【正文】 CB 是平行四邊形，此時(shí) PD=QC， ∴ 12﹣ 2t=t， ∴ t=4． ∴ 當(dāng) t=4 時(shí)，四邊形 PQDC 是平行四邊形． （ 2）過 D 點(diǎn)， DF⊥ BC 于 F， ∴ DF=AB=8． FC=BC﹣ AD=18﹣ 12=6， CD=10， ①當(dāng) PQ⊥ BC，則 BQ+CQ=18．即： 2t+t=18， ∴ t=6； ②當(dāng) QP⊥ PC，此時(shí) P 一定在 DC 上， CP1=10+12﹣ 2t=22﹣ 2t， CQ2=t，易知， △ CDF∽△ CQ2P1， ∴ ，解得 ： t= ， ③情形：當(dāng) PC⊥ BC 時(shí)，因 ∠ DCB＜ 90176。 蔡老師數(shù)學(xué) 14 ∵ BD 為正方形 ABCD 的對(duì)角線， ∴∠ MDA=45176。. ∴ DG⊥ BE. （ 2） ∵ 四邊形 ABCD 和四邊形 AEFG 都為正方形， ∴ AD=AB， ∠ DAB=∠ GAE=90176。. 在 △EDH 中， ∵ ∠ AEB+∠ ADG+∠ DHE=180176。 AG=AE， ∴ △ ADG≌△ ABE（ SAS） .∴∠ AGD=∠ AEB. 如 答 圖 1，延長 EB 交 DG 于點(diǎn) H， 在 △ADG 中， ∵ ∠ AGD+∠ ADG=90176。 當(dāng) PM⊥ AB 時(shí)， PM 最短， ∵ 直線 3 34yx??與 x 軸、 y 軸分別交于點(diǎn) A， B， ∴ 點(diǎn) A 的坐標(biāo)為（ 4， 0），點(diǎn) B 的坐標(biāo)為（ 0，﹣ 3） . 在 Rt△AOB 中， ∵ AO=4， BO=3， ∴根據(jù)勾股定理，得 AB=5. ∵∠ BMP=∠ AOB=90176。點(diǎn) F 是 DE 的中點(diǎn)， ∴ 12CF E F D F D E? ? ?.∴ CEF? 是等腰三角形 . ∵ 將 △ABC 繞直角頂點(diǎn) C 順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 90176?！唷?ABE 是等腰直角三角形，∴ AE=AB=2， BE= 2 AB=2 2 ， ∵ BE=DE， PD=x，∴ PE=DE﹣ PD=2 2 ﹣ x，∵ PQ∥ BD， BE=DE，∴ QE=PE=2 2 ﹣ x， 又∵△ ABE 是等腰直角三角形（已證），∴點(diǎn) Q 到 AD 的距離 = 22 （ 2 2 ﹣ x） =2﹣ 22 x, ∴△ PQD 的面積 y=x（ 2﹣ 22 x） =﹣ 24 （ x2﹣ 2 2 x+2） =﹣ 24 （ x﹣ 2 ） 2+ 22 , 即 y=﹣ 24 （ x﹣ 2 ） 2+ 22 ，縱觀各選項(xiàng)，只有 C 選項(xiàng) 符合． 考點(diǎn)：動(dòng)點(diǎn)問題的函數(shù)圖象． 例 4. 解： （ 1） 如答圖 1，設(shè) 直線 AB 與 x 軸的交點(diǎn)為 M， ∵ 45OPA? ? ? ， P（ 0 ， 2） ， ∴ ? ?2, 0M ? . 設(shè) 直線 AB 的解析式為 y kx b??， 蔡老師數(shù)學(xué) 11 則 202kbb? ? ??? ??，解得 12kb?????.∴ 直線 AB 的解析式為 2yx?? . （ 2）如答圖 2，過點(diǎn) Q 作 x 軸的垂線 QC，交 AB 于點(diǎn) C，再過點(diǎn) Q 作直線 AB 的垂線，垂足為點(diǎn) D，根據(jù)條件可知， QDC? 是等腰直角三角形 . ∴ 22QD QC? . 設(shè) ? ?2,Q m m ，則 ? ?,2C m m? ， ∴ 22QC m m? ? ? . ∴ ? ? 222 2 1 9 222 2 2 8Q D m m m??? ? ? ? ? ? ?????. ∴當(dāng) 12m?時(shí)， 點(diǎn) Q 到直線 AB 的距離的最大值 為 928 . （ 3） ∵ 45APT? ? ? ，∴ PBQ? 中必有一角等于 45176。=10 =5 ， ∴ BE+EF 的最小值為 ． 例 3. 【答案】 C． 【解析】 ∵∠ ABE=45176。 AB′=AB=10， ∴ B′F=AB′?sin45176。 ∴ C′E=AE= AC′=2 ，即 AP+BP 的最小值是 2 ．故答案為： 2 ； （ 2）如圖，在斜邊 AC 上截取 AB′=AB，連結(jié) BB′． ∵ AD 平分 ∠ BAC， ∴∠ B′AM=∠ BAM， 在 △ B′AM 和 △ BAM 中 ， ， ∴△ B′AM≌△ BAM（ SAS）， ∴ BM=B′M， ∠ BMA=∠ B′MA=90176。又 AC′為圓的直徑， ∴∠ AEC′=90176。 蔡老師數(shù)學(xué) 10 ∴∠ AOE=90176。 ∴∠ AOD=60176。記 △ OAP 外接圓和 △ OAM 外接圓的面積分別是 SS2，求1211SS? 的值． 蔡老師數(shù)學(xué) 9 參考答案 例 1. 