【正文】 能量守恒）。 2. 受激發(fā)射幾率和自發(fā)發(fā)射幾率 假定系統(tǒng)在初始 t=0時(shí)刻處在 |a, n 的狀態(tài)，即原子處于上能級(jí)而光場(chǎng)有 n個(gè)光子的狀態(tài) , , 1( 0 ) , ( 0 ) 1 , ( 0 ) 0Ia n b na n C C? ?? ? ??同理，對(duì) ()式的第二式積分，且取一階微擾近似，有 47 , 1 , 00( 1 ) 0,10, ( ) 1( ) i 1 d ( ) e x p [ i ( ) ]1 e x p [ i ( ) ]( ) 1tb n a nbnanCtC t g n t C t ttC t g n??????????? ? ?? ? ? ???????? ? ???( 一 階 近 似 )系統(tǒng)從 |a, n 態(tài)躍遷到 |b, n+1態(tài) 的幾率為 22( 1 ) 2 0, 20s in [ (( ) 2 ]( ) 4 ( ) 4() )antC t g n ????????由于初始光場(chǎng)的光子數(shù)為 n，故上式右端可分為跟初始光場(chǎng)中 n個(gè)光子相關(guān)的部分和跟n個(gè)光子無(wú)關(guān)的部分，即 48 22( 1 ) 2 0, 2st022( 1 ) 2 0, 2sp0s i n [ ( ) 2]( ) 4() s i n [ ( ) 2]( ) 4(( ))anantC t g ntC t g????????? ?????????? ??()中第一式與初始光場(chǎng)的光子數(shù) n成正比，是 n個(gè)光子誘發(fā)的受激發(fā)射 (stimulated emission)幾率， n=0時(shí)該幾率為 0；第二式跟初始光場(chǎng)的光子數(shù)無(wú)關(guān)，即使初始光場(chǎng)處于光子數(shù)為 0的真空態(tài)，該項(xiàng)仍然存在，故屬于自發(fā)發(fā)射 (spontaneous emission)幾率。 44 1. 受激吸收幾率 假定系統(tǒng)在初始 t=0時(shí)刻處在 |b, n+1 的狀態(tài) , , 1, , 1( 0) ( 0) , ( 0) , 1 , 1( 0) 0 , ( 0) 1Ia n b na n b nC a n C b nbnCC????? ? ?????即初始時(shí)刻系統(tǒng)中的原子處于下能級(jí)而光場(chǎng)有 (n+1)個(gè)光子。 43 , 0 , 1, 1 0 ,( ) i 1 e x p [ i ( ) ] ( )( ) i 1 e x p [ i ( ) ] ( )( 3 .2 )a n b nb n a nC t g n t C ttC t g n t C tt????????? ? ? ? ??? ????? ? ? ?? ??上面的方程，就是系統(tǒng)處于 態(tài) |a, n和 |b, n+1 的幾率振幅隨時(shí)間變化的方程 。 相互作用圖像下的相互作用能為 1a f 0 a f 0? ?a f a f(? ? ? ?( ) ( ) ( ) ? ? ? ? ?(9? ))ISSH t U t H U tH H g a a???? ???? ? ???在 相互作用圖像下， 利用系統(tǒng)定態(tài)哈密頓算符 的兩個(gè)本征態(tài) |a, n和 |b, n+1，可把系統(tǒng)的一般 態(tài)矢表示為 0?H39 把 ()式代入 ()式，可得書(shū)上 ()式 (作業(yè)：由 ()式推出證明()式 ），即下面的 ()式 00? ?af i ( ) i ( )? ? ? ? ?( ) [ ] ( 2 .2 0 )eeI ttH t g a a? ? ? ??? ? ? ???其中， ω0為二能級(jí)原子的共振躍遷頻率： 0 ( )ab? ? ???為便于推導(dǎo)，可對(duì) ()的第二式取它的原始表達(dá)式，再去掉不滿足能量守恒的項(xiàng)。 ??a??? ?a??? ?a ?? ?? ?a ?34 我們考慮的是由光場(chǎng)和原子構(gòu)成的孤立系統(tǒng)，無(wú)外界作用，為了滿足能量守恒，相互作用項(xiàng)只能取為： ? ?af? ? ? ? ( ) )?( H g a a????綜上所述，在全量子化理論下，由光場(chǎng)和原子構(gòu)成的系統(tǒng)的總能量算符為 ?? ?? ?? ? ?( 1 2)? ? ? ? ? ? ? ? ( )( 2. 