【正文】 A﹣ PC|的值最大？并求出這個最大值． ②在 P 點(diǎn)的運(yùn)動過程中， ∠ APB 能否與 ∠ ACB 相等？若能，請求出 P 點(diǎn)的坐標(biāo)；若不能，請說明理由． 19 中考題訓(xùn)練： （ 2022?黔南州）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，頂點(diǎn)為（ 4，﹣ 1）的拋物線交 y軸于 A 點(diǎn)，交 x 軸于 B， C 兩點(diǎn)（點(diǎn) B 在點(diǎn) C 的左側(cè)），已知 A 點(diǎn)坐標(biāo)為（ 0， 3）． （ 1）求此拋物線的解析式； （ 2）過點(diǎn) B 作線段 AB 的垂線交拋物線于點(diǎn) D，如果以點(diǎn) C 為圓心的圓與直線 BD 相切，請判斷拋物線的對稱軸 l 與 ⊙ C 有怎樣的位置關(guān)系，并給出證明； （ 3）已知點(diǎn) P 是拋物線上的一個動點(diǎn)，且位于 A， C 兩點(diǎn)之間，問：當(dāng)點(diǎn) P 運(yùn)動到什么位置時， △ PAC 的面積最大？并求出此時 P 點(diǎn)的坐標(biāo)和 △ PAC 的最大面積． 蘇州中考題：（ 2022 年● 27 題） 如圖，已知二次函數(shù) ? ?2 1y x m x m? ? ? ?（其中 0＜ m＜ 1）的圖像與 x 軸交于 A、 B 兩點(diǎn) （點(diǎn) A 在點(diǎn) B 的左側(cè)） ，與 y 軸交于點(diǎn) C，對稱軸為直線 l． 設(shè)P 為 對稱軸 l 上的點(diǎn)，連接 PA、 PC， PA =PC． （ 1） ∠ ABC 的度數(shù)為 ▲ 176。 AC＝ BC， 點(diǎn) A、 C在 x 軸上，點(diǎn) B 的 坐標(biāo)為 (3， m)(m＞ 0)，線段 AB 與 y 軸相交于點(diǎn) D，以 P(1， 0)為頂點(diǎn)的拋物線過點(diǎn) B、 D． （ 1）求點(diǎn) A 的坐標(biāo)（用 m 表示）； （ 2）求拋物線的解析式； （ 3）設(shè)點(diǎn) Q 為拋物線上點(diǎn) P 至點(diǎn) B 之間的一動點(diǎn)，連結(jié) PQ 并延長交 BC 于點(diǎn) E，連結(jié) BQ并延長交 AC 于點(diǎn) F，試證明： FC(AC＋ EC)為定值． 變式練習(xí)： （ 2022 江蘇蘇州， 28， 9 分）如圖，正方形 ABCD 的邊 AD 與矩形 EFGH 的邊 FG重合，將正方形 ABCD 以 1cm/s 的速度沿 FG 方向移動，移動開始前點(diǎn) A 與點(diǎn) F 重合 .在移動過程中，邊 AD 始終與邊 FG 重合，連接 CG，過點(diǎn) A 作 CG 的平行線交線段 GH 于點(diǎn) P，連接 ABCD 的邊長為 1cm，矩形 EFGH 的邊 FG、 GH 的長分別為 4cm、 3cm.設(shè)正方形移動時間為 x（ s），線段 GP 的長為 y（ cm），其中 . ⑴ 試求出 y 關(guān)于 x 的函數(shù)關(guān)系式，并求出 y =3 時相應(yīng) x 的值； ⑵ 記 △DGP 的面積為， △CDG 的面積為，試說明是常數(shù)； ⑶ 當(dāng)線段 PD 所在直線與正方形 ABCD 的對角線 AC 垂直時，求線段 PD 的長 . PHG FEDC BA 15 蘇州中考題： （ 2022 年 ?蘇州）如圖，二次函數(shù) y=a（ x2﹣ 2mx﹣ 3m2）（其中 a， m 是常數(shù)，且 a＞ 0， m＞ 0）的圖象與 x 軸分別交于點(diǎn) A、 B（點(diǎn) A 位于點(diǎn) B 的左側(cè)），與 y 軸交于 C（ 0，﹣ 3），點(diǎn) D 在二次函數(shù)的圖象上， CD∥ AB，連接 AD，過點(diǎn) A 作射線 AE 交二次函數(shù)的圖象于點(diǎn) E， AB 平分 ∠ DAE． （ 1）用含 m 的代數(shù)式表示 a； （ 2）求證： 為定值； （ 3）設(shè)該二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)為 F，探索：在 x 軸的負(fù)半軸上是否存在點(diǎn) G，連接 GF，以線段 GF、 AD、 AE 的長度為三邊長的三角形是直角三角形？