【正文】 2） （ 1/2） （ 1/2） （ 1/2） ?? ? ?? ?圖 83 A 情形 4： B知道 N的選擇但不知道 A的選擇， A不知道 N的選擇（圖 84）。 情形 3： B知道自然的選擇，但不知道 A的選擇（如 B和 A同時(shí)決策）。此時(shí)， B的信息集由原來的 4個(gè)變成 2個(gè)， 2個(gè)信息集分別對(duì)應(yīng)著 B的兩個(gè)不同決策：若 A開發(fā)，自己是否開發(fā)；若 A不開發(fā)， B是否開發(fā)。 情形 1：圖 81 中，假定 B是在知道 A和自然的選擇后進(jìn)行決策，此時(shí)，博弈樹的 7個(gè)決策結(jié)分割成 7個(gè)信息集（每個(gè)信息集只包含一個(gè)決策結(jié)），意味著所有參與人在決策時(shí)準(zhǔn)確地知道自己處于哪一個(gè)決策結(jié)。每個(gè)信息集是決策結(jié)集合的一個(gè)子集，該子集滿足下列條件： （ 1）每個(gè)決策結(jié)都是同一參與人的決策結(jié)；（ 2）該參與人知道博弈進(jìn)入該集合的某個(gè)決策結(jié)，但不知道自己究竟處于哪一個(gè)決策結(jié)。 （ information sets）。 A ?（ 4,4） （ 8,0） （ 3,3） （ 1,0） （ 0,8） （ 0,0） （ 0,1） （ 0,0） 開發(fā) 不開發(fā) 開發(fā) 不開發(fā) 開發(fā) 不開發(fā) 開發(fā) 不開發(fā) B B B B 大 大 小 小 開發(fā) 不開發(fā) N N （ 1/2） （ 1/2） （ 1/2） （ 1/2） ?? ? ?? ?圖 81 （ branches ）：枝是從一個(gè)決策結(jié)到它的直接后續(xù)結(jié)的連線，每一個(gè)枝代表參與人的一個(gè)行動(dòng)選擇。前者是參與人采取行動(dòng)的時(shí)點(diǎn)，后者是博弈行動(dòng)路徑的終點(diǎn)。其博弈樹如下表。 以房地產(chǎn)開發(fā)為例。 （ 6）外生事件（即自然的選擇）的概率分布。 （ 4）參與人的信息集：每次行動(dòng)時(shí)，參與人知道些什么。 （ 2）參與人的行動(dòng)順序：誰在什么時(shí)候行動(dòng)。策略式表述簡(jiǎn)單地給出參與人有些什么策略可供選擇，而擴(kuò)展式博弈要給出每個(gè)策略的動(dòng)態(tài)描述：誰在什么時(shí)候行動(dòng)，每次行動(dòng)有些什么具體行動(dòng)可供選擇，以及知道些什么。 通常用擴(kuò)展式表述分析動(dòng)態(tài)博弈。 四、子博弈精煉納什均衡的應(yīng)用舉例。 二、將納什均衡應(yīng)用于擴(kuò)展式博弈。事實(shí)上，可以驗(yàn)證，還有一個(gè)混合策略納什均衡，即男的以 2/3的概率選擇足球賽，以 1/3的概率選擇芭蕾舞；女的以 1/3的概率選擇足球賽，以 2/3的概率選擇芭蕾舞。同一博弈里有時(shí)會(huì)出現(xiàn)多個(gè)納什均衡，即一般懷況下不能保證其唯一性 . ? （ 2）有些納什均衡并不合理。容易驗(yàn)證 , θ θ 也都不構(gòu)成納什均衡。類似地，假定政府認(rèn)為流浪漢找工作的概率嚴(yán)格大于 ，則政府的唯一最優(yōu)選擇是純策略救濟(jì)；但若政府以 1的概率選救濟(jì)，流浪漢的最優(yōu)選擇是游蕩。假定政府認(rèn)為流浪漢找工作的概率嚴(yán)格小于 ，則政府的唯一最優(yōu)選擇是純策略不救濟(jì)；但若政府以 1的概率選不救濟(jì)，流浪漢的最優(yōu)選擇是找工作，這又將導(dǎo)致政府選擇救濟(jì)，流浪漢則選游蕩， …… 。即在均衡時(shí)，政府以 ， ；流浪漢以 ，以 。 * ??)1,0( ?? 納什均衡要求每個(gè)參與人的混合策略是給定對(duì)方的混合策略下的最優(yōu)選擇。 要找出政府的均衡混合策略，需求流浪漢的最優(yōu)化問題。給定流浪漢選擇混合策略（ r， 1r），政府選純策略救濟(jì)（即θ =1）的期望效用為： （這里省略了選擇第二個(gè)純策略的概率）選擇純策略不救濟(jì)（即 θ =0）的期望效用為： 14)1)(1(3),1( ?????? ????Gv???? ?????? )1(01),0(Gv 如果一個(gè)混合策略 是政府的最優(yōu)選擇，則一定意味著政府救濟(jì)與不救濟(jì)之間是無差異的，即： )1,0( ??),0(14),1( ???? GG vv ????? 上式意味著 。 ???????????????????????????????)15()1()14())1(0)(1()1)(1(3(),( v LGG015 ????? ??Gv* ?? 問題是，解政府的最優(yōu)化問題得到的卻是流浪漢的混合策略。 假定政府的混合策略為 σ G=(θ ,1θ )（即政府以 θ 的概率選救濟(jì)， 1θ 的概率選不救濟(jì)），流浪漢的混合策略為σ L=(r,1r)（即流浪漢以 r的概率選找工作，以 1r的概率選游蕩）。 