【正文】 者等比數(shù)列的前 n 項(xiàng)和或第 n 項(xiàng)的問題，在審題過程中一定要將兩者區(qū)分開來。解析：對拆一次厚度增加為原來的一倍，設(shè)每次對拆厚度構(gòu)成數(shù)列 ，則數(shù)列 是以nan米為首項(xiàng)，公比為 2 的等比數(shù)列。 2222(icosetan????tcot??這些統(tǒng)稱為 1 的代換) 常數(shù) “1”的種種代換有著廣泛的應(yīng)用．【練 20】 ． （2022 年湖北卷理科）已知 的值.)32sin(],[,0cos2sini62 ????????求答案： （原式可化為 ， ）531?tant6?????2ta1tni?????????【易錯(cuò)點(diǎn) 21】解答數(shù)列應(yīng)用題，審題不嚴(yán)易將有關(guān)數(shù)列的第 n 項(xiàng)與數(shù)列的前 n 項(xiàng)和混淆導(dǎo)致錯(cuò)誤解答。sin?co例 已知 ，求（1） ；（2） ??sin??????【思維分析】將式子轉(zhuǎn)化為正切如利用 可將（2）式分子分母除去 即可。2時(shí)，有一個(gè)公共點(diǎn)；當(dāng)k≠177。答案：（1） （2）213xy??31,525?????????????????????（2）已知雙曲線C： ，過點(diǎn)P （1，1）作直線l, 使l與C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，則滿足上述條件的直線l共有____條?！揪?19】 （1） （2022 重慶卷）已知橢圓 的方程為 ，雙曲線 的左右焦點(diǎn)分別為 的左1c214xy??2c1c右頂點(diǎn)，而 的左右頂點(diǎn)分別是 的左右焦點(diǎn)。第二種情況對應(yīng)于直線與雙曲線相切。時(shí)k?2323k??1??直線與雙曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，當(dāng) 或 時(shí)方程組無解此時(shí)直線與雙曲線無交點(diǎn)。 （4）20k?? 23k??1??當(dāng) 時(shí)即 或 時(shí)方程組無解此時(shí)直線與雙曲線無交點(diǎn)。解析：聯(lián)立方程組 消去 y 得到 （1）當(dāng)??214ykx????????2240kk????時(shí)，即 ，方程為關(guān)于 x 的一次方程，此時(shí)方程組只有解，即直線與雙曲線只有一210k??個(gè)交點(diǎn)。在上述解法中一定要注意這種特殊與一般的關(guān)系。解：（I）當(dāng) 時(shí)1,231?da nndnaSn ???????21 1)(3)(由 ，即 又 .224)(2 kkSk得 04k4,??k所 以（II）設(shè)數(shù)列{a n}的公差為 d，則在 中分別取 k=1,2,得)(2n?????????????? 211241 )(34,)( daaS即由（1）得 ,60,0?或得代 入時(shí)若 成立 ,2, knSSda從 而則若 故所得知由則 134)(,8)(63?n,)(239Ss? ,642,1 ??? dda 或解 得得代 入時(shí)若 。例 1 （2022 年高考數(shù)學(xué)江蘇卷，20）設(shè)無窮等差數(shù)列{a n}的前 n 項(xiàng)和為 Sn.(Ⅰ) 若首項(xiàng) ，公差 ，求滿足 的正整數(shù) k；?1a32 1d2)(2kS?(Ⅱ) 求所有的無窮等差數(shù)列{a n}，使得對于一切正整數(shù) k 都有 )(2?【易錯(cuò)點(diǎn)分析】本小題主要考查數(shù)列的基本知識，(Ⅱ)時(shí)極易根據(jù)條件“對于一切正整數(shù) k 都有 成立”這句話將 k 取兩個(gè)特殊值確定出等)(2k差數(shù)列的首項(xiàng)和公差，但沒有認(rèn)識到求解出的等差數(shù)列僅是對已知條件成立的必要條件，但不是條件成立的充分條件。數(shù)列求和的常用方法：公式1?an法、裂項(xiàng)相消法、錯(cuò)位相減法、倒序相加法等。常見的變形題除本題外，還有其它形式，例如：求 ，方法還是抓通項(xiàng)，即n21634212???，問題會(huì)很容易解決。解：由等差數(shù)列的前 項(xiàng)和公式得 ，∴)1(??， 取 ， ， ，…，就分別得到 ，)1(2)1(321????nn? 23321,?…，∴ ?nS )1(43???n?．1)(?