如果存在，只要找出一個滿足要求的點(diǎn) G 即可，并用含 m 的代數(shù)式表示該點(diǎn)的橫坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由． 16 八、存在性問題（如：平行、垂直，動點(diǎn)，面積等） 例 (2022年浙江省紹興市 )將一矩形紙片 OABC 放在平面直角坐標(biāo)系中， (00)O， ， (60)A， ，(03)C， ．動點(diǎn) Q 從點(diǎn) O 出發(fā)以每秒 1 個單位長的速度沿 OC 向終點(diǎn) C 運(yùn)動，運(yùn)動 23 秒時，動點(diǎn) P 從點(diǎn) A 出發(fā)以相等的速度沿 AO 向終點(diǎn) O 運(yùn)動．當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時，另一點(diǎn)也停止運(yùn)動．設(shè)點(diǎn) P 的運(yùn)動時間為 t （秒）． （ 1）用含 t 的代數(shù)式表示 OP OQ， ； （ 2）當(dāng) 1t ? 時，如圖 1，將 OPQ△ 沿 PQ 翻折，點(diǎn) O 恰好落在 CB 邊上的點(diǎn) D 處，求點(diǎn) D的坐標(biāo)； （ 1） 連結(jié) AC ，將 OPQ△ 沿 PQ 翻折，得到 EPQ△ ，如圖 2．問： PQ 與 AC 能否平行？ PE 與 AC 能否垂直？若能，求出相應(yīng)的 t 值；若不能，說明理由． 變式練習(xí)： 如圖，已知拋物線 y=ax2+bx+3 與 x 軸交于 A（ 1， 0）， B（﹣ 3， 0）兩點(diǎn)，與 y軸交于點(diǎn) C，拋物線的頂點(diǎn)為 P，連接 AC． （ 1）求此拋物線的解析式； （ 2）在拋物線上找一點(diǎn) D，使得 DC 與 AC 垂直，且直線 DC 與 x 軸交于點(diǎn) Q，求直線 DC的解析式； （ 3）拋物線對稱軸上是否存在一點(diǎn) M，使得 S△MAP=2S△ACP？若存在，求出 M 點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由． 17 蘇州中考題： （ 2022 年蘇州● 本題滿分 10 分）如圖，已知二次函數(shù) ? ?2 1y x m x m? ? ? ?（其中 0＜ m＜ 1）的圖像與 x 軸交于 A、 B 兩點(diǎn) （點(diǎn) A 在點(diǎn) B 的左側(cè)） ，與 y 軸交于點(diǎn) C，對稱軸為直線 l． 設(shè) P 為 對稱軸 l 上的點(diǎn)，連接 PA、 PC， PA=PC． （ 1） ∠ ABC 的度數(shù)為 176。 ； 當(dāng) PA 的長度等于 時， △ PAD 是等腰三角形； (2)如圖 ② ，以 AB 邊所在直線為 x 軸、 AD 邊所在直線為 y 軸，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系（點(diǎn) A 即為原點(diǎn) O），把 △ PAD、 △ PAB、 △ PBC 的面積分別記為 S S S3．坐標(biāo)為（ a， b），試求 2 S1 S3－ S22 的最大值，并求出此時 a， b 的值． 11 蘇州中考題：（ 2022 年● 29 題） 已知二次函數(shù) ? ?? ?2 6 8 0y a x x a? ? ? ?的圖象與 x 軸分別交于點(diǎn) A、 B，與 y 軸交于點(diǎn) C．點(diǎn) D 是拋物線的頂點(diǎn)． (1)如圖 ① ，連接 AC，將 △ OAC 沿直線 AC 翻折，若點(diǎn) O 的對應(yīng)點(diǎn) O39。與點(diǎn) O 重合？