【正文】 表象下， |a=1|a+0 |b， |b= 0|a+1 |b。將一個(gè)矢量用基矢量展開時(shí)，展開系數(shù)即是該矢量的坐標(biāo)，由坐標(biāo)構(gòu)成的列矩陣，就是矢量的矩陣表示。 因此 |a和 |b在其自身表象下的矩陣表示為 10, 0( .1 )12ab? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ?24 1. 上升算符和下降算符 定義上升算符 和下降算符 如下： ? ? 2201? ?, ( ) 0 00 00?(2?,.2( ) 0 1) 0abba????? ??? ? ?? ??? ? ?????? ? ?????????? ??? ?? ?, 0 ? ?, 0( )b a aa b b????? ????????25 即 上 升算符 把 下 能級本征態(tài) |b變?yōu)?上 能級本征態(tài) |a ， 下 降算符 則把 上 能級本征態(tài) |a變?yōu)?下 能級本征態(tài) |b 。顯然上升算符和下降算符互為復(fù)共軛轉(zhuǎn)置，即互為厄米共軛。 ?????利用 和態(tài)矢的正交歸一性，易證 ? ?? ? ? ?, a a b b? ? ? ???? ? ? ? ? ?? ?? ? ? ? ? ? ? ?[ , ] , [ , ] ? ? ? ? ?( 2 . 4? ? ?[ , ] , [ , ])? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ???? ? ???26 在原子的量子力學(xué)狀態(tài) |ψ=Ca|a+Cb|b下，上升算符和下降算符的平均值與原子的密度矩陣元對應(yīng) (書上 pp. 106107)： ?? ( )?a b baa b aba b C Cb a C C? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ???? ? ???2. 系統(tǒng)的 Hamiltonian算符 由單模光場和二能級原子組成的系統(tǒng)，其總的Hamiltonian算符包括自由光場的貢獻(xiàn) (帶下標(biāo) f)、純原子的貢獻(xiàn) (帶下標(biāo) a)，以及光場與原子之間的相互作用的貢獻(xiàn) (帶下標(biāo) af，相互作用采用電偶極矩近似 )，即有 f a a f? ? ? ? ( 2. 6)H H H H? ? ?假設(shè)單模光場的頻率為 Ω， 二能級原子上下能級本征態(tài)分別是 |a和 |b， 分別對應(yīng)能量本征值 Ea=?ωa和 Eb=?ωb， 則有 28 ?f? ?aaf? ? ?( 1 2 )? ? ? ? ?? ? ?( , ) (( 7 ))2.,abH a aHH e z t e R E z t?? ? ? ? ? ?? ????????? ? ? ???RE其中原子的 Hamiltonian算符在它自身的表象下，還可以表達(dá)為 a( ?0) 0ababH a a b b????????? ????29 顯然有以下本征方程 aa? ?, ( 2 .9 ) abH a a H b b????考慮到原子的固有電偶極矩 (平均 )為零，即 =0a e R a b e R b?故光場與原子之間相互作用項(xiàng) 對應(yīng)的矩陣為 af0? ?( , )0a e R bH E z tb e R a?? ?? ?????af? ? ( , )H e R E z t??30 af?0 ( , )? ? ( , )( 2 .1 00)abbaD E z tHD E z t?? ?? ?????即 其中 ??0 ( )? ? ?(( 2 .1 1, ) s i n ( ))a b b aD D a e R b DE z t E k z a a? ? ? ???????定義光場與原子之間的耦合系數(shù) g為 0( ) si n 2 ( .12)g D E k z??31 于是 af?0? 0?0 ( , )??( , ) 001? ?si n ( )1001? ?