【正文】 n n21 ???? ?（ n∈ N+），則 {an}為等差數(shù)列是 {bn}為等比數(shù)列的 ________條件。 例 試問數(shù)列 {4sin100lg 1n ??}的前多少項(xiàng)的和最大，并求這個(gè)最大值（ lg2=） 解題思路分析： 法一： )1n)(2lg(2a n ???? ∴ {an}為首項(xiàng)為 2，公差為 2lg? 的等差數(shù)列 ∴ 0 7 5 2 )(0 7 5 2 n50 7 5 7 5 2 )2lg(2 )1n(nn2S222n???????????? ∵ n∈ N+ ∴ n=14時(shí) ， (Sn)max= 法二：∵ a1=20， d= 02lg ?? ∴ {an}是遞減數(shù)列，且 Sn必為最大值 設(shè)??? ??? 0a 0a 1kk ∴ ????????????0)2lg(k20)2lg)(1k(2 ∴ ??? ?? ∴ k=14 ∴ (Sn)max=S14= 四、 同步練習(xí) （一） 選擇題 已知 a， b， a+b成等差數(shù)列， a， b， ab成等比數(shù)列，且 0logmab1，則 m取值范圍是 A、 m1 B、 1m8 C、 m8 D、 0m1或 m8 設(shè) a0， b0， a， x1， x2， b成等差數(shù)列， a， y1， y2， b成等比數(shù)列，則 x1+x2與 y1+y2的大小關(guān)系是 A、 x1+x2≤ y1+y2 B、 x1+x2≥ y1+y2 C、 x1+x2y1+y2 D、 x1+x2y1+y2 1 已知 Sn是 {an}的前 n項(xiàng)和， Sn=Pn（ P∈ R， n∈ N+），那么數(shù)列 {an} A、 是等比數(shù)列 B、當(dāng) P≠ 0時(shí)是等比數(shù)列 C、 當(dāng) P≠ 0， P≠ 1時(shí)是等比數(shù)列 D、不是等比數(shù)列 1 {an}是等比數(shù)列，且 an0， a2a4+2a3a5+a4a6=25，則 a3+a5等于 A、 5 B、 10 C、 15 D、 20 1 已知 a， b， c成等差數(shù)列，則二次函數(shù) y=ax2+2bx+c的圖象與 x軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)是 A、 0 B、 1 C、 2 D、 1或 2 1 設(shè) m∈ N+， log2m的整數(shù)部分用 F(m)表示，則 F(1)+F(2)+? +F(1024)的值是 A、 8204 B、 8192 C、 9218 D、 8021 若 x的方程 x2x+a=0和 x2x+b=0（ a≠ b）的四個(gè)根可組成首項(xiàng)為41的等差數(shù)列，則a+b的值為 A、 83 B、2411 C、2413 D、7231 在 100以內(nèi)所有能被 3整除但不能被 7整除的正整數(shù)和是 A、 1557 B、 1473 C、 1470 D、 1368 從材料工地運(yùn)送電線桿到 500m以外的公路，沿公路一側(cè)每隔 50m埋栽一根電線桿，已知每次最多只能運(yùn) 3 根，要完成運(yùn)載 20 根電線桿的任務(wù)，最佳方案是使運(yùn)輸車運(yùn)行 A、 11700m B、 14700m C、 14500m D、 14000m 已知等差數(shù)列 {an}中， |a3|=|a9|，公差 d0，則使前 n項(xiàng)和 Sn取最大值的正整數(shù) n是 A、 4或 5 B、 5或 6 C、 6或 7 D、 8或 9 （二） 填空題 1已知數(shù)列 {an}滿足 a1+2a2+3a3+? +nan=n(n+1)(n+2)，則它的前 n項(xiàng)和 Sn=______。 （ 1）設(shè) ak（ 1≤ k≤ n）為第 k 位職工所得資金額，試求 a2， a3，并用 k， n 和 b 表示 ak（不必證明）； （ 2）證明： akak+1（ k=1， 2，?， n1），并解釋此不等式關(guān)于分配原則的實(shí)際意義。 例 已知 {an}是首項(xiàng)為 2，公比為21的等比數(shù)列， Sn為它的前 n項(xiàng)和， （ 1） 用 Sn表示 Sn+1； （ 2） 是否存在自然數(shù) c和 k，使得 2cS cS k1k ????