【正文】 當(dāng)時，令得由極值的第一充分條件知：在內(nèi)單調(diào)增加，在內(nèi)單調(diào)減少.（5） 解 故在上單調(diào)增加，在上單調(diào)減少.(6) 解 故在上單調(diào)增加，在上單調(diào)減少.(7) 解 故在上單調(diào)增加，在上單調(diào)減少.(8) 解 利用對數(shù)求導(dǎo)法，在上單調(diào)增加.3. （1）解 令=0，得.，故該函數(shù)在處取得極大值5，在處該函數(shù)取得極小值4.（2） 解 ：極大值為，極小值為.（3） 解 根據(jù)極值的第一充分條件知：處該函數(shù)取得極小值，處該函數(shù)取得極大值2.（4） 解 =，令得。 則有介值定理可知，在[2,3]區(qū)間上必存在一點(diǎn)使得 所以羅爾定理對f（x）在區(qū)間[2,3]上成立2證明：顯然函數(shù)在[0,]上連續(xù)、可導(dǎo)， ， 又，而10所以由介值定理可知必存在一點(diǎn)，使得所以拉格朗日中值定理對f（x）在區(qū)間[0,]上成立3證明：令，顯然其在[0,1]上連續(xù)、可導(dǎo)。 （3）解：因?yàn)? 9.（1）解：由題意可知：f（1）=2f（0）=2 （3）解：要使F（x）在點(diǎn)x=0處連續(xù)，則有 b=f(0),而要函數(shù)在x=0處可導(dǎo)，則只需有 a= （4）解法一：令S=x+ 可知有 S=Sm 而 S= 則Sm=則解法二：思路，對Sm等式兩旁同乘以x，然后分別減去原等式的兩邊進(jìn)行變化即可。a1可導(dǎo)。 a0,連續(xù)。習(xí)題25（A）1（1）解： …… 設(shè) 則 （A）（2）解：當(dāng)x0時： 當(dāng)x0時： 所以答案選（C）2（1） （2） （3） 對方程兩端求導(dǎo)，得 再次求導(dǎo) 得將代入得 （4）， 對方程兩端求導(dǎo)，將y（0）=1代入得再次求導(dǎo)得：將代入得 3（1）解：對方程兩邊求導(dǎo)得 即 注意到y(tǒng)即y的一階導(dǎo)數(shù)都是x的函數(shù)所以對兩端再次求導(dǎo)得：（2）解：對方程兩邊求導(dǎo)得 所以 對上式求導(dǎo)得 ）（3）對方程兩端求導(dǎo)得：注意到f是x，y的函數(shù) 所以（4）觀察方程兩邊，可對其取對數(shù)簡化計算 再對方程兩邊求導(dǎo)得 ：再次求導(dǎo)得：（5）解：有參數(shù)方程所確定函數(shù)的倒數(shù)公式得 所以（6） （7） （8） （9）由于應(yīng)用萊布尼茨公式，得4（1）因?yàn)? 所以（2） （3） 5（1）解：因?yàn)? 所以（2） 依此類推 （3） （4） （5） 6（1） （2）左式==右式==左式（3） （4） 將之代入方程得： （5） 將上兩式代入方程得習(xí)題25（B）7解：要使f（x）在x=0處有二階導(dǎo)數(shù)則需滿足以下條件8解： 所以9解： ，顯然 ，極限不存在依導(dǎo)數(shù)定義可知f（x）在x=0處存在2階導(dǎo)數(shù)，在x=0處不連續(xù)。上式兩端對求導(dǎo)，得代入解得。解：， ，所以切線方程：，法線方程：即。解：，；又，因?yàn)?，所? 。， 所以 。（1）證明：在處，所以， 得切線方程： 當(dāng)時，當(dāng)時， 所以為定值。（1），；（2）；（3）；（4）；（5） ；（6）， ；（7）；（8），所以；（1），所以得 ；（2），所以；（3）同（1），有；（4）；（5）；（6）將兩個式子分開，和，分別求導(dǎo)有和，所以原式 ；（7）；（8）；（9）；（10）；（1）；（2）；（3）。（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）， ；（7） ；（8）1；（9）；（10）；（11）。1解：其中表示的同階或高階無窮小。1解：在處無導(dǎo)數(shù)，在處不連續(xù)，所以。1解：，若在處連續(xù)，則存在，即存在，所以。1因?yàn)?，所以在處不可?dǎo)，因此。令，則，即，所以 。（），則 。 將代入即證。（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9） 。利用一階微分形式不變性求函數(shù)導(dǎo)數(shù)。（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）2；（9）；（10）；（11）；（12）；（13）；（14）；（15）；（16）；（17）；（18）；（19）；（20）；（21）；（22）；（23）；（24）；（25）；（26）；（27）；（28）；（29）；（30）。解： （1），∴在x=2處時，；時，；時，（2），∴在處時，；時，（3） ∴ ∴ 4. 計算下列各題。（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）微分的幾何意義：對應(yīng)曲線的切線上點(diǎn)的縱坐標(biāo)的相應(yīng)增量。12.解：∴13.解：∴令，得原式=14.解：∴15.解：連續(xù)性，，∴要連續(xù)，則b+a+2=0 ① 可導(dǎo)性，∴要可導(dǎo)，則 a=b ②由①②兩式得 a=b=116.解：，，又∵有界∴ ， M為常數(shù)∴∴17.解：由可以看出令t=x1，則x→1等效于t →0∴18.解：令則∴又令∴19.