14 )abH a ag a a?? ? ? ? ? ?????????35 相互作用圖像下的相互作用能 在上面得到的由光場(chǎng)和原子構(gòu)成的系統(tǒng)的總哈密頓算符中，前兩項(xiàng)對(duì)應(yīng)系統(tǒng)的自由項(xiàng)（定態(tài)哈密頓算符），第三項(xiàng)對(duì)應(yīng)相互作用項(xiàng)（微擾項(xiàng)），即有 0 a f? ? ?0? ?af? ? ?? ? ? ? ? ? ?( 1 2 )? ? ? ?( 2 .1 5 )?()abH H HH a aH g a a? ? ? ? ? ? ???? ????? ? ? ???????36 因此，采用相互作用圖象時(shí)，變換算符為 00? ? ?? ?( ) e x p ( i ) ( 2 . 1 6 ? ? ? ? ? ?i [ ( 1 2 ) ])e x p { }abU t H tt a a? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ?10100? ( ) ( ) ? ? ? ?( ) ( ) (( ))ISISU t tF t U t F U t?? ??? ??????前面已經(jīng)講過(guò)，相互作用圖象下的態(tài)矢和算符可由 ()式得到 37 我們考慮的系統(tǒng) 其狀態(tài)由光場(chǎng)狀態(tài)和原子狀態(tài)共同決定（光場(chǎng)狀態(tài)用單模光子數(shù)態(tài) |n描述，原子狀態(tài)用上下能級(jí)本征態(tài) |a和 |b描述）。顯然上升算符和下降算符互為復(fù)共軛轉(zhuǎn)置，即互為厄米共軛。將一個(gè)矢量用基矢量展開(kāi)時(shí)，展開(kāi)系數(shù)即是該矢量的坐標(biāo)，由坐標(biāo)構(gòu)成的列矩陣，就是矢量的矩陣表示。 23 上下能級(jí)的本征態(tài)矢量 |a和 |b滿足正交歸一和完備性關(guān)系，例如 a|a= b|b=1, a|b= b|a=0。 0? ?SSHH?? SH?22 輻射場(chǎng)與原子的相互作用 Schr246。例如，在三種圖像中，算符之間的對(duì)易關(guān)系不會(huì)變，算符的平均值不會(huì)變，態(tài)矢之間的內(nèi)積不會(huì)變，測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系不會(huì)變，等等。dinger方程 0? ?i ( ) ( ) ( )S S S St H H tt??? ????不難驗(yàn)證，在相互作用圖像下，態(tài)矢和算符分別滿足以下方程（算符不顯含時(shí)間）： 由定義 () ，相互作用圖像下 Hamiltonian算符的微擾項(xiàng)與自由項(xiàng)分別為 10010 0 0 0 0? ? ? ?( ) ( ) ? ? ? ? ?( ) ( )(1 .1 5 )ISI S SH U t H U tH U t H U t H??? ?????????20 0?i ( ) ( ) d1? ? ?( ) [ ( ) , ]di( 1 .1 6 )I I II I It H ttF t F t Ht??????????? ???因此，在相互作用圖像下，態(tài)矢和算符都隨時(shí)間演化，其中態(tài)矢的演化遵從 Schr246。dinger圖像下的態(tài)矢和算符作如下幺正變換得到： 0?SH? SH?17 0010100? ?( ) e x p ( i )?( ) ( ) ( ) ( 1 .1 3 )? ? ? ?( ) ( ) ( )SISISU t H tt U t tF t U t F U t????? ??????????其中的幺正變換算符 是由 Hamiltonian算符的主要部分來(lái)定義 的時(shí)間演化算符，它同樣滿足前面給出的演化算符的一切性質(zhì)。 16 當(dāng)一個(gè)量子系統(tǒng)的 Hamiltonian算符可以分解成兩部分 ： 相互作用圖像 0? ? ? ( 1 .1 2 )S S SH H H ???其主要部分 不含時(shí)間（通常是自由部分），而微擾部分 只對(duì)系統(tǒng)產(chǎn)生較小的影響（通常是相互作用部分），這時(shí)就可以采用相互作用圖像。 假設(shè)力學(xué)量算符不顯含 t，即 ?0SFt? ? ?利用 ()式， 有 ? ?? ? ? ? ? ? ?d d ( ) ( )H S SF t U t F U U F U t? ? ? ? ? ?14 我們有 ? ?? ? ? ? ? ?i , iSSU t H U U t U H? ? ? ? ? ? ?