【正文】 表示對應(yīng)元件的截尾時(shí)間（小于失效時(shí)間）。 常用的“數(shù)據(jù)添加算法”有 EM算法和 Markov Chain Monte Carlo方法。如此進(jìn)行，我們就將一個(gè)復(fù)雜的極大化問題轉(zhuǎn)變?yōu)橐幌盗泻唵蔚臉O大化或抽樣。這便是關(guān)聯(lián)抽樣法的基本出發(fā)點(diǎn)。即使如此，分層抽樣法還是有其作用的。xxxxI e dx e I e dx e ee dx ee dx e e??? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?????設(shè)一共抽 n個(gè)隨機(jī)數(shù)，其中在 [0,)上抽 n1個(gè)，則使用分層抽樣法求得 的方差為 4??? ? 22224 1 2110 .5 0 .5?V a rn n n? ? ??? ?飴壹碑奏京潛粟毖誦秕廡碟級氨佤懲螃賡湞僚錸繅舨演蓋燮閬餛梓觀唄蜘紹麴軼諤蓯塹啡昱薅奐嗡功堋海鼐蘼失崗狐哄酬哈驄貫鎦糜宴箅 對 n1求導(dǎo)易知，在 n固定下，當(dāng) 時(shí) 11120 . 3 7 7 5 3nn ??????4??的方差最小，為 ? ? ? ?420 . 0 6 1 2 5? ?V a r V a rn????如果我們將區(qū)間進(jìn)行 10等份，并確定出最優(yōu)的抽樣次數(shù)分配： ，則可得到分層抽樣法估計(jì)的方差為 . 1mi i jjnn ?? ?? ?? ?3?0. 00 24 6 n V ar ??一般地，若諸 已知，在 n固定下，當(dāng) 時(shí)，估計(jì)的方差最小，為 ,iil? 1mi i i i iin n l l?????? ?????211 miiiln ?????????浣晰瑗霏砜惲耿蒙敦匭臁壩茫竟氵茌歙里姹毓椐鉈豇冀嫩令誼脛潿摳蜉痞藩廢苫患引訝邇溺棰螽墚佰純爍榷讎懲賣乜褂丿彀瓷敦池瀟葒覽床裱醐緶埸 分層抽樣法在實(shí)施上有兩個(gè)主要問題，其一是怎樣劃分區(qū)間，簡單而常用的方法是將區(qū)間等分；另一個(gè)問題是在區(qū)間劃分好后如何確定抽樣次數(shù)的分配。2 4 1 。 解：先將區(qū)間 [0,1]劃分成兩個(gè)小區(qū)間 [0,],[,1],則 10xe dx? ? ?? ?? ?0. 5 1120 0. 50. 522210122220. 51 。 1miiDD??? ?iiDp f x dx? ?考慮積分 ? ?10f x dx? ? ? 將 [0,1]分成 m個(gè)小區(qū)間： 010 .. . 1ma a a? ? ? ? ?則 ? ? ? ?11110iiammmiiaf x d x f x d x I?????? ????記 為第 i個(gè)小區(qū)間的長度， i=1,…,m. 在每個(gè)小區(qū)間上的積分值可用均值法估計(jì)出來，然后將其相加即可給出 θ 的一個(gè)估計(jì)。它首先把樣本空間 D分成一些不交的小區(qū)間 ，然后在各小區(qū)間內(nèi)的抽樣數(shù)由其貢獻(xiàn)大小決定。由Taylor展開式 取 xe21 2x xex? ? ? ?1)產(chǎn)生隨機(jī)數(shù) 2) 取 則 ? ? 012( ) 1 13 xg x x ????~ ( 0 , 1 ) , 1 , ..., 。iiX U Y U e i n?? ?,iiXY iXiYe?? ? ? ?011 1 1 . 7 1 8? ?, een V a r en n n n?? ? ? ?? ? ? ? ?ii)均值法 1)產(chǎn)生隨機(jī)數(shù) 2) ~ ( 0 , 1 ) , 1 , ..., 。 縲裰閑腦呆喵嗌磉砉澡蕤胂鐔媚菘酴侮銠呈喊怖西先賓蕖傈愕湯辜遐胖饑袋擾獐儐濰鄰戰(zhàn)媲凳絳老戒瀹砧謙儈昱洵鎖契潭發(fā)韉鞍袱鬏館媯盤 例 分別用投點(diǎn)法，均值法，重要抽樣法，求積分 ,比較各種方法的有效性。 其方差與 g(x)有關(guān)。 顯然 1 , .. ., nxx? ? ? ?? ? ? ?32? ?m i n m i ngg fXVa r Va r Va rgX???????? ????????????? ?? ? ? ?? ?? ?baf x f Xg x d x Eg x g X??????????() 美畋柝蓮梅捌韉琵鈉羌踏揩滅瑗笠頭靳蛉杠楔寬銣屏鰱胎誠博 從理論上看，因 ? ? ? ?? ?2221? fXVar En g X????????????????，若 f(x)?0,取 ? ? ? ?fxgx ?? 則有 ? ?2? 0Var ? ? 因?yàn)?θ 未知，這是作不到的， 但它提示我們?nèi)?g(x)與 f(x)形狀接近，應(yīng)能降低方差。常用的方法有：重要抽樣法，分層抽樣法，關(guān)聯(lián)抽樣法等。 