【文章內(nèi)容簡介】 題31（A）1證明：顯然f（x）在[2,3]上連續(xù)、可導，且f(2)=f(3) ,顯然在[2,3]連續(xù)。 則有介值定理可知，在[2,3]區(qū)間上必存在一點使得 所以羅爾定理對f（x）在區(qū)間[2,3]上成立2證明：顯然函數(shù)在[0,]上連續(xù)、可導， ， 又，而10所以由介值定理可知必存在一點，使得所以拉格朗日中值定理對f（x）在區(qū)間[0,]上成立3證明：令，顯然其在[0,1]上連續(xù)、可導。 由羅爾定理知，在[0,1]上必存在一點使得，即 所以在[0,1]上柯西中值定理對f（x）和g（x）成立4證明：令則即f（x）恒等于一常數(shù)，又f（0）=0，所以5證明：令 則 即,又6解：因為，由羅爾定理可知，在[0,1],[1,2],[2,3],[3,4]區(qū)間分別存在四個點，使得7證明：（1）設(shè)，顯然函數(shù)在整個定義域內(nèi)連續(xù)、可導，則由拉格朗日中值定理可知：，即（2）設(shè)，顯然函數(shù)在整個定義域內(nèi)連續(xù)、可導，則由拉格朗日中值定理可知：在[a,b]區(qū)間上有，即（3）設(shè)，則在[b,a]上函數(shù)連續(xù)、可導，由拉格朗日中值定理可知：存在一點，使得又因為，所以，即8證明：設(shè)，二者在[0，]上均連續(xù)、可導，并且對任意都有，由柯西中值定理知，存在使 ，即9證明：設(shè)則由拉格朗日中值定理知，使得 10證明：設(shè)，函數(shù)在[a,b]上連續(xù)，在（a,b）內(nèi)可導 則 由羅爾定理可知，在（a,b）內(nèi)至少存在一點使得： ，即11證明：設(shè)，其在[0,1]上連續(xù)，在（0,1）內(nèi)可導 又，由羅爾定理可得 =012證明：設(shè)，利用反證法，設(shè)若方程有至少4個根，則，又f（x）在定義域內(nèi)至少4階連續(xù)、可導，則由羅爾定理可知，至少存在點，使得再次利用羅爾定理，則存在點，使得=0由羅爾定理可知，在（）內(nèi)至少存在一點使得而，即不可能找到一點使得f（x）的三階導數(shù)為零，所以假設(shè)不成立，即方程至多有3個根13證明：令，其在[0,]上連續(xù)，在（0,）內(nèi)可導又,所以由羅爾定理可知至少存在一點，使得即14證明：令，此函數(shù)在[0,1]上連續(xù)，在（0，1）內(nèi)可導，又因為 ，由介值定理可知，在[1/2,1]之間存在c使得F（c）=0=F(0)，由羅爾定理可知，在[0,c]內(nèi)至少存在一點使得15提示：令，對f（x）和g（x）用柯西中值定理即可得證16提示：令，f（x）、g（x）在[a,b]上用柯西中值定理可證習題31（B）17證明：因為f（x）在[0,3]上連續(xù)，所以f（x）在[0,2]上連續(xù)，且在[0,2]上必有最大值M和最小值m，于是 故 由介值定理知，至少存在一點，使 因為f（c）=1=f（3），且f（x）在[c,3]上連續(xù)，在（c,3）內(nèi)可導，所以由羅爾定理可知，必存在 18證明：，因為f（x）在[a,b]上連續(xù)，(a,b)內(nèi)可導，且f(a)=f(b)=0,則 由羅爾定理知在（a，b）內(nèi)必存在一點c使得，由于所以，即內(nèi)單調(diào)減在（a，x）（xc）上利用拉格朗日中值定理知，即在（c，b）上利用拉格朗日中值定理同理可得即在[a,b]上，19證明：因為y=f（x）在x=0的某鄰域內(nèi)具有n階導數(shù)由柯西中值定理得：反復運用柯西中值定理，得：使得：即使得：20證明：設(shè)，由題知F（x）在[a,b]上連續(xù)，(a,b)內(nèi)可導 則，又 即，即 即21證明：令，對F（x）應(yīng)用拉格朗日中值定理，則存在使得 成立 再對在[a,b]上利用拉格朗日中值定理，則存在，使 成立 由上兩式有22證明：（1）令，則g（x）在[0,1]上連續(xù)，且 所以存在，使得即f()=1(2)根據(jù)拉格朗日中值定理，存在，使得 ， ，從而習題 3—2(A)1．