( ) , ( si n )10abbaD E z tHD E z tD E k z a aDEg a a g k z?? ?? ???????? ? ???????? ? ? ?????32 于是相互作用項(xiàng)又可以表達(dá)成 ? ?af? ? ? ? ?( ) ( )H g a a ??? ? ?考慮到上升算符和下降算符滿足 ? 01? ?10?????? ????即 ? ? ? ?af? ? ? ? ? ? ? ? ?()H g a a a a? ? ? ?? ? ? ?33 在上面相互作用包含的四項(xiàng)中 ? 表示原子從上能級躍遷到下能級，同時(shí)吸收光場的一個(gè)光子； ? 表示原子從下能級躍遷到上能級，同時(shí)吸收光場的一個(gè)光子； √ ? 表示原子從上能級躍遷到下能級，同時(shí)光場增加一個(gè)光子； √ ? 表示原子從下能級躍遷到上能級，同時(shí)光場增加一個(gè)光子。 ??a??? ?a??? ?a ?? ?? ?a ?34 我們考慮的是由光場和原子構(gòu)成的孤立系統(tǒng)，無外界作用，為了滿足能量守恒，相互作用項(xiàng)只能取為： ? ?af? ? ? ? ( ) )?( H g a a????綜上所述，在全量子化理論下，由光場和原子構(gòu)成的系統(tǒng)的總能量算符為 ?? ?? ?? ? ?( 1 2)? ? ? ? ? ? ? ? ( )( 2. 14 )abH a ag a a?? ? ? ? ? ?????????35 相互作用圖像下的相互作用能 在上面得到的由光場和原子構(gòu)成的系統(tǒng)的總哈密頓算符中，前兩項(xiàng)對應(yīng)系統(tǒng)的自由項(xiàng)（定態(tài)哈密頓算符），第三項(xiàng)對應(yīng)相互作用項(xiàng)（微擾項(xiàng)），即有 0 a f? ? ?0? ?af? ? ?? ? ? ? ? ? ?( 1 2 )? ? ? ?( 2 .1 5 )?()abH H HH a aH g a a? ? ? ? ? ? ???? ????? ? ? ???????36 因此，采用相互作用圖象時(shí)，變換算符為 00? ? ?? ?( ) e x p ( i ) ( 2 . 1 6 ? ? ? ? ? ?i [ ( 1 2 ) ])e x p { }abU t H tt a a? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ?10100? ( ) ( ) ? ? ? ?( ) ( ) (( ))ISISU t tF t U t F U t?? ??? ??????前面已經(jīng)講過，相互作用圖象下的態(tài)矢和算符可由 ()式得到 37 我們考慮的系統(tǒng) 其狀態(tài)由光場狀態(tài)和原子狀態(tài)共同決定（光場狀態(tài)用單模光子數(shù)態(tài) |n描述，原子狀態(tài)用上下能級本征態(tài) |a和 |b描述）。態(tài)矢對應(yīng)概率振幅，根據(jù)同時(shí)發(fā)生事件的概率相乘原理，可以用 |a, n ≡ |a|n表示原子處于上能級而光場光子數(shù)為 n的本征態(tài)，而用 |b, n+1 ≡ |b|n+1表示原子處于下能級而光場光子數(shù)為 (n+1)的本征態(tài)，顯然 00? , ( 1 2) ,? , 1 [ ( 1 ) 1( 2.2] ,1)17abH a n n a nH b n n b n????? ? ? ???? ? ? ? ? ???38 , , 1 (2( ) ( ) , ( ) , 1 .1 8 )Ia n b nt C t a n C t b n? ?? ? ?其中展開系數(shù) Ca, n (t)和 Cb, n+1(t)假定為時(shí)間的緩變函數(shù)。 相互作用圖像下的相互作用能為 1a f 0 a f 0? ?a f a f(? ? ? ?( ) ( ) ( ) ? ? ? ? ?(9? ))ISSH t U t H U tH H g a a???? ???? ? ???