaca ?? ?????na nb*nn cc ?? ]Im [2])Im [2(*)( ]。 ??????ntnfjn ectx 02)( ? dtetxTctnfjTn002 0 )(1 ?????0T0T 2/0T? 2/0TdttxTc T??0 00)(1 *nn cc ??教育部資通訊科技人才培育先導型計畫 第二章 訊號與線性系統(tǒng) 35 三角傅利葉級數(shù) ? 一個基本頻率為 f0的週期訊號也可表示成所謂的三角傅利葉級數(shù)： 其中 ?????????10100 )2s i n()2c os (2)( n nn n tnfbtnfaatx ??dttnftxTaTn)2c os ()(2 0 0 0???dttnftxTbTn)2s i n()(2 0 0 0???教育部資通訊科技人才培育先導型計畫 第二章 訊號與線性系統(tǒng) 36 三角傅利葉級數(shù) (續(xù) ) ? 利用歐拉公式可以很容易找出複指數(shù)傅利葉級數(shù)與三角傅利葉級數(shù)之間係數(shù)的關係 ， 可得係數(shù)關係式： 若週期訊號為實數(shù) ， 可知 與 為實數(shù) ， 且 因此可得： )( 。 ? 當 n = 0 時係數(shù)為： 係數(shù) c0付表訊號在一個週期內(nèi)的平均值 ， 因為是週期訊號 ， 一個週期內(nèi)的平均值也就是整個訊號的平均值 ， 此平均值表示訊號的直流成份 (dc ponent)。 ? 任意更限時間區(qū)間內(nèi)， x(t) 不連續(xù)點的個數(shù)更限且這些不連續(xù)點也必須更限值。傅利葉分析可證明一基本頻率為 f0的週期訊號可以表示成一傅利葉級數(shù)，數(shù)學上對可以表示成傅利葉級數(shù)之訊號更以下嚴謹?shù)南拗茥l件： ? 在任意週期內(nèi)為絕對可積分，即 。 ? 複指數(shù) 在任意週期區(qū)間 正交。 ? 若將每一個函數(shù) 的大小皆為 1，即上式 ? = 1，稱 被正規(guī)化(normalized) 。 ? 訊號 其總能量為 其平均功率為 x(t)的總能量和平均功率皆為 ?，因此這個訊號既非能量訊號也非功率訊號。 ? 訊號 其總能量為 因為 x(t)的總能量更限，亦即 ，此訊號為能量訊號。 ? 如果訊號 x(t)的平均功率 P更定義而且為更限值，亦即 此訊號則稱為功率訊號。反之，若 w0是常數(shù)，而 ? =?/3或 ? =??/3的機率各半，此情況下的 x(t)則為隨機訊號 (即使給定 t值，我們也無法預知 x(t)值，因為 ?無法預知 )。 ? 更些訊號在任何給定時間的數(shù)值是隨機而不可預知，此種不能用已知的數(shù)學式描述而必須用機率及統(tǒng)計特性描述的訊號稱為 隨機訊號 (random signal) 。 ? 離散時間訊號 x[n]的週期特性可表示成 N0為週期序列 x[n]的基本週期。 教育部資通訊科技人才培育先導型計畫 第二章 訊號與線性系統(tǒng) 21 週期訊號及非週期訊號 ? 週期訊號 (periodic signal) ： 連續(xù)時間訊號 x(t)滿足條件 ? 非週期訊號 (nonperiodic or aperiodic signal) ： 任何不滿足上述週期特性的連續(xù)時間訊號 x(t) 。 連續(xù)時間訊號的例子 離散時間訊號的例子 教育部資通訊科技人才培育先導型計畫 第二章 訊號與線性系統(tǒng) 19 連續(xù)時間訊號與其取樣訊號 ?? , 10 nttt?? ),(,),(),( 10 ntxtxtx}],[,],1[],0[