成立。 解題思路分析： ∵ {an}為等差數(shù)列 ∴ {bn}為等比數(shù)列 從求解 {bn}著手 ∵ b1b3=b22 ∴ b23=81 ∴ b2=21 ∴ ??????????41bb817bb2131 ∴ ????? ??81b2b31 或 ???????2b 81b21 ∴ n231nn 2)41(2b ?? ?? 或 5n21nn 2481b ?? ??? ∵ nan )21(b ? ∴ n21n bloga ? ∴ an=2n3 或 an=2n+5 注：本題化歸 為 {bn}求解，比較簡(jiǎn)單。 例 等差數(shù)列 {an}中，前 m項(xiàng)的和為 77（ m為奇數(shù)），其中偶數(shù)項(xiàng)的和為 33，且 a1am=18，求這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式。 ∵ 1aS2 nn ?? ∴ 4Sn=(an+1)2 ∴ 4Sn1=(an1+1)2（ n≥ 2） ∴ 4(SnSn1)=(an+1)2(an1+1)2 ∴ 4an=an2an12+2an2an1 整理得： (an1+an)(anan12)=0 ∵ an0 ∴ anan1=2 ∴ {an}為公差為 2的等差數(shù)列 在 1aS2 nn ?? 中，令 n=1， a1=1 ∴ an=2n1 （ II） )1n2 11n2 1(21)1n2)(1n2( 1b n ??????? ∴ 21a2 121)a 1a1(21)]a 1a 1()a 1a 1()a 1a 1[(21B 1n1n11nn3221n ???????????? ???? 注：遞推是學(xué)好數(shù)列的重要思想，例本題由 4Sn=(an+1)2推出 4Sn1=(an1+1)2，它其實(shí)就是函數(shù)中的變量代換法。 例 設(shè)數(shù)列 {an}為等差數(shù)列， Sn為數(shù)列 {an}的前 n 項(xiàng)和，已知 S7=7， S15=75,Tn為數(shù)列{nSn}的前 n項(xiàng)和，求 Tn。 解題思路分析： 從尋找新、舊數(shù)列的關(guān)系著手 設(shè) {an}首項(xiàng)為 a1，公差為 d ∵ a1， a5， a17成等比數(shù)列 ∴ a52=a1a17 ∴（ a1+4d） 2=a1(a1+16d) ∴ a1=2d 設(shè)等比數(shù)列公比為 q，則 3a d4aaaq 1n15 ???? 對(duì)nka項(xiàng)來說， 在等差數(shù)列中：1nn1k a2 1kd)1k(aa n ????? 在等比數(shù)列中： 1n11n1k 3aqaan ?? ?? ∴ 132k 1nn ??? ? ∴ n)331(2)132()132()132(kkk 1n1n10n21 ????????????????? ?? ??? 1n3n ??? 注：本題把 k1+k2+? +kn看成是數(shù)列 {kn}的求和問題，著重分析 {kn}的通項(xiàng)公式。 等差、等比數(shù)列的應(yīng)用 （ 1）基本量的思想：常設(shè)首項(xiàng)、公差及首項(xiàng)、公比為 基本量，借助于消元思想及解方程組思想等； （ 2）靈活運(yùn)用等差數(shù)列、等比數(shù)列的定義及性質(zhì)，簡(jiǎn)化計(jì)算； （ 3）若 {an}為等差數(shù)列，則 { na }為等比數(shù)列（ a0且 a≠ 1）； 若 {an}為正數(shù)等比數(shù)列，則 {logaan}為等差數(shù)列（ a0 且 a≠ 1）。 等比數(shù)列 （ 1） 定義：n1naa? =q（ q為常數(shù)， an≠ 0）； an2=an1an+1（ n≥ 2， n∈ N+）； （ 2） 通項(xiàng)公式： an=a1qn1， an=amqnm。 等差數(shù)列 （ 1）定義， {an}為等差數(shù)列 ? an+1an=d（常數(shù)）， n∈ N+? 2an=an1+an+1（ n≥ 2， n∈ N+）； （ 2）通項(xiàng)公式： an=an+(n1)d， an=am+(nm)d； 前 n項(xiàng)和公式：2 )aa(nd2 )1n(nnaS n11n ?????