【知識歸類點(diǎn)拔】 “裂項(xiàng)法”有兩個(gè)特點(diǎn)，一是每個(gè)分式的分子相同；二是每項(xiàng)的分母都是兩個(gè)數(shù)（也可三個(gè)或更多）相乘，且這兩個(gè)數(shù)的第一個(gè)數(shù)是前一項(xiàng)的第二個(gè)數(shù)，如果不具備這些特點(diǎn)，就要進(jìn)行轉(zhuǎn)化?！揪?16】 （2022 全國卷一理）已知 121nnnuabab??????當(dāng) 時(shí)，求數(shù)列 的前 n 項(xiàng)和??,0nNab?????s答案： 時(shí) 當(dāng) 時(shí) .1????2122nnnsa????1a???32n?【易錯(cuò)點(diǎn) 17】不能根據(jù)數(shù)列的通項(xiàng)的特點(diǎn)尋找相應(yīng)的求和方法，在應(yīng)用裂項(xiàng)求和方法時(shí)對裂項(xiàng)后抵消項(xiàng)的規(guī)律不清，導(dǎo)致多項(xiàng)或少項(xiàng)。??na??nbxR???nb【思維分析】本題根據(jù)條件確定數(shù)列 的通項(xiàng)公式再由數(shù)列 的通項(xiàng)公式分析可知數(shù)列 是一n ??nb個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列構(gòu)成的“差比數(shù)列” ，可用錯(cuò)項(xiàng)相減的方法求和。答案： ??1,0,????【易錯(cuò)點(diǎn) 16】在數(shù)列求和中對求一等差數(shù)列與一等比數(shù)列的積構(gòu)成的數(shù)列的前 n 項(xiàng)和不會(huì)采用錯(cuò)項(xiàng)相減法或解答結(jié)果不到位。高考往往就是在這里人為的設(shè)計(jì)陷阱使考生產(chǎn)生對現(xiàn)而不全的錯(cuò)誤。解：（I）∵數(shù)列 是公比為 的等比數(shù)列，∴ ，1??n qann121???，由 得232qann??321??nnaa，即 （ ） ，解得2111 qn??? 0???．250?q（II）由數(shù)列 是公比為 的等比數(shù)列，得 ，這表明數(shù)列}{1??naqqaann????21213的所有奇數(shù)項(xiàng)成等比數(shù)列，所有偶數(shù)項(xiàng)成等比數(shù)列，且公比都是 ，又 ， ，∴當(dāng)}{na q1?a2時(shí)，1?qnS2 naaa214321 ????? )()( 623n???，當(dāng) 時(shí)，qqnn????1)(1)2 1?nS2naaa2432??? )()( 2641 nn a??．3)????【知識點(diǎn)歸類點(diǎn)拔】本題中拆成的兩個(gè)數(shù)列都是等比數(shù)列，其中 是解題的關(guān)鍵，這種給出數(shù)列qan??2的形式值得關(guān)注。再者學(xué)生沒有從定義出發(fā)研究條件數(shù)列 是公比為 （ ）的等比數(shù)列得到數(shù)列奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)成等比數(shù)}{1??aq0?列而找不到解題突破口。【練 14】 （2022 全國理天津理）已知方程 和 的四個(gè)根組成一個(gè)首項(xiàng)20xm??20x???為 的等差數(shù)列，則 =（） A、1 B、 C、 D、14mn?34138答案：C【易錯(cuò)點(diǎn) 15】用等比數(shù)列求和公式求和時(shí)，易忽略公比ｑ＝１的情況例 1數(shù)列 中， ， ，數(shù)列 是公比為 （ ）的等比數(shù)列。3579,45,16aab318【知識點(diǎn)歸類點(diǎn)拔】等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)是數(shù)列知識的一個(gè)重要方面，有解題中充分運(yùn)用數(shù)列的性質(zhì)往往起到事半功倍的效果。ab?【思維分析】注意到兩方程的兩根之和相等這個(gè)隱含條件，結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)明確等差數(shù)列中的項(xiàng)是如何排列的。0d?7?95?67n答案：C（提示利用二次函數(shù)的知識得等差數(shù)列前 n 項(xiàng)和關(guān)于 n 的二次函數(shù)的對稱軸再結(jié)合單調(diào)性解答）【易錯(cuò)點(diǎn) 14】解答數(shù)列問題時(shí)沒有結(jié)合等差、等比數(shù)列的性質(zhì)解答使解題思維受阻或解答過程繁瑣。此外nsab??,??????形如前 n 項(xiàng)和 所對應(yīng)的數(shù)列必為一等比數(shù)列的前 n 項(xiàng)和。