若存在，求出 t 的值；若不存在，請說明理由． 面積與相似： （ 2022 蘇州， 29）如圖，已知拋物線與 x 軸的正半軸分別交于點(diǎn) A、 B（點(diǎn) A位于點(diǎn) B 的左側(cè)），與 y 軸的正半軸交于點(diǎn) C. ⑴ 點(diǎn) B 的坐標(biāo)為 ，點(diǎn) C 的坐標(biāo)為 （用含 b 的代數(shù)式表示）； ⑵ 請?zhí)剿髟诘谝幌笙迌?nèi)是否存在點(diǎn) P，使得四邊形 PCOB 的面積等于 2b，且 △PBC 是以點(diǎn) P為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形？如果存在，求出點(diǎn) P 的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由； ⑶ 請你進(jìn)一步探索在第一象限內(nèi)是否存在點(diǎn) Q，使得 △QCO、 △QOA 和 △QAB 中的任意兩個三角形均相似（全等可看作相似的特殊情況）？如果存在，求出點(diǎn) Q 的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由 . xyPOCBA 8 四．三角形問題（等腰直角三角形、等邊三角形、全等三角形等） 例 4．（廣東省湛江市）已知矩形紙片 OABC 的長為 4，寬為 3，以長 OA 所在的直線為 x 軸，O 為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系；點(diǎn) P 是 OA 邊上的動點(diǎn)（與點(diǎn) OA 不重合），現(xiàn)將△ POC沿 PC 翻折得到△ PEC，再在 AB 邊上選取適當(dāng)?shù)狞c(diǎn) D， 將△ PAD 沿 PD 翻折，得到△ PFD，使得直線 PE、 PF 重合 ． （ 1）若點(diǎn) E 落在 BC 邊上，如圖①，求點(diǎn) P、 C、 D 的坐標(biāo)，并求過此三點(diǎn)的拋物線的函數(shù)關(guān)系式； （ 2）若點(diǎn) E 落在矩形紙片 OABC 的內(nèi)部，如圖②，設(shè) OP＝ x， AD＝ y， 當(dāng) x 為何值時， y取得最大值？ （ 3）在（ 1）的情況下，過點(diǎn) P、 C、 D 三點(diǎn)的拋物線上是否存在點(diǎn) Q， 使△ PDQ 是以 PD為直角邊的直角三角形？若不存在，說明理由；若存在，求出點(diǎn) Q 的坐標(biāo) ． 變式． （ 廣東省深圳市 ）已知： Rt△ ABC 的斜邊長為 5，斜邊上的高為 2，將這個直角三角形放置在平面直角坐標(biāo)系中，使其斜邊 AB 與 x 軸重合（其中 OA＜ OB），直角頂點(diǎn) C 落在y 軸正半軸上（如圖 1） ． （ 1）求線段 OA、 OB 的長和經(jīng)過點(diǎn) A、 B、 C 的拋物線的關(guān)系式 ． （ 2）如圖 2，點(diǎn) D 的坐標(biāo)為（ 2， 0），點(diǎn) P（ m， n）是該拋物線上的一個動點(diǎn)（其中 m＞ 0，n＞ 0）， 連接 DP 交 BC 于點(diǎn) E． ① 當(dāng) △ BDE 是等腰三角形時， 直接寫出 ． ． ． ． 此時點(diǎn) E 的坐標(biāo) ． ② 又連接 CD、 CP（如圖 3）， △ CDP 是否有最大面積？若有，求出 △ CDP 的最大面積和此時點(diǎn) P 的坐標(biāo)；若沒有，請說明理由 ． 9 蘇州中考題：（ 2022 年● 29 題） 如圖，已知拋物線 y＝ x2＋ bx＋ c（ b， c 是常數(shù)，且 c0）與 x 軸分別交于點(diǎn) A， B（點(diǎn) A 位于點(diǎn) B 的左側(cè)），與 y 軸的負(fù)半軸交于點(diǎn) C，點(diǎn) A 的坐標(biāo)為 (－ 1， 0)． (1)b＝ ，點(diǎn) B 的橫坐標(biāo)為 （上述結(jié)果均用含 c 的代數(shù)式表示）； (2)連接 BC，過點(diǎn) A 作直線 AE∥ BC，與拋物線 y＝ x2＋ bx＋ c 交于點(diǎn) E．