定義： ? ????????KikikikikikiKiiiKiinnKksisissSKiuuSSGn11111.1,10,1,)(.),(},{:,},。 若一個(gè)策略規(guī)定參與人在給定信息情況下以某種概率分布隨機(jī)地選擇不同的行動(dòng)，則稱該策略為混合策略。 這兩個(gè)例子雖然不存在上面所定義的納什均衡，但具有混合策略納什均衡。如（正面，正面）不是納什均衡，因?yàn)榻o定 B選正面， A的最優(yōu)選擇是反面。 四、混合策略納什均衡 例二：猜謎游戲（猜硬幣）（支付矩陣如下表）。 例一：社會(huì)福利博弈（支付矩陣如下表）。 上面將納什均衡定義為一組滿足所有參與人的效用最大化的策略組合。如（抵賴，抵賴）被剔除掉了，故它不是一個(gè)納什均衡，而（坦白，坦白）是一個(gè)納什均衡，故它沒有被剔除掉。如在囚徒困境博弈里，（坦白，坦白）是一個(gè)占優(yōu)策略均衡、重復(fù)剔除的占優(yōu)均衡，也是一個(gè)納什均衡；豬智博弈中的（按，等待）是一個(gè)重復(fù)剔除的占優(yōu)均衡，也是一個(gè)納什均衡；但在表 Ⅰ 中的（ D， R）是一個(gè)納什均衡，但不是一個(gè)重復(fù)剔除的占優(yōu)均衡（無法通過重復(fù)剔除劣策略的辦法找到均衡解）或占優(yōu)策略均衡。首先，考慮 A的策略，對(duì)于每一個(gè) B的給定策略，找出 A的最優(yōu)策略，在其對(duì)應(yīng)的支付下劃一橫線，然后，用類似的方法找出 B的最優(yōu)策略，若某個(gè)支付格的兩個(gè)數(shù)字下都有橫線，則該格對(duì)應(yīng)的策略組合就是一個(gè)納什均衡。 或表述為： 是下述最大化問題的解： *is n isssssus niiiSsiiii,2,1),(m axar g ** 1* 1*1* ??? ?? ???當(dāng)參與人的策略空間很大時(shí)，按上述方法檢查每一個(gè)策略組合是不是納什均衡很繁瑣。,{*****1*1*1*****1*11即個(gè)參與人的最優(yōu)策略的情況下第是給定其他參與人選擇每一個(gè)如果對(duì)于是一個(gè)納什均衡策略組合博弈個(gè)參與人的策略式表述有?????? 容易檢驗(yàn)，囚徒困境中的（坦白，坦白）是一個(gè)納什均衡，而（抵賴，抵賴）不是一個(gè)納什均衡，因?yàn)榻o定同伙選擇抵賴，自己選抵賴得 1，選坦白得 0，因而抵賴不是自己的最優(yōu)策略，類似地，（坦白，抵賴）和（抵賴，坦白）也不是納什均衡。其核心思想是：博弈的理想結(jié)局是，每個(gè)局中人選擇的策略是對(duì)其他局中人所選策略的最佳反應(yīng)，其中每一個(gè)局中人都不能因單方面改變自己的策略而獲益。上例中，先剔除小豬的劣策略“ 按 ” ，在新博弈中，小豬只有 “ 等待 ” 一個(gè)策略，大豬仍有兩個(gè)策略，但 “ 等待 ” 是它的劣策略，剔除它，就剩下唯一的策略組合（按，待待）。 找出上述均衡的思路是：先找出某個(gè)參與人的劣策略（假定存在），把它剔除，重新構(gòu)造一個(gè)不包含已剔除策略的新博弈；然后再剔除新博弈中某個(gè)參與人的劣策略； …… 直至剩下一個(gè)唯一的策略組合。假定大豬知道小豬是理性的，則會(huì)預(yù)測(cè)到小豬的選擇；此時(shí)，大豬的最優(yōu)選擇只能是 “ 按 ” 。因此，不能用上述占優(yōu)策略找出均衡。兩頭豬有兩種策略：按鈕和等待。但在有些博弈中，仍可應(yīng)用占優(yōu)的邏輯找出均衡。在囚徒困境的博弈里，（坦白，坦白）是占優(yōu)策略均衡。 ii ss ?1 1 1( , , , , , )i i i ns s s s s i? ? ?? 是 之 外 所 有 局 中 人 策 略 合 。39。 B A 坦白 抵賴 坦白 8， 8 0， 10 抵賴 10， 0 1， 1 一般地，稱 對(duì)應(yīng)地，所有的 被稱為 “ 劣策略 ” 。即是說，“ 坦白 ” 是 A的占優(yōu)策略。顯然，無論同伙選擇什么策略，每個(gè)囚徒的最優(yōu)策略都是“ 坦白 ” 。警察知道兩人有罪，但缺乏有力的證據(jù)，除非兩人之中有一個(gè)坦白。 例： “ 囚徒困境 ” 囚徒困境是博弈論中的經(jīng)典案例。,2,1(,:)(.1niSnii ???????每個(gè)參與人的策略空間集合或局中人博弈的參與人 通常情況下，每個(gè)局中人的支付是博弈中所有參與人策略的函數(shù)，故每個(gè)局中人的最優(yōu)策略選擇依賴于所有其他參與人的策略選擇。,{ 11 代表策略式博弈可用 nn uussG ???。在策略式表述中，所有參與人同時(shí)選擇各自的策略，所有參與人選擇的策略一起決定每個(gè)參與人的支付。 在博弈論里，一個(gè)博弈可以有兩種表述方式：一種是策略式（ strategic form representation）表述，另一種是擴(kuò)展式（ extensive form representation ）表述。納什均衡是完全信息靜態(tài)博弈解的一般概念，也是所有其他類型博弈解的基本要求。甲得 500萬，乙損失500萬。 ——最小最大原理。若甲選