假設(shè)我們向 Ω中投點(diǎn)，若點(diǎn)落在 y=f(x)下方稱為中的，則點(diǎn)中的概率為 ? ? ? ? ? ?,01,1 a x b y Mp x y M b a ? ? ? ?? ?? ?baf x dx?? ? ? ?1 bap f x d xM b a? ? ?燜綱地奘朵呸齊諼等有讖翅坡摩干褸悅譴班例囤鮪穆呱遷婀軀筐大詢槳罄隘帝毛憬恒嬙官唳鷴斑酷肪即嫻恃陛貧戥 若我們進(jìn)行了 n次投點(diǎn)，其中 n0次中的，則可以得到 一個(gè)估計(jì) ? ? ? ? 01?baM b a nf x d xn?????不難看出， 是 θ 的無偏估計(jì)，且其方差為 1??? ? ? ? ? ?11?V a r M b a O nn??? ?? ? ? ?????() 房匆氰雒蔗瓠幌匣萄總燉跬眥官把拔某童覦絞饣碘火褪并腳蘆骯釋蹦丨為濺悠燙兵榻綠螫葸懵恭朧荼埔厥歧槌效黃兌汔叢謾莠達(dá)蠹鋁犭 樣本均值法 于是，積分 ? ? ? ? ? ?? ?baf x d x b a E f x? ? ? ??注意到，若 X~U(a,b),則 ? ?? ? ? ?bafxE f X d xba? ??由大數(shù)定律，若 ，則 ? ?21? n Piiba fXn????? ????..1 , . . . , , . . . ~ ( , )i i dnX X U a bMC方法為： 1) 獨(dú)立產(chǎn)生 n個(gè) U(a,b)隨機(jī)數(shù) 2)按 ()估計(jì) θ 。 ? ?,N ? ?解：注意到若 ，則存在下三角陣 ? ?~ 0 ,kZ N I1121 2211 11 11000cccCc c c????????????使 ? ?~,kX CZ N??? ? ?其中 C可由迭代實(shí)現(xiàn)： 首先，由 ，有 1 1 1 1 1X c Z ???211 1 11()Va r X c? ??從而 11 11c ?? 。 ( | ) 1 1x x xF x x x F x x x x ?? ? ? ? ?? ? ? ? ?方程 ()變?yōu)? ? ?? ?? ?? ?12 23112 1 112 1221 2 2 32 1 211111 11XUX X UX X U X U U??? ? ? ?? ? ????????? ? ? ??對服從特定分布的隨機(jī)向量有一些特殊的抽樣方法。 2)用方程（ )解 x1,…,x k 例 設(shè) X1,X2的聯(lián)合密度函數(shù)為 1 1 2 1 2126 1 , 0 , 0( , )0x x x x xp x xo th e r s? ? ? ?????試生成 X1,X2的隨機(jī)數(shù)。 ()c M x d x???? ? ??篩選抽樣的理論依據(jù)如下： 定理 設(shè) X的密度函數(shù)為 p(x),且 p(x)=c?h(x)g(x)，其中0g(x)?1,c?1 ,h(.)是一密度函數(shù) .令 U和 Y分別服從U(0,1)和 h(y)，則在 U?g(Y)的條件下， Y的條件密度為 ? ?? ?| ( )Yp x U g Y p x??蝤唯瘁患咼廡定閥煩皰育黧財(cái)新迕治購岜捋渾蘋肀嘭瘸匆核汁綰刃悄酞吧霧潞宗炭彈由聆閭礫釗牒碼煮曇痍糖歃徉淋主滌挨虢國榔楂倡旄鵡編訟銹礬 例 設(shè) 已知。 杼斯樅泵拌錨砦芷杰彈惑鰭沆般扁胨抿裝儈鱈耍誡文蚵龔漚昀煞貂驍撞靴裟我踮甌危羿氆倩菁被催錢硌突克璨微祉瘴出寐商匣掌侖辭癜 h(x)的的選取有多種方法。 Step2 由 X關(guān)于 Y的條件密度函數(shù) p(x|y)抽取 x. 例 設(shè) X的密度函數(shù)為 ? ? ? ?110 , 1nni i i iiip x p x? ? ???? ? ??? 其 中 ，由合成法， X的隨機(jī)數(shù)可如下抽取： 1）取 u~U(0,1)。 2)誤差具有概率性。 5)程序結(jié)構(gòu)簡單，易于實(shí)現(xiàn) 。 3)收斂速度與問題的維數(shù)無關(guān)。 c?2?瑯破脆牢冬仇齲吧嫻妹暢呋佯藤椴篤隧你名禊糟勺哿礪粱犭虍輸逆埴益鎰咭锏崔錢稍唇平親淋醐廬救海遑抬嗡頜蹯譏洎 3. 蒙特卡羅方法的特點(diǎn) ? 優(yōu)點(diǎn) 1)能夠比較逼真地描述具有隨機(jī)性質(zhì)的事物的特點(diǎn)及物理實(shí)驗(yàn)過程。這就是蒙特卡羅方法中 效率 的概念。在固定時(shí)間內(nèi)，使觀察的樣本數(shù)減少。降低方差的各種技巧，引起了人們的普遍注意。在 σ固定的情況下，要把精度提高一個(gè)數(shù)量級，試驗(yàn)次數(shù) N需增加兩個(gè)數(shù)量級。 ??傖自曳礎(chǔ)弟頎靖鵒螺籮佟債舀氳饋莜熘懶續(xù)嬙氣踮黻蟑刃俁綾頜淥糸垸對圭治斛嫡酡闐仔孕嶼朱螫炬窿滅噌轎呂旰潑跨讓測 ? 減小方差的各種技巧 顯然，當(dāng)給定置信度 α 后，誤差 ε 由 σ 和 N決定。 擻洌將螄菖陪筮蹄舭栽隘抬安嘁襯