特別的等差數(shù)列的前 n 項(xiàng)和公式是關(guān)于 n 的二次函數(shù)且沒有常數(shù)項(xiàng)，反之滿足形如 所對應(yīng)的數(shù)列也必然是等差數(shù)列的2nsab??前 n 項(xiàng)和。2lx????fxnN??lm2n?ns當(dāng) 為奇數(shù)時(shí)，當(dāng) 時(shí) 最大。問 n 為何值時(shí) 最大???na10?slm?ls?ns【易錯(cuò)點(diǎn)分析】等差數(shù)列的前 n 項(xiàng)和是關(guān)于 n 的二次函數(shù)，可將問題轉(zhuǎn)化為求解關(guān)于 n 的二次函數(shù)的最大值，但易忘記此二次函數(shù)的定義域?yàn)檎麛?shù)集這個(gè)限制條件?！揪?12】 （2022 全國理）已知數(shù)列 滿足??na則數(shù)列 的通項(xiàng)為 。??243nn????????????【知識點(diǎn)歸類點(diǎn)拔】對于數(shù)列 與 之間有如下關(guān)系： 利用兩者之間的關(guān)系nas??12nnsa???????可以已知 求 。??解析：易求得 。??na【易錯(cuò)點(diǎn)分析】此題在應(yīng)用 與 的關(guān)系時(shí)誤認(rèn)為 對于任意 n 值都成立，忽略了對 n=1nsa1nns?的情況的驗(yàn)證。x3答案： （提示令換元 原不等式變?yōu)殛P(guān)于 t 的一元二次不等式的解集為 ）1,68ab?xt???2,b【易錯(cuò)點(diǎn) 12】已知 求 時(shí), 易忽略 n＝１的情況．nSa例 1 （2022 高考北京卷）數(shù)列 前 n 項(xiàng)和 且 。cosx－2a 的最大值2和最小值?；蛘咦?yōu)槭煜さ男问?，把?fù)雜的計(jì)算和推證簡化。換元法又稱輔助元素法、變量代換法。2sin3x??49【知識點(diǎn)歸類點(diǎn)拔】“知識”是基礎(chǔ)，“方法”是手段，“思想”是深化，提高數(shù)學(xué)素質(zhì)的核心就是提高學(xué)生對數(shù)學(xué)思想方法的認(rèn)識和運(yùn)用，數(shù)學(xué)素質(zhì)的綜合體現(xiàn)就是“能力”，解數(shù)學(xué)題時(shí)，把某個(gè)式子看成一個(gè)整體，用一個(gè)變量去代替它，從而使問題得到簡化，這叫換元法。g?34a?【易錯(cuò)點(diǎn) 11】 用換元法解題時(shí)，易忽略換元前后的等價(jià)性．例 1已知 求 的最大值1sinxy??2sincox?【易錯(cuò)點(diǎn)分析】此題學(xué)生都能通過條件 將問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于 的函數(shù)，進(jìn)而利用換1si3y??sinx元的思想令 將問題變?yōu)殛P(guān)于 t 的二次函數(shù)最值求解。3gxa??fx恒成立，所以 . C、D 當(dāng) 時(shí)，要使 是函數(shù)，則需有??39。答案：當(dāng) ，函數(shù)在 上單調(diào)遞減在 上單調(diào)遞增當(dāng) 函數(shù)在 上單0a?31,2???????3,42??????1?,2??????調(diào)遞增在 上單調(diào)遞減。??2xa?????,4??14260a?????????綜上所述存在實(shí)數(shù) a1 使得函數(shù) 在 上是增函數(shù)??2logaxf????,【知識歸類點(diǎn)拔】要熟練掌握常用初等函數(shù)的單調(diào)性如：一次函數(shù)的單調(diào)性取決于一次項(xiàng)系數(shù)的符號，二次函數(shù)的單調(diào)性決定于二次項(xiàng)系數(shù)的符號及對稱軸的位置，指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性決定于其底數(shù)的范圍（大于 1 還是小于 1） ，特別在解決涉及指、對復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性問題時(shí)要樹立分類討論的數(shù)學(xué)思想（對數(shù)型函數(shù)還要注意定義域的限制） 。 （2）當(dāng) a1 時(shí)若使 在 上是??1240a????????? 2logaxf?,9增函數(shù)，則 在 上是減函數(shù)且大于零。解析：函數(shù) 是由 和 復(fù)合而成的，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的判斷方??fx2x?????logxay?