【正文】 過程中，學(xué)會(huì)與他人合作，并能與他人交流。 連接 AC 交 EF于 O ① O點(diǎn)有什么特征（ O點(diǎn)在 AC 的中垂線上） ② △ AEO與△ FOC有什么關(guān)系（△ AEO≌△ FOC） ③ EF與 OE、 OF 有什么數(shù)量關(guān)系，為什么？（ EF=2OF=2OE） ④ 如果連結(jié) EC（或 AF） ,則 AE與 EC 又有什么關(guān)系，為什么？（ AE=EC） ⑤ 設(shè) AE=x，則 EC、 ED能否用 x來表示（ EC=x ED=4x） ⑥ △ EDC的三邊符合什么定理？能否求出 x與△ AEC的 面積？（能） 這樣通過學(xué)生的自主探究或合作交流，然后在教師的“引導(dǎo)、合作”的理念下，師生共 同尋求解決問題的方案。這一問題的呈現(xiàn)，由前面的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)多數(shù)同學(xué)能探究解決，展示出自己的所得所獲，學(xué)生有成功的愉悅感，這有利于學(xué)生建立信心和增強(qiáng)學(xué)習(xí)的興趣。一個(gè)概念是如何形成的，一個(gè)結(jié)論是探索到和猜測(cè)到的，以及這個(gè)結(jié)論是如何被應(yīng)用的。 AH⊥ BC 于 H交 BG于 K（圖 5）， 則（ 1）猜想 AK具有的性質(zhì) （ 2）若正方形 ABDE， ACFG的面積分別為 25x+144=0的兩根，能否求出 KH 的長(zhǎng)；若 Pt△ AEG的外心和內(nèi)心分別為 OI的長(zhǎng) 及 OI與斜邊所圍成的三角形的面積，并請(qǐng)說明理 由。 ∠ 5+∠ 6=90176。教師可作如下引導(dǎo)；因?yàn)?EG=2AH，所以考慮延長(zhǎng) AH構(gòu)造全等三角形。 這一問題的呈現(xiàn)，又會(huì)引起學(xué)生認(rèn)知沖突，他們一時(shí)這躍躍欲試，興奮 ，大有不足之感和求足之心，但一時(shí)無法證明。 可證得∠ 2+∠ 4=90176。則自然會(huì)有以下策略加以論證獲得問題的解決。教師要培養(yǎng)學(xué)生通過數(shù)學(xué)活動(dòng) 能有效生成數(shù)學(xué)思想、掌握數(shù)學(xué)方法，引導(dǎo)學(xué)生注意變式的證明，用聯(lián)系的觀點(diǎn)，一分為二的觀點(diǎn)，分析思考問題。 猜想 在原題中若 K是 EG 的中點(diǎn)，則 KA 與 BC 有何位置關(guān)系。 幫助學(xué)生在自主探究和合作交流的過程中真正理解和掌握基本的數(shù)學(xué)知識(shí)與技能、數(shù)學(xué)思想和方法，獲得廣泛的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。 ∴ AH⊥ EG 《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)稿）》（以下簡(jiǎn)稱《標(biāo)準(zhǔn)》）倡導(dǎo)數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)必須建立在學(xué)生的認(rèn)知 發(fā)展水平和已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)上。 ∵ ∠ EAG+∠ BAC=180176。此時(shí)教師可適當(dāng)引導(dǎo)提示學(xué)生，提出問題：我們證明一條線段等于另一條線的一半，常用的方法 是什么？學(xué)生通過觀察圖形結(jié)合已知 AH 的三角形的中線，馬上會(huì)延長(zhǎng) AH至 P，使 AH=HP，連結(jié) CP、 BP（圖 2）則 ABPC為平形四邊形， 得 AC//BP，且 AC=BP176。 猜想 設(shè) AH是原題原圖△ ABC中 BC 邊上的中 線所在的直線，交 BC 于 H， EG 于 K，此時(shí)的 AH 與 EG 有何數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系。