用洛必達法則求下列極限.(1) （2）== (3) (4) (5) (6) (7) = =(8) (9) (10) =(11) (12) (13) (14)由于 所以(15)由于 所以（16） （17） （18）由于 所以，但不能由洛必達法則得出. (1) 此極限不存在，洛必達法則不適用. 原極限= （2）此極限不存在，洛必達法則不適用. 原極限=，且，試求：. 解：因具有一階連續(xù)導數(shù)，從而連續(xù)，時，. 則.，試用洛必達法則證明 證：、分母（視為h的函數(shù)）都有導數(shù)，又注意到分母的導數(shù)，故對 （B） . (1) (2) (4) (6) (8) ,所以6．解：若使在連續(xù)，則滿足，又 故當時，在連續(xù).：由于 所以，即函數(shù)在點處連續(xù). 習題 3—3(A) 1． 解： 2． 解：令 同理可得：，故 .3 .解：故 .4. 解： 故 .5. 解： 故 .6. 解：故 并得到。故 .7. 解. ，因為 ， ，所以 ，所以.8．解：由已知， ，所以 .9. 估計下列近似公式的絕對誤差. 解：（1），所以 ，故 ， .(2)因為，.所以，10. 解： ， 11. 利用三階泰勒公式求下列各數(shù)的近似值并估計誤差. 解：（1） ， . (2) , , ,其中 （3） ， .. (1) 所以 ， . (2)因為. 所以 （3）所以 [()]=(4) .13. 解：由題意可得：，即得證.14. 有誤，無法證明.15. 證明： ，即2，（）， .(B)16. 解： = .18. 解： .20. 解： ， .21. 證明： ， . 第四節(jié) 函數(shù)的單調(diào)性與極值判定1. （1）A（2）D（3）B（4）A（5）A（6)B（7）B2. （1）解 的定義域為， .令，得.當時，故在上單調(diào)增加；當或時，故在上單調(diào)減少.（2） 解 的定義域為, .故在上單調(diào)增加，在上單調(diào)減少.(3) 解 由于，易知在上單調(diào)增加，在上單調(diào)減少.(4) 解 當時，令得 當時，令得由極值的第一充分條件知：在內(nèi)單調(diào)增加，在內(nèi)單調(diào)減少.（5） 解 故在上單調(diào)增加，在上單調(diào)減少.(6) 解 故在上單調(diào)增加，在上單調(diào)減少.(7) 解 故在上單調(diào)增加，在上單調(diào)減少.(8) 解 利用對數(shù)求導法，在上單調(diào)增加.3. （1）解 令=0，得.，故該函數(shù)在處取得極大值5，在處該函數(shù)取得極小值4.（2） 解 ：極大值為，極小值為.（3） 解 根據(jù)極值的第一充分條件知：處該函數(shù)取得極小值，處該函數(shù)取得極大值2.（4） 解 =，令得。易知極小值為，極大值為.（5） 解 ，令得，易知極小值為.（6） 解 ，令得，極大值為4. (1)證 令，在上連續(xù)，且.時，，時，即.（2） 證 令，在上連續(xù)，，，故在上單調(diào)增加，時，即.（3） 證 令，在上連續(xù)，且.時，故在內(nèi)單調(diào)增加，從而，即.（4） 證 令，在連續(xù)，，，故在內(nèi)單調(diào)增加，且恒成立，進而表明在內(nèi)單調(diào)增加，即當時，于是得證.（5） 證 令，在內(nèi)連續(xù)，且。時，即在內(nèi)單調(diào)增加，即.（6） 證 令，在內(nèi)連續(xù)，，即在內(nèi)單調(diào)增加，即.5. （1）解 函數(shù)在上連續(xù)，必能取得最大值和最小值.，，比較后知在上的最大值為，最小值為.