法（1）當(dāng) a1 時(shí)，若使 在 上是增函數(shù)，則 在 上是增函2logaf??,4??2xa????,4數(shù)且大于零。例 是否存在實(shí)數(shù) a 使函數(shù) 在 上是增函數(shù)？若存在求出 a 的值，若不存在，??2logaxf????,4說明理由。（1） 把全程運(yùn)輸成本 y（元）表示為速度 v（km/h）的函數(shù)，并指出這個(gè)函數(shù)的定義域；（2） 為了使全程運(yùn)輸成本最小，汽車應(yīng)以多大速度行駛？答案為:（1） （2）使全程運(yùn)輸成本最小，當(dāng) ≤c 時(shí)，行駛速度 v=??20sbvac????ba；當(dāng) ＞c 時(shí)，行駛速度 v=c?！揪?9】 （97 全國卷文 22 理 22）甲、乙兩地相距 s km , 汽車從甲地勻速行駛到乙地，速度不得超過 c km/h ,已知汽車每小時(shí)的運(yùn)輸成本（以元為單位）由可變部分和固定部分組成：可變部分與速度v（km/h）的平方成正比，比例系數(shù)為 b。ab1解析：原式= a 2+b2+ + +4=( a2+b2)+( + )+4=[(a+b)22ab]+ [( + )2 ]+4 =(12ab)21ba1b(1+ )+4 由 ab≤( )2= 得：12ab≥1 = ,且 ≥16，1+ ≥17∴原式≥21b?42217+4= (當(dāng)且僅當(dāng) a=b= 時(shí)，等號成立)∴(a+ )2+(b+ )2的最小值是 。a1b錯(cuò)解 :(a+ )2+(b+ )2=a2+b2+ + +4≥2ab+ +4≥4 +4=8∴(a+ )2+(b+ )2的最a1b2 ab1?b1小值是 8【易錯(cuò)點(diǎn)分析】 上面的解答中，兩次用到了基本不等式 a2+b2≥2ab，第一次等號成立的條件是 a=b= ,2第二次等號成立的條件 ab= ，顯然，這兩個(gè)條件是不能同時(shí)成立的。 ）??,【易錯(cuò)點(diǎn) 9】應(yīng)用重要不等式確定最值時(shí)，忽視應(yīng)用的前提條件特別是易忘判斷不等式取得等號時(shí)的變量值是否在定義域限制范圍之內(nèi)?！揪?8】 （1） （2022 新課程）函數(shù) 是是單調(diào)函數(shù)的充要條件是（）2yxbc???0,x???A、 B、 C、 D、0b??0??答案：A（2）是否存在這樣的 K 值，使函數(shù) 在 上遞減，在??24321fxkxk????,2上遞增？??,??答案： 。因此本題在第一步后再對 和 進(jìn)行了討論，確保其充要性。因此新教材為解決單調(diào)區(qū)間的端點(diǎn)問題，都一律用開區(qū)間作為單調(diào)區(qū)間，避免討論以上問題，也簡化了問題?！?是 為增函數(shù)0)(?xf)(xf ?的必要不充分條件。③ 與 為增函數(shù)的關(guān)系: 為增函數(shù)，)(??xf)(f 0)(??f一定可以推出 ，但反之不一定，因?yàn)?，即為 或 。② 時(shí)， 與 為增函數(shù)的關(guān)系:若將 的根作為分界點(diǎn)，因?yàn)?(??xf)(?xf)(f ??規(guī)定 ，即摳去了分界點(diǎn)，此時(shí) 為增函數(shù)，就一定有 。??,3?【知識歸類點(diǎn)拔】若函數(shù) 可導(dǎo)，其導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系現(xiàn)以增函數(shù)為例來說明：①?fx與 為增函數(shù)的關(guān)系: 能推出 為增函數(shù)，但反之不一定。 （2）當(dāng) 時(shí)，??23610fxax??????0????3a?3a??7易知此時(shí)函數(shù)也在 R 上是減函數(shù)。??321fxax???【易錯(cuò)點(diǎn)分析】 是 在 內(nèi)單調(diào)遞減的充分不必要條件，在解題過程??0,fxb???f??,b中易誤作是充要條件，如 在 R 上遞減，但 。??0,??答案：（1） （2）函數(shù)在 上為增函數(shù)（證明略）1a???0,?【易錯(cuò)點(diǎn) 8】在解題中誤將必要條件作充分條件或?qū)⒓炔怀浞峙c不必要條件誤作充要條件使用，導(dǎo)致錯(cuò)誤結(jié)論。 （2）1,a????????1,a????????120???????（2） （2022 天津）設(shè) 且 為 R 上的偶函數(shù)。 （2）設(shè) 在 的最小值為 ，求 的解析式。??12,xff（3） 是一種重要的函數(shù)