在引導(dǎo)學(xué)生觀察問題的性質(zhì) ____________________________________________________________________________________________ 特征時(shí)，要通過想象與已有知識(shí)的聯(lián) 系獲得數(shù)學(xué)猜想，對(duì)問題作進(jìn)一步的探究。縱觀中外古今著名的科學(xué)家、發(fā)明家，他們的發(fā)明和創(chuàng)造無不基于實(shí)踐，始于觀察和猜想。 例如，在復(fù)習(xí)方程時(shí)，以下問題作為教學(xué)的初始問題使學(xué)生有新奇的感受，能立即喚起他們的求知欲，使他們處于“憤”“悱”的狀態(tài) 2022年北京將舉辦 29 屆夏季世界奧運(yùn)會(huì)，這標(biāo)志著中國(guó)盛世時(shí)期的到來，作為每一個(gè)中國(guó)人都為此感到自傲，無不歡欣鼓舞；但作為國(guó)家安全部門和奧組會(huì)，舉辦這樣世界級(jí)別 的大規(guī)模賽事，要做到萬無一失，保證絕對(duì)安全，則要付出常人難以想像的艱苦勞動(dòng)和超人的智慧，下面是一次關(guān)于安全問題沙盤推演的一幕： 2022 年 8 月 8 日前一天晚上 8 時(shí) 8 人，在北京某國(guó)家安全局特務(wù)處的辦公室里，燈光特別的亮，室內(nèi)正運(yùn)籌帷幄一個(gè)與奧運(yùn)會(huì)有關(guān)的十分重要的事； “與明天安全檢查有直接關(guān)系的人都在，我們想聽聽你們明天安檢的計(jì)劃程序”與兩特工面對(duì)面而坐的北京奧組會(huì)主席說， 特工 001 說：由國(guó)家高新科技部最新研制的 AN安檢機(jī)，待飛機(jī)停下后，不出意外，啟動(dòng)一臺(tái) AN 安檢機(jī)，需用半小時(shí)可把倉庫積壓物品和同機(jī)物品傳送帶 按一定速度送來的物品全部通過安全檢查； 特工 002說：如果同時(shí)啟用二臺(tái) AN 安檢機(jī)只需 10 分鐘可把倉庫積壓物品和同機(jī)物品傳送帶按一定速度送來的物品全部通過安全檢查； “明天到北京的是參賽各國(guó)的元首，為了顯示中國(guó)安檢的高效率和人性化的服務(wù)，公安部命令： A380 空客機(jī)隨機(jī)物品的安檢不能超過 5 分鐘，這樣才能讓元首們把同機(jī)而來的物品隨身攜帶，及時(shí)到達(dá)指定位置，否則有損國(guó)家利益”坐在主席位置的公安部長(zhǎng)神情凝重地說：公安部長(zhǎng)命令一結(jié)束，奧組會(huì)主席身感肩上的重?fù)?dān)必須出色完成， “明天對(duì) A380的安檢，我命令你們同時(shí)啟用 8臺(tái) AN安檢機(jī)，一來數(shù)字 8象征著發(fā)，二來顯示我們的高效安檢，國(guó)家利益高于一切”； 與公安部長(zhǎng)并排而坐的國(guó)家總理皺起眉頭聽著，手里寫著，然后說：我們承辦 29 屆奧運(yùn)會(huì)一是標(biāo)志我國(guó)盛世的到來二是要通過奧運(yùn)會(huì)，更有效快速促進(jìn)我國(guó)的經(jīng)濟(jì)發(fā)展，辦奧運(yùn)掙錢也是其中一個(gè)重要目的，你們做奧運(yùn)具體工作的領(lǐng)導(dǎo)和特工，在完成政治任務(wù)的同時(shí)經(jīng)濟(jì)效益也不能忽視，所以安檢既要符合公安部長(zhǎng)的要求，又要盡可能地少啟用安檢機(jī)，不恰當(dāng)?shù)膯⒂?AN 安檢機(jī)不僅耗費(fèi)大量的電能，同時(shí)也是給國(guó)家造成損失“； ①特工 001， 002講話中，涉及哪幾個(gè)量？ ①如果設(shè) 安檢開始時(shí)倉庫積壓物品 x件；每臺(tái)安檢機(jī)每分鐘可安檢物品 y件；傳送帶 每分鐘傳送物品 a件；則可列出怎樣的等式？ （ x+30a=30； x+10=20） ③奧組會(huì)主席命令特工同時(shí)啟用 8臺(tái) AN安檢機(jī)對(duì) A380空客機(jī)物品進(jìn)行安檢，在時(shí)間上是否符合公安部長(zhǎng)的命令要求？ （由 x+30a=30y； x+10a=20y 得 y=2。根據(jù)學(xué)生年齡特征和心智發(fā)展水平，編制學(xué)生日常生活中的社會(huì)熱點(diǎn)問題、時(shí)代新聞問題。這在一定程度上造成了學(xué)生強(qiáng)于基礎(chǔ)，弱于應(yīng)用；強(qiáng)天答卷，弱于動(dòng)手；強(qiáng)于考試，弱于創(chuàng)造；強(qiáng)于課本，弱于現(xiàn)實(shí)的局面。沿著向樹的方向前進(jìn) 6米到達(dá) B點(diǎn)，在 B點(diǎn)測(cè)得樹頂端 C的仰角為 45176。 ⑷、習(xí)題、例題演變探究 課本里習(xí)題、例題是經(jīng)過許多專家科學(xué) 家論證精雕細(xì)刻而編成的，這些習(xí)題例題內(nèi)容上 都是具有可塑性、延緩性和拓展性，思想上都具有思維的深刻性、全面性、敏銳性、突發(fā)性，形式上都具有可創(chuàng)造性，整體上都具有科學(xué)性；通過演變?cè)}，不僅可以得到適用范圍更廣，結(jié)論更一般的命題看到，而且還能起到“舉一反三、觸類旁通、解一題知一類”的作用。 問題 3：一光線從點(diǎn) M（ 2， 3）射到 X 軸上一點(diǎn) P（ x， 0）后被 X 軸反射，經(jīng)過點(diǎn) N（ 5，4）， 求反射光線所在直線的函數(shù)分解析式。課程的交叉性、相關(guān)性、融合性、廣域性、核心性、經(jīng)驗(yàn)性已成為全世界教育的發(fā)展方向，從這個(gè)意義上說，教師要根據(jù)學(xué)生的認(rèn)識(shí)規(guī)律研究數(shù)學(xué)教學(xué)與 其他學(xué)科聯(lián)系問題，不僅要從現(xiàn)實(shí)生活題材中引入數(shù)學(xué)，而且要注意加強(qiáng)數(shù)學(xué)和其他學(xué)科的聯(lián)系，打破傳統(tǒng)的學(xué)科限制，要允許在數(shù)學(xué)內(nèi)容中研究與數(shù)學(xué)有關(guān)的其他問題，要注重?cái)?shù)學(xué)用的多科性、廣泛性、綜合性、實(shí)際性、科學(xué)性，全面發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。在“線段中垂線性質(zhì)“的教學(xué)中，筆者把以下問題作為教學(xué)的初始問題。 問題 1：（九年級(jí)上冊(cè) 93 頁 20 題）一只螞蟻要從底面半 徑為 1cm，母線長(zhǎng)為 3cm 的圓錐底面圓周上一點(diǎn) B 出發(fā)， 沿圓錐側(cè)面爬到過母線 AB 的軸截面上另一 母線 AC 的中點(diǎn) D，問沿怎樣的路線爬行路程最短？最短路程是多少？ 又如在“二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)“教學(xué)時(shí)，筆者用多媒體演示以下問題，作為教學(xué)的初始問題：（九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè) 55 頁碼 17 題改編）一大樓離地面 10 米處有一自來水管，噴出的水最高離地面 米，此時(shí)離墻 1 米，噴出的水經(jīng)拋物線落地（拋 物線所在平面），問噴出的水能否落入井里請(qǐng)學(xué)生對(duì)上趣事加 以評(píng)論，這二個(gè)問題情景要求學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)的角度來 分析生活 中的現(xiàn)象和事實(shí)，這些懸念展示給學(xué)生后，他們便立即興奮地 帶著強(qiáng)烈的求知，欲投入到新的學(xué)習(xí)中去，能深深地體會(huì)到數(shù) 學(xué)就在身邊。 ⑴ 、 設(shè)置懸念，創(chuàng)設(shè)新異情境探究 問題是數(shù)學(xué)的心臟，數(shù)學(xué) 的真正組成部分是問題和問題的解決，而人的思維過程是從問題開始的，有的教學(xué)內(nèi)容看起來枯燥，但只要設(shè)置懸念，以新異情境設(shè)疑，同樣可以形成波瀾壯闊的知識(shí)海洋。因此，教學(xué)要從所熟悉的現(xiàn)實(shí)情境和已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，讓學(xué)生能夠積極地參與其中并體會(huì)到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和現(xiàn)實(shí)的聯(lián)系。假若失敗的話，則會(huì)學(xué)習(xí)分化，出現(xiàn)興趣淡化，形成消極自卑 的心理，產(chǎn)生不良有人格障礙，因此教師要根據(jù)學(xué)生不同的認(rèn)知水平，設(shè)計(jì)不同層次的學(xué)習(xí)目標(biāo)，讓每個(gè)學(xué)生都有成功感；從真正意義上體現(xiàn)了新課程標(biāo)準(zhǔn)提出的“不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展“的要求。假 ____________________________________________________________________________________________ 若從 2 從發(fā)現(xiàn)、提出到解決成功的話，則會(huì)促進(jìn)對(duì)學(xué)習(xí)產(chǎn)生新的興趣，提出更高的要求。 激（揭）疑探究：在問題情境的誘導(dǎo)下學(xué)生運(yùn)用自己有知識(shí)，對(duì)教師提供的學(xué)習(xí)材料選擇知覺，在認(rèn)知沖突中發(fā)現(xiàn)問題，在認(rèn)識(shí)不協(xié)調(diào)中發(fā)現(xiàn)問題，揭示規(guī)律。 質(zhì)疑探究：學(xué)生通過觀察、操作、實(shí)踐歸納、類此、思考、探索、猜測(cè)、交流、反思等自主學(xué)習(xí)的活 動(dòng)，從數(shù)學(xué)的角度提出問題（包括反駁、反問、不成熟的幼稚想法）。學(xué)生首先通過自學(xué)、質(zhì)疑、探究，對(duì)迷惑不解、困惑之處在教師誘導(dǎo)引導(dǎo)下，對(duì)知識(shí)進(jìn)行再認(rèn)或重新組合、建構(gòu)，這一過程始終在師生、生生之間活動(dòng)的狀 態(tài)下。專題研究是高中教學(xué)、大學(xué)教學(xué)的特點(diǎn)，因?yàn)椴徽搹纳砗托睦淼奶卣鬟€是從人的思維品質(zhì)和學(xué)習(xí)品質(zhì)，求知欲已基本具備各方面的條件，雖然初中數(shù) 學(xué)從內(nèi)容的深廣度不能完全等同于高中或大學(xué)，但實(shí)際學(xué)習(xí)的表象基本相同，這有利于培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立思考，有利于發(fā)展學(xué)生的知識(shí)技能、數(shù)學(xué)思考、解決問題策略和情感態(tài)度。時(shí)間上，探究式教學(xué)法的最基本 特征，是減少教師的傳播和學(xué)生模仿的時(shí)間，增加學(xué)生自己支配時(shí)間，這就是小班化課堂的優(yōu)勢(shì)，教師能關(guān)注每個(gè)學(xué)生的學(xué)習(xí)動(dòng)態(tài)，對(duì)教師提供的學(xué)習(xí)資源，積極的思考并提出自己的觀點(diǎn)及解決方法，教師能妥善處理好傳授模仿的自 學(xué)、質(zhì)疑、探究在時(shí)間上的矛盾，要大膽放手讓學(xué)生自主探究，師生間的交流，盡可能多地把支配時(shí)間的主動(dòng)權(quán)讓給學(xué)生；空間上， 教師要有長(zhǎng)足遠(yuǎn)見，有意識(shí)地留給學(xué)生令其自主探究思考問題的余地，百思才能其解 。