利用 ()式，即 ? ?? ? ? ??? ?1? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?d d ( ) i? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?( 1 i ) [ ]? ? ? ? ? ?( 1 i ) [ ] ( 1 i ) [ , ] H S S S SS S S SH H H H HHSUUH H HF t U H F U U F H UU F U U H U U H U U F UF H H F F H???? ? ????????????15 (1d1? ? ?( ) [ , . 1 1] )di HHF t F Ht ?總之，在 Heisenberg圖像中，態(tài)矢不隨時(shí)間演化，而力學(xué)量算符是隨時(shí)間演化的， 其演化的方式遵守 Heisenberg方程。dinger圖像下的態(tài)矢和力學(xué)量算符， 利用演化算符進(jìn)行幺正變換，可以得到 Heisenberg圖像下的 態(tài)矢和力學(xué)量算符。不顯含時(shí)間的 Hamiltonian算符，在兩種圖像下是相等的，這是因?yàn)?Hamiltonian算符與時(shí)間演化算符是對(duì)易的 。 在Heisenberg圖像中 ， 力學(xué)量平均值隨時(shí)間的演化 ， 完全歸之于力學(xué)量算符隨時(shí)間的演化 ， 而態(tài)矢保持不變 。dinger方程，有 ? ? ?i ( ) ( 0 ) ( ) ( 0 )U t H U tt??? ??由于 |φ(0)是任意的，故 ? ? ?i ( ) ( ) ( ) U t t H U t? ? ?代表能量算符的 Hamiltonian算符不顯含 t，()式有以下形式解 1 0 1 0 ( )? ?( , ) e xp[ i ( ) ] ? ? ?( ) ( , 0) e xp( i )U t t H t tU t U t Ht? ? ? ???? ? ???11 Heisenberg圖像 在下面 ， Schr246。力學(xué)量平均值 隨時(shí)間的演化由態(tài)矢來(lái)承載： ?F ?d d 0Ft ?? ?( ) ( ) ( )F t F t F t????6 令 1 1 0 0?( ) ( , ) ( ) ( 1 .2 ) t U t t t?? ?其中算符 把 t0時(shí)刻的態(tài) |φ(t0)變換成 t1時(shí)刻的態(tài) |φ(t1) ，稱為 時(shí)間演化算符 ，它代表一個(gè)連續(xù)變換（ t0和 t1任意），把態(tài)矢隨時(shí)間變化而變化用一個(gè)變換算符的作用來(lái)體現(xiàn)。dinger圖像 ?i ( ) ( ) . ) ( 1 1t H tt??? ??在該圖像中，體系的狀態(tài)矢量 |φ(t)是隨時(shí)間t演化的，其演化的方式遵守 Schr246。dinger圖像；反之，全都?xì)w之為 力學(xué)量算符隨時(shí)間的演化而態(tài)矢保持不變，得到 Heisenberg圖像；部分歸之為態(tài)矢變化，部分歸之為算符變化，則是相互作用圖像。dinger圖像 2． Heisenberg圖像 3．相互作用 (Interaction)圖像 4 在量子力學(xué)中，可觀測(cè)量 不是力學(xué)量算符和態(tài)矢本身，而 是力學(xué)量的平均值及其概率分布， 它們 是隨時(shí)間演化的。1 處理激光問(wèn)題三個(gè)層次的理論 1．速率方程理論 2．半經(jīng)典理論 3．全量子理論 2 全量子力學(xué)方程 半經(jīng)典方程 速率方程 對(duì)泵浦和弛豫過(guò)程取平均 忽略掉所有的相位關(guān)系 用來(lái)研究激光線寬 、 強(qiáng)度的起伏 、 相干性 、 光子統(tǒng)計(jì)等 用來(lái)研究閾值條件 、 輸出功率等 (連續(xù)運(yùn)轉(zhuǎn) 、 脈沖運(yùn)轉(zhuǎn) 、 調(diào) Q激光器 ) 用來(lái)研究頻率牽引和推斥 、 粒子數(shù)的脈動(dòng) 、 相位鎖定 、 超短脈沖 、 相干光學(xué)瞬態(tài)過(guò)程等 三個(gè)層次理論之間的關(guān)系 量子力學(xué)的三種圖象 對(duì)同一個(gè)物理內(nèi)容，可以存在多種不同的數(shù)學(xué)描述方式，這些不同的描述方式是完