解：（ 1）在 Rt△ ABC 中， BC2=AB2﹣ AC2=52﹣ 32=16， ∴ BC=4（ cm）； （ 2）由題意知 BP=tcm， ①當(dāng) ∠ APB 為直角時(shí)，點(diǎn) P 與點(diǎn) C 重合， BP=BC=4cm，即 t=4； ②當(dāng) ∠ BAP 為直角時(shí)， BP=tcm， CP=（ t﹣ 4） cm， AC=3cm，在 Rt△ ACP 中， AP2=32+（ t﹣ 4） 2，在 Rt△ BAP 中， AB2+AP2=BP2，即： 52+[32+（ t﹣ 4） 2]=t2，解得： t= ， 故當(dāng) △ ABP 為直角三角形時(shí)， t=4 或 t= ； （ 3） ①當(dāng) AB=BP 時(shí)， t=5； ②當(dāng) AB=AP 時(shí)， BP=2BC=8cm， t=8； ③當(dāng) BP=AP 時(shí)， AP=BP=tcm， CP=|t﹣ 4|cm， AC=3cm，在 Rt△ ACP 中， AP2=AC2+CP2， 所以 t2=32+（ t﹣ 4） 2，解得： t= ， 綜上所述：當(dāng) △ ABP 為等腰三角形時(shí)， t=5 或 t=8 或 t= ． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理以及等腰三角形的知識(shí)，解答本題的關(guān)鍵是掌握勾股定理的應(yīng)用，以及分情況討論，注意不要漏解． 例 2. 【答案】 C． 【解析】 解：如圖，過點(diǎn) C 作 CM⊥ AB 交 AB 于點(diǎn) M，交 AD 于點(diǎn) P，過點(diǎn) P 作 PQ⊥ AC 于點(diǎn) Q， ∵ AD 是 ∠ BAC 的平分線． ∴ PQ=PM，這時(shí) PC+PQ 有最小值，即 CM 的長度， ∵ AC=6， BC=8， ∠ ACB=90176。點(diǎn) D在線段 AB 上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn) E 與 點(diǎn) D 關(guān)于 AC 對(duì)稱， DF⊥ DE 于點(diǎn) D，并交 EC 的延長線于點(diǎn) F．下列結(jié)論：① CE=CF；②線段 EF 的最小值為 23；③當(dāng) AD=2 時(shí)， EF 與半圓相切；④若點(diǎn) F 恰好落在 BC 上，則 AD=25；⑤當(dāng)點(diǎn) D 從點(diǎn) A 運(yùn)動(dòng)到點(diǎn) B 時(shí)，線段 EF 掃過的面積是 163 ．其中正確結(jié)論的序號(hào)是 ． （第 6 題） 7.（ 2022 柳州 ）如圖，在四邊形 ABCD 中， AD∥ BC， ∠ B=90176。得到 △DEC，若點(diǎn) F 是 DE 的中點(diǎn)，連接 AF，則 AF= ▲ ． 2. （ 2022 年 江蘇宿遷 3 分） 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn) P 的坐標(biāo)為（ 0， 4），直線 3 34yx??與 x 軸、 y 軸分別交于點(diǎn) A， B，點(diǎn) M 是直線 AB 上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則 PM 長的最小值為 ▲ ． （第 1 題） （第 2 題） 3. （ 2022 年 江蘇連云港 12 分） 在數(shù)學(xué)興趣小組活動(dòng)中，小明進(jìn)行數(shù)學(xué)探究活動(dòng)，將邊長為 2 的正方形 ABCD 與邊長為 22的正方形 AEFG 按圖 1 位置放置， AD 與 AE 在同一直線上， AB 與AG 在同一直線上． （ 1） 小明發(fā)現(xiàn) DG⊥ BE，請(qǐng)你幫他說明理由． （ 2） 如圖 2，小明將正方形 ABCD 繞點(diǎn) A 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn) B 恰好落在線段 DG 上時(shí)，請(qǐng)你幫他求出此時(shí) BE 的長． （ 3） 如圖 3，小明將正方形 ABCD 繞點(diǎn) A 繼續(xù)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，將線段 DG 與線段 BE 相交，交點(diǎn)為H，寫出 △GHE 與 △BHD 面積之和的最大值，并簡要說明理由． 4. 如圖 ① ，正方形 ABCD 的頂點(diǎn) AB， 的坐標(biāo)分別為 ? ? ? ?010 8 4， ， ， ，頂點(diǎn) CD， 在第一象限．點(diǎn)P 從點(diǎn) A 出發(fā)，沿正方形按逆時(shí)針方向勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn) Q 從點(diǎn) ? ?40E ， 出發(fā)，沿 x 軸正方向以相同速度運(yùn)動(dòng)．當(dāng)點(diǎn) P 到達(dá)點(diǎn) C 時(shí)， PQ， 兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為 t 秒． （ 1）求正方形 ABCD 的邊長． （ 2）當(dāng)點(diǎn) P 在 AB 邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)， OPQ△ 的面積 S （平方單位）與時(shí)間 t （秒）之間的函數(shù)圖象為拋物線的一部分（如圖 ② 所示），求 PQ， 兩點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度． （ 3）求（ 2）中面積 S （平方單位）與時(shí)間 t （秒）的函數(shù)關(guān)