在 相互作用圖像下， 利用系統(tǒng)定態(tài)哈密頓算符 的兩個(gè)本征態(tài) |a, n和 |b, n+1，可把系統(tǒng)的一般 態(tài)矢表示為 0?H39 把 ()式代入 ()式，可得書上 ()式 (作業(yè)：由 ()式推出證明()式 ），即下面的 ()式 00? ?af i ( ) i ( )? ? ? ? ?( ) [ ] ( 2 .2 0 )eeI ttH t g a a? ? ? ??? ? ? ???其中， ω0為二能級原子的共振躍遷頻率： 0 ( )ab? ? ???為便于推導(dǎo)，可對 ()的第二式取它的原始表達(dá)式，再去掉不滿足能量守恒的項(xiàng)。 ? ?a f a f? ? ? ? ? ?( ) ( )SH H g a a ??? ? ? ?40 原子發(fā)射和吸收的躍遷幾率 Eb Ea n?Ω |b |a (n+1)?Ω 單模輻射場與二能級原子構(gòu)成的系統(tǒng) ω0=(EaEb)/?= ωaωb |n |n+1 41 對于由單模輻射場與一個(gè)二能級原子構(gòu)成的相互作用系統(tǒng)，上節(jié)里，我們已經(jīng)在相互作用圖像下，給出了系統(tǒng)態(tài)矢的表達(dá)式()和系統(tǒng) Hamiltonian算符中的 相互作用項(xiàng)表達(dá)式 () ，即有 （假定光場的初始光子數(shù)為 n或者 (n+1)） 00? ?af i ( ) i ( )? ? ? ? ?( ) [ ] ( 2 .2 0 )eeI ttH t g a a? ? ? ??? ? ? ???, , 1 (2( ) ( ) , ( ) , 1 .1 8 )Ia n b nt C t a n C t b n? ?? ? ?0 ( )ab? ? ??? 系統(tǒng)狀態(tài)隨時(shí)間演化的方程 42 在相互作用圖像下，系統(tǒng)態(tài)矢隨時(shí)間的演化，是由系統(tǒng)總能量算符中的相互作用項(xiàng)推動(dòng)的，即有以下方程 af?i ( ) ( 3 . 1( ) ) I I It H tt??? ??將 ()、 ()和 ()式代入上式，再利用定態(tài)能量算符本征態(tài)的正交歸一關(guān)系，可以求得（書上 ()和 ()）。 43 , 0 , 1, 1 0 ,( ) i 1 e x p [ i ( ) ] ( )( ) i 1 e x p [ i ( ) ] ( )( 3 .2 )a n b nb n a nC t g n t C ttC t g n t C tt????????? ? ? ? ??? ????? ? ? ?? ??上面的方程，就是系統(tǒng)處于 態(tài) |a, n和 |b, n+1 的幾率振幅隨時(shí)間變化的方程 。 狀態(tài)演化方程的幾種解 使用迭代法求出 Ca, n (t)和 Cb, n+1(t)的各階近似解，也可以求出它們的強(qiáng)信號解，從而確定系統(tǒng)處于 態(tài) |a, n和 |b, n+1上的幾率 。 44 1. 受激吸收幾率 假定系統(tǒng)在初始 t=0時(shí)刻處在 |b, n+1 的狀態(tài) , , 1, , 1( 0) ( 0) , ( 0) , 1 , 1( 0) 0 , ( 0) 1Ia n b na n b nC a n C b nbnCC????? ? ?????即初始時(shí)刻系統(tǒng)中的原子處于下能級而光場有 (n+1)個(gè)光子。 在 t＞ 0時(shí)刻，由于光場與原子之間的相互作用，原子有一定的幾率躍遷到上能級而光場相應(yīng)減少一個(gè)光子，即代表該過程的幾率振幅 Ca, n (t)≠0 for t＞ 0. 45 為了具體地求出 t＞ 0時(shí)的幾率振幅 Ca, n (t)，對 ()式的第一式積分，取一階微擾近似，有 , , 1 00( 1 ) 0,0,1( ) 1( ) i 1 d ( ) e x p [ i ( ) ]e x p [ i ( ) ] 1( ) 1ta n b nanbnCt