證明：充分性可導(dǎo)，則存在當(dāng)時存在即在x=0處可導(dǎo)必要性又所以，要存在，則∴綜上，得證習(xí)題 2—2 （A）1. 單項(xiàng)選擇題。習(xí)題 2—1 （B）8.解：在處的線密度即為質(zhì)量對長度的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)在處的值，9.證明：在x=0處可導(dǎo)∴原式=證畢。（1） 證明：∵∴令t=x，則∴（2） 證明：導(dǎo)函數(shù)存在，∴為奇函數(shù)時即為偶函數(shù)；為偶函數(shù)時即為奇函數(shù)；證畢。（4），∴在x=0處連續(xù)；又∵∴在x=0處不可導(dǎo)。（2）由y表達(dá)式可知，∴函數(shù)在x=0處連續(xù)，又∵∴函數(shù)在x=0處可導(dǎo)。（1） 解：，可知，在處的切線及法線斜率分別為 ∴切線方程為即；法線方程為即（2） 解：可知，在處的切線及法線斜率分別為 ∴切線方程為 即；法線方程為 即。（1）證明：（2）證明：（3）證明：4. 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。2. 填空題。（3） C解：函數(shù)在x=0處可導(dǎo)，則函數(shù)在x=0處連續(xù)。[0,1]，當(dāng)|x1x2|d時，就有：|x13x32|e. 故f(x)=x3在區(qū)間[0,1]上一致連續(xù)21. 習(xí)題 2—1 （A）1. 單項(xiàng)選擇題。[0,1],有 |x13x32|=|x1x2||x12+x1x2+x22|163。,+165。,+165。[x1,x2],使得f(x)= 總上可知，原結(jié)論成立19. 證明：由f(x+y)=f(x)+f(y)得：f(0)=0取x0206。(a,b)使F(x)=0即f(x)=x.17. 證明：令，則有：且在上連續(xù)，使得：即：令，則有：且在上連續(xù)，使得：即：，證畢.18. 證明：若f(x1)=f(x2),則結(jié)論顯然成立 若f(x1)f(x2),則有f(x1)f(x2),由介值定理知：至少存在一點(diǎn)x206。(0,1)使f(x)=0,即原方程在(0,1)上存在實(shí)根唯一性：16. 證明：設(shè)F(x)=f(x)x,則由題意有： F(a)=f(a)a0。)上連續(xù)14. 解：化簡得： x, |x|1f(x)= ax2+bx, |x|1 (a+b+1) x=1 (ab1) x=1由 f(1)=f(1+)=f(1) 得：a=0，b=1 f(1)=f(1+)=f(1)15. 證明：設(shè)f(x)=x33x29x+1,則f(0)f(1)=1180。1 由 h(0)=h(0+) 得：a=b=1 h(1)=h(1+)所以，當(dāng)a=b=1時，f(x)+g(x)在(165。1 由存在，知：b=e 所以，a=0，b=e13. 解： x+b x163。[c,d]204。0，則由零點(diǎn)定理知，至少存在一點(diǎn)206。[0,a]使f()=f(a+)9. 解：設(shè)F(x)=(p+q)f(x)pf(c)qf(d)，則有 F(c)=qf(c)qf(d), F(d)=pf(d)pf(c) 所以，F(xiàn)(c)F(d)=pq[f(c)f(d)]2163。(0,a)使F()=0；綜上，至少存在一點(diǎn)206。(0,3)使f()=0 即，方程x=2+sinx至少有一個小于3的正根8. 證明：設(shè)F(x)=f(x)f(a+x), 則有 F(0)=f(0)f(a)=f(2a)f(a)， F(a)=f(a)f(2a)所以，F(xiàn)(0)F(a)=[ f(a)f(2a)]2163。7. 解：（1）（2）（3）（4）（5）（6）因?yàn)椋?. 解；則且=，則，習(xí)題15(A)1. (1) D (2) B 2. (1) e1/2 (2) e (3)3/4 (4) e2 (5)(1)mn (6) ex+13. (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) 4. 解： 5. (1) 錯，無窮小是極限為零的變量，無窮大是其值無限增大的變量(2) 錯(3) 正確(4) 正確(5) 錯，(6) 錯，反例：(7) 錯，6. 解： ，故它們是等價無窮小7. 解：，故是的高階無窮小8. 解：，故與是同階無窮小 ，故與是等價無窮小9. (1) 0，mn (2) 1，m=n ∞，mn(3) (4) (5) (6) (B)10. (1) D (2) B (3) D11. (1) (2) (3) (4) (5) (6) 12. 證明： 原極限不存在13. 解： 原式=114. 解：15. 證明：(1) 設(shè)t=arctanx，則(2) 16. 證明：(1) 因?yàn)?，故?2) 由有 所以，故有(3) 因?yàn)?，所? 因?yàn)?，所以，所以所以，故有?xí)題16(A)1. (1) B (2) C (3) A (4) D2. (1) 1, 1 (2) kp3. (1) (2)(3) (4) (5) (6) (7) (8) 4. (1) x=1是可去間斷點(diǎn)，x=2是無窮間斷點(diǎn)(2) x, |x|1f(x)= x, |x|1 0, x=1x=1是跳躍間斷點(diǎn)(3) , x=1是跳躍間斷點(diǎn) ， f(x)在x=2處連續(xù)(4) , x=0是無窮間斷點(diǎn) ，x=1是跳躍間斷點(diǎn)(5) , x=0是跳躍間斷點(diǎn)(6) 0, |x|1