點(diǎn) D 是 x 軸上一點(diǎn)，其坐標(biāo)為 (2， 0)，當(dāng) C， D， E 三點(diǎn)在同一直線上時，求拋物線的解析式； (3)在 (2)的條件下，點(diǎn) P 是 x 軸下方的拋物線上的一動點(diǎn)，連接 PB， PC，設(shè)所得△ PBC 的面積為 S． ①求 S 的取值范圍； ②若△ PBC 的面積 S 為整數(shù)，則這樣的△ PBC 共有 個． 1212 10 五、與四邊形有關(guān)的二次函數(shù)問題 例 5． （ 內(nèi)蒙古赤峰市 ）如圖， Rt△ ABC 的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為 A（ 0， 3 ）， B（ －21，23），C（ 1， 0）， ∠ ABC＝ 90176。F，設(shè)點(diǎn) E， F， G 運(yùn)動的時間為 t（單位： s）． (1)當(dāng) t＝ s 時，四邊形 EBFB39。后，得到 △A1O1B1，點(diǎn) A、O、 B 的對應(yīng)點(diǎn)分別是點(diǎn) A O B1．若 △A1O1B1 的兩個頂點(diǎn)恰好落在拋物線上，請直接寫出點(diǎn) A1 的橫坐標(biāo)． 5 蘇州中考題：（ 20222022 學(xué)年第一學(xué)期期末●高新區(qū)） 如圖 1，在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中，直線 l： y＝ 34x＋ m 與 x 軸、 y 軸分別交于點(diǎn) A 和點(diǎn) B(0，－ 1)，拋物線 y＝ x2＋ bx＋ c 經(jīng)過點(diǎn) B，且與直線 l 的另一個交點(diǎn)為 C(4， n)． (1)求 n 的值和拋物線的解析式； (2)點(diǎn) D 在拋物線上，且點(diǎn) D 的橫坐標(biāo)為 t(0t4)． DE∥ y 軸交直線 l 于點(diǎn) E，點(diǎn) F 在直線 l 上，且四邊形 DFEG 為矩形 (如圖 2)．若矩形 DFEG 的周長為 p，求 p 與 t 的函數(shù)關(guān)系式以及 p 的最大值； (3)將△ AOB 在平面內(nèi)經(jīng)過一定的平移得到 △ A1O1B1，點(diǎn) A、 O、 B 的對應(yīng)點(diǎn)分別是點(diǎn)A O B1．若△ A1O1B1的兩個頂點(diǎn)恰好落在拋物線上，請直接寫出點(diǎn) A1 的橫坐標(biāo)為 ． 12 6 三．相似與三角函數(shù)問題 例 3．（四川省遂寧市） 如圖，二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn) D(0， 397)，且頂點(diǎn) C 的橫坐標(biāo)為 4，該圖象在 x 軸上截得的線段 AB 的長為 6． （ 1） 求 該 二次函數(shù)的解析式； （ 2） 在該拋物線的對稱軸上找一點(diǎn) P，使 PA＋ PD 最小，求出點(diǎn) P 的坐標(biāo)； （ 3） 在拋物線上是否存在點(diǎn) Q，使 △ QAB 與 △ ABC 相似？如果存在，求出點(diǎn) Q 的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由． 變式練習(xí)： 如圖 1，直角梯形 OABC 中， BC∥ OA， OA=6， BC=2， ∠ BAO=45176。 一、動點(diǎn)型 問題： 例 1．（基礎(chǔ)題） 如圖，已知拋物線 y=x2﹣ 2x﹣ 3 與 x 軸從左至右分別交于 A、 B 兩點(diǎn)，與 y軸交于 C 點(diǎn)，頂點(diǎn)為 D． （ 1）求與直線 BC 平行且與拋物線只有一個交點(diǎn)的直線解析式； （ 2）若線段 AD 上有一動點(diǎn) E，過 E 作平行于 y 軸的直線交拋物線于 F，當(dāng)線段 EF 取得最大值時，求點(diǎn) E