； （ 3）性質(zhì)： an=an+b，即 an是 n的一次型函數(shù)，系數(shù) a為等差數(shù)列的公差； Sn=an2+bn，即 Sn是 n的不含常數(shù)項(xiàng)的 二次函數(shù)； 若 {an}， {bn}均為等差數(shù)列，則 {an177。 研究數(shù)列，首先研究對(duì)應(yīng)法則 —— 通項(xiàng)公式： an=f(n)， n∈ N+，要能合理地由數(shù)列前 n項(xiàng)寫出通項(xiàng)公式，其次研究前 n項(xiàng)和公式 Sn： Sn=a1+a2+? an，由 Sn定義，得到數(shù)列中的重要公式：??? ?? ?? ? 2nSS 1nSa 1nn1n。 數(shù) 列 一 、復(fù)習(xí)要求 1 等差數(shù)列及等比數(shù)列的定義，通項(xiàng)公式，前 n項(xiàng)和公式及性質(zhì)； 一般數(shù)列的通項(xiàng)及前 n項(xiàng)和計(jì)算。 1 設(shè) f(x)=12 2a x ??， x∈ R （ 1） 證明：對(duì)任意實(shí)數(shù) a， f(x)在（ ∞， +∞）上是增函數(shù)； （ 2） 當(dāng) f(x)為奇函數(shù)時(shí)，求 a； （ 3） 當(dāng) f(x)為奇函數(shù)時(shí)，對(duì)于給定的正實(shí)數(shù) k，解不等式k x1log)x(f 21 ???。 1設(shè)定義在 [2， 2]上的偶函數(shù) f(x)在區(qū)間 [0， 2]上單調(diào)遞減，若 f(1m)f(m)，求實(shí)數(shù) m的取值范圍。 1求值：bcacabcbcaba xx1 1xx1 1xx1 1 ?????? ????????=__________。 1若φ (x)， g(x)都是奇函數(shù)， f(x)=mφ (x)+ng(x)+2 在（ 0， +∞）上有最大值，則f(x)在（ ∞， 0）上最小值為 __________。 1已知 f(x)=log3x+3， x∈ [1， 9]，則 y=[f(x)]2+f(x2)的最大值是 __________。 函數(shù) f(x)定義域?yàn)?[1， 3]，則 f(x2+1)的定義域是 __________。 四、鞏固練習(xí) （一） 選擇題 定義在 R上的偶函數(shù) f(x)滿足 f(x+1)=f(x)，且在 [1， 0]上單調(diào)遞增，設(shè) a=f(3)，b=f( 2 )， c=f(2)，則 a， b， c大小關(guān)系是 A、 abc B、 acb C、 bca D、 cba 方程 x)2x(log a ??? （ a0且 a≠ 1）的實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)是 A、 0 B、 1 C、 2 D、 3 |x1|)31(y ??的單調(diào)減區(qū)間是 A、（ ∞， 1） B、（ 1， +∞） C、（ ∞， 1）∪（ 1， +∞） D、（ ∞， +∞） 函數(shù) )12x4x(lo gy221 ???的值域?yàn)? A、 （ ∞， 3] B、（ ∞， 3] C、（ 3， +∞） D、（ 3， +∞） 函數(shù) y=log2|ax1|（ a≠ b）的圖象的對(duì) 稱軸是直線 x=2，則 a等于 A、 21 B、21? C、 2 D、 2 有長(zhǎng)度為 24的材料用一矩形場(chǎng)地，中間加兩隔墻，要使矩形的面積最大，則隔壁的長(zhǎng)度為 A、 3 B、 4 C、 6 D、 12 （二） 填空題 已知定義在 R 的奇函數(shù) f(x)滿足 f(x+2)=f(x)，且當(dāng) 0≤ x≤ 1時(shí)， f(x)=x，則)215(f =__________。 分析： 在化對(duì)數(shù)式為代數(shù)式過程中，全面挖掘 x、 y滿足的條件 由已知得???????????2)y2x(xy0y2x0y,0x ∴ x=4y， 4yx? ∴ 44lo gyxlo g 22 ?? 例 某工廠今年 1月， 2月， 3月生產(chǎn)某產(chǎn)品分別為 1萬件， ， ，為了估測(cè)以后每個(gè)月的產(chǎn)量，以這三個(gè)月的產(chǎn)品數(shù)量為依據(jù)，用一個(gè)函