【正文】 種是策略式（ strategic form representation）表述，另一種是擴(kuò)展式（ extensive form representation ）表述。前者適合于討論靜態(tài)博弈，后者適合于討論動(dòng)態(tài)博弈。在策略式表述中，所有參與人同時(shí)選擇各自的策略，所有參與人選擇的策略一起決定每個(gè)參與人的支付。 第二節(jié) 完全信息靜態(tài)博弈 策略式表述給出： ).,2,1(),,(:.3 1 nisssu nii ??? ?每個(gè)參與人的支付函數(shù).},。,{ 11 代表策略式博弈可用 nn uussG ???。,2,1,:.2)。,2,1(,:)(.1niSnii ???????每個(gè)參與人的策略空間集合或局中人博弈的參與人 通常情況下，每個(gè)局中人的支付是博弈中所有參與人策略的函數(shù)，故每個(gè)局中人的最優(yōu)策略選擇依賴于所有其他參與人的策略選擇。但在一些特殊博弈中，一個(gè)參與人的最優(yōu)策略選擇可能并不依賴于其他參與人的策略選擇，即無論其他參與人選擇什么策略，他的最優(yōu)策略是唯一的，這種最優(yōu)策略被稱為 “ 占優(yōu)策略 ”（ dominant strategy）。 例： “ 囚徒困境 ” 囚徒困境是博弈論中的經(jīng)典案例。該故事講的是，兩個(gè)嫌疑犯作案后被警察抓住，分別被關(guān)在不同的房間里進(jìn)行審訊。警察知道兩人有罪，但缺乏有力的證據(jù)，除非兩人之中有一個(gè)坦白。警察告訴每個(gè)人，他們的可選擇的策略與支付如下表： 一、占優(yōu)策略 均衡 ? 在該博弈中，每個(gè)囚徒有兩種可能選擇的策略：坦白和抵賴。顯然，無論同伙選擇什么策略，每個(gè)囚徒的最優(yōu)策略都是“ 坦白 ” 。如， B選擇坦白，若 A選擇坦白時(shí)支付為 8，選擇抵賴時(shí)支付為 10，因而坦白比抵賴好；若 B選擇抵賴， A坦白時(shí)的支付為 0，抵賴時(shí)為 1，因而坦白比抵賴好。即是說，“ 坦白 ” 是 A的占優(yōu)策略。同樣， “ 坦白 ” 也是 B的占優(yōu)策略。 B A 坦白 抵賴 坦白 8， 8 0， 10 抵賴 10， 0 1， 1 一般地，稱 對應(yīng)地，所有的 被稱為 “ 劣策略 ” 。注意：這里 若對應(yīng)所有的占優(yōu)策略嚴(yán)格的為局中人 ，is i )(*:, * 即的嚴(yán)格最優(yōu)策略是 i ss ii?*39。39。* ,),(),( iiiiiiiii sss ssussu ???? ???*39。 ii ss ?1 1 1( , , , , , )i i i ns s s s s i? ? ?? 是 之 外 所 有 局 中 人 策 略 合 。 在一個(gè)博弈里，若所有參與人都有占優(yōu)策略存在，則占優(yōu)策略均衡是可以預(yù)測到的唯一均衡，因?yàn)闆]有一個(gè)理性的參與人會(huì)選擇劣策略。在囚徒困境的博弈里，（坦白，坦白）是占優(yōu)策略均衡。 .),(,:**1**占優(yōu)策略均衡稱為策略組合那么的占優(yōu)策略是如果對于所有的在博弈的策略式表述中定義ii sssisi ??二、重復(fù)剔除的占優(yōu)策略均衡 在絕大多數(shù)博弈中，并不存在占優(yōu)策略均衡。但在有些博弈中，仍可應(yīng)用占優(yōu)的邏輯找出均衡。 案例： “ 豬智博弈 ” 豬圈里有兩頭豬（大豬和小豬），豬圈一頭有一豬食槽 ,另一頭安裝著一個(gè)按制豬食供應(yīng)的按鈕，按一下鈕，有 8個(gè)單位的豬食進(jìn)槽，但需 2個(gè)單位的成本。兩頭豬有兩種策略：按鈕和等待。具體的博弈支付和結(jié)果如下表： 小豬 按按鈕 等待 大豬 按按鈕 3， 1 2， 4 等待 7， 1 0， 0 豬智博弈 依賴于小豬的策略：若小豬選 “ 等待 ” ，大豬的最優(yōu)策略是 “ 按 ” ；若小豬選“ 按 ” ，大豬的最優(yōu)策略為 “ 等待 ” 。因此，不能用上述占優(yōu)策略找出均衡。 可能的均衡是什么呢？若小豬是理性的，他只會(huì)選 “ 等待 ” ，因?yàn)?“ 等待 ” 嚴(yán)格優(yōu)于 “ 按 ” 。假定大豬知道小豬是理性的，則會(huì)預(yù)測到小豬的選擇；此時(shí)，大豬的最優(yōu)選擇只能是 “ 按 ” 。因此，（按，等待）是該博弈唯一的均衡。 找出上述均衡的思路是：先找出某個(gè)參與人的劣策略（假定存在），把它剔除，重新構(gòu)造一個(gè)不包含已剔除策略的新博弈；然后再剔除新博弈中某個(gè)參與人的劣策略； …… 直至剩下一個(gè)唯一的策略組合。該策略組合就是博弈的均衡解，稱為 “ 重復(fù)剔除的占優(yōu)策略均衡 ” 。