16734子式與代數(shù)余子式行列式依行依列展開-文庫吧資料
2024-10-25 21:41本頁面
【正文】 的某一行 (列 )的 元素與另一行 (列 )的對應(yīng)元素的代數(shù)余子式的乘積之和等于零 , 就是說 : ⑸ ai1Aj1 + ai2Aj2 +...+ ainAjn = 0 (i?j)。 子式與代數(shù)余子式 11 12 1 11 12 1121 2 1 211 12 112... ...... ... ... ... ... ... ... ...0 ... 0 0 ... 0... ... ... ... ... ... ... ...... ......... ... ... ...... 0 0 ...... ... ... ......nniin n nn n n nnninn n nna a a a a aD aaa a a a a aa a aaa a a????167。 子式與代數(shù)余子式 劃去 D1的第 i行第 j列后所得 n?1階行列式 = 劃去 D2的第 i行第 j列后所得 n?1階行列式 , 即 : aij的余子式 = bij的余子式 , 而它們的代數(shù)余子式符號都由 i+j確定 , 從而有 : aij的代數(shù)余子式 = bij的代數(shù)余子式 . 上述結(jié)論顯然也適合于列的情形 . 167。 ⑷ D = a1jA1j + a2jA2j +...+ anjAnj (i=1,2,...,n). 在證明之前 , 先注意以下事實 : 167。 子式與代數(shù)余子式 在 D1中 , aij在第 1行第 1列的位置 , 且第 1行的其它元素全為零 , 由本證明 ⒈ 的結(jié)論 , 有 : 因此 , D=(?1)i+j D1=(?1)i+j aijMij= aij(?1)i+jMij= aijAij ,定理得證 . (對于一般行列式 , 有如下定理 ) ? 11 1 , 1 1 , 1 11 , 1 1 , 1 1 , 1 1 ,11 , 1 ! , 1 ! , 1 1 ,1 , 1 , 1... ...... ... ... ... ... ...... ...... ...... ... ... ... ... ...... ...i j ni i j i j i ni j i j i ji i j i j i nn n j n j nna a a aa a a aD a a Ma a a aa a a a??? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?????167。 子式與代數(shù)余子式 這就需要把 D的第 i行依次與第 i?1, i?2, ..., 2, 1行交換 , 共交換 i?1次 , 從而把 D的第 i行換到了第 1行 . 同理 , 將第 j列依次與第 j?1, j?2,...,2,1列交換 ,共交換 j?1次 , 最后把 aij換到第 1行第 1列的位置 . 此時 , D已變成如下形式的行列式 D1: 167。 子式與代數(shù)余子式 另外 , 乘積 ⑵ 在 a11M11中的符號就是 ⑴ 在M11中的符號 . 由于乘積 ⑴ 的元素位于 D的第2,3, ...,n行與第 j2,j3,...,jn列 , 所以它位于 M11的第1,2, ...,n?1行與第 j2 ?1,j3 ?1,...,jn?1列 , 而且 ⑴ 在M11中的符號應(yīng)該是 (?1). 顯然 , ?(j2,j3,...,jn) = ?(j2?1,j3?1,...,jn?1). 這樣 , 乘積 ⑵ 在 a11M11中的符號與在 D中的符號相同 , 有 : D = a11M11. 167。 子式與代數(shù)余子式 也就是說 : D = a11 , 子式的每項 都可寫作 : ⑴ aa...a, 其中 j2,j3,...,jn是 n?1個數(shù)碼2,3,
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