教學(xué)相長(zhǎng)的關(guān)系，是有序交往和合理互動(dòng)，在教師精心策劃下開辟多角度、多途徑的教學(xué)信息通道，使學(xué)生的學(xué)習(xí)在“和諧 —— 沖突 —— 和諧”的相互交替螺旋式發(fā)展中始終處于對(duì)知識(shí)的探究和發(fā)現(xiàn)中，沉浸在不斷地滿足求知的愉快 的體驗(yàn)中，同時(shí)要求學(xué)生在不斷地獲得發(fā)現(xiàn)的驚奇中反思學(xué)習(xí)過程和結(jié)果，能及時(shí)質(zhì)詢、提問，教師要在學(xué)生的“習(xí)得 —— 反思 —— 習(xí)得”中不斷地調(diào)整“探究式教學(xué)”的策略，這種平等民主的師生互動(dòng) 、生生互動(dòng)，既能使課堂成為師生教學(xué)相長(zhǎng)互相培養(yǎng)，共同提高的場(chǎng)所，又能促進(jìn)學(xué)生思維的獨(dú) 4 ____________________________________________________________________________________________ 立性、突發(fā)性、發(fā)散性，有利于培養(yǎng)和激蕩他們的創(chuàng)造性思維。探究式教學(xué)是學(xué)生在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中主體地位 落實(shí)的重要標(biāo)志。 三、 初中數(shù)學(xué)小班化課堂實(shí)施探究式教學(xué)的實(shí)踐意義 ⑴ 、 學(xué)生學(xué) 習(xí)的自主性 這是本教學(xué)法意義最大之處，小班化課堂探究式教學(xué)法重在體現(xiàn)人本主義思想，強(qiáng)調(diào)教 學(xué)過程中，學(xué)是目的，教是手段，教服從于學(xué)而又服務(wù)于學(xué)，從真正意義上把學(xué)習(xí) 主動(dòng)權(quán)還給學(xué)生，讓學(xué)生能根據(jù)自身的學(xué)習(xí)實(shí)際，學(xué)會(huì)選擇歸納，學(xué)會(huì)發(fā)現(xiàn)，充分尊重學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中的主體地位，讓學(xué)生主動(dòng)學(xué)習(xí)、善于探究，學(xué)生不再是知識(shí)的接受器，而是自主探索探究數(shù)學(xué)問題。在探究的過程會(huì)不斷遇到似是而非的事，矛盾不一致的事，新知識(shí)受已有知識(shí)干擾而產(chǎn)生困惑的事，這就是問題的來源。學(xué)生只有通過自己探究，才能獲得從數(shù)學(xué)的角度提出問題，認(rèn)識(shí)理解問題的機(jī)會(huì)?！拔覀儗W(xué) 習(xí)知識(shí)，目的是要做“學(xué)問“，學(xué)習(xí)，就是學(xué)習(xí)問題，學(xué)習(xí)怎樣問問題”，這是世界物理學(xué)家李政道說的話。認(rèn)識(shí)活動(dòng)的發(fā)生發(fā)展， 3 ____________________________________________________________________________________________ 一開始就是同信息反饋連在一起的，課堂上的師生活動(dòng)實(shí)際上是教與學(xué)雙方圍繞一定的教學(xué)目標(biāo)而進(jìn)行的信息獲取、處理的靈活交流的過程，教師信息的輸出，必須得到有效的控制，尤其對(duì)傳輸教學(xué)信息的深度、廣度、可信度進(jìn)行控制，教學(xué)信息傳輸系統(tǒng)的效率取決于輸出系統(tǒng)和接受系統(tǒng)是否直協(xié)調(diào)，能否在傳輸過程中使整個(gè)系統(tǒng)處于“共振”狀態(tài)，探究式課堂教學(xué)由于學(xué)生和教師多次角色的有序交往，目標(biāo)、問題要求明確，學(xué)生自己探究獲得信息能直接輸出部分，教師就不再把此信息輸入，減少“入隊(duì)”與“出隊(duì)”的時(shí)間