上例中，先剔除小豬的劣策略“ 按 ” ，在新博弈中，小豬只有 “ 等待 ” 一個(gè)策略，大豬仍有兩個(gè)策略，但 “ 等待 ” 是它的劣策略，剔除它，就剩下唯一的策略組合（按，待待）。 例：找出下列博弈的重復(fù)剔除的占優(yōu)策略均衡 局中人 B L M R 局中人 A U 1， 0 1， 2 0， 1 D 0， 3 0， 1 2， 0 局中人 B L M 局中人 A U 1， 0 1， 2 D 0， 3 0， 1 局中人 B L M 局中人 A U 1， 0 1， 2 三、納什均衡 納什均衡 （ Nash equilibrium）是指這樣一種均衡，博弈中的每個(gè)局中人都確信，在其他局中人策略給定的情況下，他選擇了最優(yōu)策略。其核心思想是：博弈的理想結(jié)局是，每個(gè)局中人選擇的策略是對其他局中人所選策略的最佳反應(yīng)，其中每一個(gè)局中人都不能因單方面改變自己的策略而獲益。 正式定義： iSs ssuss uissssssissssuuSSGniiiiiiiiniiiininn????????????,),(),(:,),,(,),(},。,{*****1*1*1*****1*11即個(gè)參與人的最優(yōu)策略的情況下第是給定其他參與人選擇每一個(gè)如果對于是一個(gè)納什均衡策略組合博弈個(gè)參與人的策略式表述有?????? 容易檢驗(yàn)，囚徒困境中的（坦白，坦白）是一個(gè)納什均衡，而（抵賴，抵賴）不是一個(gè)納什均衡，因?yàn)榻o定同伙選擇抵賴，自己選抵賴得 1，選坦白得 0，因而抵賴不是自己的最優(yōu)策略，類似地，（坦白，抵賴）和（抵賴，坦白）也不是納什均衡。同樣（ U， M）也是一個(gè)納什均衡。 或表述為： 是下述最大化問題的解： *is n isssssus niiiSsiiii,2,1),,(m axar g ** 1* 1*1* ??? ?? ???當(dāng)參與人的策略空間很大時(shí)，按上述方法檢查每一個(gè)策略組合是不是納什均衡很繁瑣。在兩人博弈中，有一簡單的方法。首先，考慮 A的策略，對于每一個(gè) B的給定策略，找出 A的最優(yōu)策略，在其對應(yīng)的支付下劃一橫線，然后，用類似的方法找出 B的最優(yōu)策略，若某個(gè)支付格的兩個(gè)數(shù)字下都有橫線，則該格對應(yīng)的策略組合就是一個(gè)納什均衡。 表 Ⅰ 參與人 B L C R 參與人 A U 0， 4 4， 0 5， 3 M 4， 0 0， 4 5， 3 D 3， 5 3， 5 6， 6 納什均衡與占優(yōu)策略均衡及重復(fù)剔除的占優(yōu)均衡之間的關(guān)系 （ 1）每一個(gè)占優(yōu)策略均衡、重復(fù)剔除的占優(yōu)均衡一定是納什均衡，但逆命題不一定成立。如在囚徒困境博弈里，（坦白，坦白）是一個(gè)占優(yōu)策略均衡、重復(fù)剔除的占優(yōu)均衡，也是一個(gè)納什均衡；豬智博弈中的（按，等待）是一個(gè)重復(fù)剔除的占優(yōu)均衡，也是一個(gè)納什均衡；但在表 Ⅰ 中的（ D， R）是一個(gè)納什均衡，但不是一個(gè)重復(fù)剔除的占優(yōu)均衡（無法通過重復(fù)剔除劣策略的辦法找到均衡解）或占優(yōu)策略均衡。 （ 2）納什均衡一定是在重復(fù)剔除嚴(yán)格劣策略過程中沒有被剔除掉的策略組合，但沒有被剔除掉的策略組合不一定是納什均衡，除非它是唯一的。如（抵賴，抵賴）被剔除掉了，故它不是一個(gè)納什均衡，而（坦白，坦白）是一個(gè)納什均衡，故它沒有被剔除掉。在表 Ⅰ 中，沒有任何一個(gè)策略嚴(yán)格劣于另一個(gè)策略，因而沒有一個(gè)策略組合能被剔除掉，即沒有被剔除掉的策略組合很多，但（ D， R）是唯一的一個(gè)納什均衡。 上面將納什均衡定義為一組滿足所有參與人的效用最大化的策略組合。即 是一個(gè)納什均衡，當(dāng)且僅當(dāng)對所有的 ， 根據(jù)該定義，有些博弈不存在納什均衡。 例一：社會(huì)福利博弈（支付矩陣如下表）。 ),( ***1 ni sss ??i).,(m a xa r g ** iiii ssus ??流浪漢 找工作 游蕩 政府 救濟(jì) 3， 2 1， 3 不救濟(jì) 1， 1 0， 0 顯然，該博弈沒有納什均衡。 四、混合策略納什均衡 例二：猜謎游戲（猜硬幣）（支付矩陣如下表）。 兒童 B 正面 反面 兒童 A 正面 1， 1 1， 1 反面 1， 1 1， 1 該博弈是一個(gè)零和博弈，沒有納什均衡。如（正面，正面）不是納什均衡，因?yàn)榻o定 B選正面， A的最優(yōu)選擇是反面。類似地，（反面，正面）、（反面，反面）、（正面，反面）都不是納什均衡。 這兩個(gè)例子雖然不存在上面所定義的納什