【正文】 ? dxuv39。? dxuv39。 一般地，對于是 形式的積分，選u(x)為 Pn(x),v`(x)為 sinx,cosx,ex，對于 ，選 u(x)，v`(x)為 Pn(x)。 ②所選取的 u和 v`，要使積分 較之積分 容易計算。 ? ?? ???32 32 23 )ln(ln lnlnee ee xuudux xdxx dx 令2ln3ln|ln 23 ??? u? ? ??32 3232 ||ln|lnlnlnlnee eeee xx xdxx dx 2ln3ln ??保會通財務軟件 (4)方法一 (換元換限 ) 令 u=ex,當 x=0時， u=1，當 x=1時， u=e，代入原式得 方法二 (心中明確對 ex求積分，但不去換元 ) 分部積分法 當被積函數是 Pn(x)sinx,Pn(x)cosx,Pn(x)ex和 Pn(x)lnx(其中Pn(x)是 x的 n次多項式 )時，可用分部積分法求解，在求解中要注意： ? ?? ??? 10 1 110 |s i nc osc os)c os ( e exxxx uududeedxee1s ins in ?? e? ? ?????10 1001 1s i ns i n|s i nc osc os eedeedxee xxxxx保會通財務軟件 (1)分部積分法是通過將 轉化 來計算，而后者應是易求出積分的。 例 2 求下列積分 解 (1) ? ? dxxx 23)1( ? ? dxx )12s in ()2(? 32 ln1)3( ee dxxx ?10 c os)4( dxee xx? ? ????? )3()3(213)1( 222 21 xdxdxxx)3(21 221 uxduu ???? ? 令Cu ??? 2331Cx ???? 232 )3(931保會通財務軟件 (2) 可見，在湊微分技巧熟練之后，可以省略令 “ 2x1=u”，及還原“ u=2x1”的步驟，但是我們必須在腦子里十分清楚，是對誰在求積分。 ?ba dxxf )( ? ?? CxFdxxf )()(baba xFdxxf |)()(? ?保會通財務軟件 例 1 求下列不定積分 (1) (2) (3) 解 (1)先利用冪函數運算性質，再利用積分性質和積分基本公式計算，即 dxxx )1( 3??? dxexx2? ? dxxx 2)1(? ? ??? dxxxdxxx )()1( 65213dxxdxx ?? ?? 6521Cxx ??? 61123 11632(2)同上理解，將 看成 ，則有 xxe2 xe??????2? ? ??????? dxedxexxx 22Ceex???????? 22ln1Ce xx ??????????? 212ln 1你好 ！ 呵呵 …… (3)將 看成 ，則 第一換元積分法（湊微分法） 湊微分法的基本思想是 “ 湊微分，使新的變量容易求出原函數 ” ，即 ，其中 ,而且容易求出 最終還原到關于 x的原函數。 直接積分法 利用積分基本公式和運算性質求積分的方法為直接積分法。 Cxfxdf ??? )()(dxxfkdxxfkdxxfkxfk )()())()(( 22112211 ??? ???保會通財務軟件 三、積分基本公式 正如導數公式是求導運算的基礎一樣，積分基本公式是積分運算的基礎，在積分中無論采取怎樣的方法進行計算，歸根結底還是要設法利用積分基本公式求得最后的結果，可見，積分基本公式在積分計算中的重要，必須熟記并熟練使用。 xfxF ?CxFdxxf ??? )()(二、不定積分的性質 與求導 (求微分 )為互逆運算 運算性質 其中 k1,k2是任意實數。 求已知函數的不定積分即為求已知函數的全體原函數。? ? )/( 件元?????C保會通財務軟件 第四章 一元函數積分學 一、原函數與不定積分的概念 若 F(x)的導數為 f(x)，即 ,則 F(x)是 f(x)的一個原函數，且原函數具有下列性質： 若 F(x)是 f(x)是一個原函數，則 F(x)+C仍是 f(x)的原函數，其中 C為任意常數。 qqC ??? ? 039。 ?qL令 2022?qppppEp ???????10010100010480 ???pE保會通財務軟件 例 5某廠每天生產某種產品 q件的成本函數為 C=+36q+9800元，為使平均成本達到最低，每天的產量應為多少？此時每件產品的平均成本是多少？ 解： ∵ 令 得 q=140(其中 q=140舍去 ) q=140是 的唯一駐點，且該問題確實有使平均成本函數的最低點。 (3)當 q=200時， p(200)= 200=80(元 /噸 ) 需求彈性 qqqqL 602 0 0 )( 2 ????2 0 0 2 ??? qqqqL )(39。 例 (1)成本函數 C(q)=2022+60q 收入函數 R(q) ∵ ∴ qqp ????)()( qqqqqR ????? (2) 因為 q=200利潤函數 L(q)的唯一駐點，且該問題確實有使利潤最大的點。 (2)產量為多少噸時利潤最大。 經濟分析中的成本、收入、利潤的最值問題 求經濟問題中的平均成本最小、總收入、利潤最大是本課程的生點也是難點，要掌握求經濟問題最值的方法。 “ 平均 ” 表示在自變量 x取值的一定范圍內，函數 y的變化情況，是區(qū)間內 y的平均變化率。 2ln2100 )2ln2100()()( 39。2p，則它的需求彈性 Ep= (2)某商品的需求彈性為 Ep=bp(b0)。 當 |Ep|1時，商品的需求量相對變化的百分比，此時，降價將使收入減少，反之適當漲價，需求量雖然降低，但降低的幅度小于漲價的幅度，因此，收入將會增加。此時，適當的降低商品的價格，商品的需求量將有較大幅度的增加，因此，收人就會增加。 pppqpqpqpqpEp /)(/)(l i m)()(39。 在一般情況下，需求與價格成反比關系。 解：答案： A 31xy?保會通財務軟件 三、需求彈性 由需求彈性公式 可知，需求彈性是需求 q(p)的相對改變量 與價格 p的相對改變量 之比的極限 (△ p→ 0)。但不可導點不一定都是極值點，如 ,x=0是駐點但不是極值點 . 由此說明 ,極值點可能會發(fā)生在駐點和不可導點處 ,但駐點、不可導是否一定是極值點，需討論這些點左、右近旁導數的符號。 極值點與駐點、不可導點的關系 由極值存在的必要條件知，可導函數的極值點一定是駐點，但是駐點不一定就是極值點，如 ,x=0是駐點但不是極值點。 所以，函數的極值不一定是最值，函數的最值如果發(fā)生在區(qū)間的內部，則一定發(fā)生在極值點上。 極值與最值的關系 函數的極值是函數的一個局部性質，它只與 x0點附近的函數值有關，也就是說，如果 f(x0)是函數 f(x)的極大（小）值，那