（2） 解 由于，故即為最小值點.（3）解 當時，； 當或時，； 由得，，比較知的最大值為，最小值為.（4） 解 ，，知函數(shù)的最大值為，最小值為.6. 解 令，.由得，有在內(nèi)單調(diào)減少，在內(nèi)單調(diào)增加，，所以僅在內(nèi)有一實根.7. 解 令。由得，在上單調(diào)增加，在上單調(diào)減少，的根的數(shù)目取決于的取值范圍.當時，此時有兩個實根.當時，此時有唯一實根.當時，此時無實根.8. 證 ，，且，故而只有一個實根.9. 解 ，,故，即在內(nèi)為增函數(shù).，所以方程有且僅有一個實根.10. 解 .令，當時，.又因為，.比較知的最大值為，最小值為.11. 解 ，當為偶數(shù)時，恒成立，故此時無極值；當奇數(shù)時，令得，由極值的第一充分條件知：在內(nèi)為增函數(shù)，在內(nèi)為減函數(shù)，該函數(shù)在處取得極大值.12. 解 設(shè)內(nèi)接矩形與橢圓在第一象限的交點為，內(nèi)接矩形的面積記為，則 顯然當時，即為橢圓的內(nèi)接矩形中面積的最大值.13. 解 設(shè)切點坐標為，所求的三角形面積為，則切線的直線方程為 切線與坐標軸的交點為，于是該切線與坐標軸所圍成的三角形的面積為顯然當，即切點坐標為時，14. 解 設(shè)圓錐形漏斗的高為，體積為，由題意知，，故當時，取得極大值同時也是最大值.15. 解 設(shè)漏斗的高為，體積為，由題意得，令得，截取的扇形弧長為，此時留下的扇形的中心角為.16. 解 記物體受到桌面的支持力為，由力的正交分解原理有 解得 令，得，即力與水平線的夾角為時，力最小.17. 解 運用對數(shù)求導法得令得，時該函數(shù)不可導.該函數(shù)在上為單調(diào)遞增函數(shù)，在上為單調(diào)減少函數(shù).18. 解 顯然在內(nèi)為增函數(shù)；在內(nèi)為減函數(shù)，故該函數(shù)取得極大值，取得極小值. ，,故在上為增函數(shù)，從而，即可表明在上也為增函數(shù)，.所以當時，. 對任意的有，.由極限的夾逼性知，從而在處連續(xù). 當時，可導，又因為 顯然為該函數(shù)的極值點，也為唯一的極值點.21. 證 令得.當時，故在內(nèi)為遞減函數(shù)；當時，，即.22. 證 ，.，由函數(shù)表達式易知：當時，即在上為減函數(shù)；由，當時，即在內(nèi)為增函數(shù)，進而在內(nèi)為增函數(shù)。綜上，為該函數(shù)的極小值也為最小值，于是時，得證.23. 證 ，.令得。是函數(shù)在上的唯一極大值點即是最大值點，此時。所以當時，24. 證 記, 令，，即在內(nèi)單調(diào)增加，又因為，所以。進而，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)增加.習題351. 單項選擇題（1） , x時， 單調(diào)下降，曲線是凹的故選（C）（2） , , 令 則 x0, 1 ,1故選（C）（3） 當時， ， 則 (x) 當x時， ，則 (x)所以在時是凸的，在是凹的（其中是趨于0的無窮?。?。由拐點定義可知，選（D）（4） x時， 。 x時，, 故xa 是f(x)的極大值故選（B）2. 求下列函數(shù)圖形的凹凸區(qū)間及拐點（1）解：函數(shù)的定義域為 令，得x=1 x10曲線y凹拐點凸 由表可知：曲線在內(nèi)是凹的，在內(nèi)是凸的，拐點為（1，2）（2） 解：函數(shù)的定義域為 令 ，得 ax(,)00曲線y凹拐點凸拐點凹 由表可知：曲線在，內(nèi)是凹的，在(,)內(nèi)是凸的,拐點為（）（3） 解：函數(shù)的定義域為 x=0時二階導數(shù)不存在當 時， ，曲線是凸的；當時， ，曲線是凹的。拐點為（0，0）