【正文】 詳述 . (四 )不等式與其它雜題 . 現(xiàn)實生活中量與量的不等關(guān)系是普遍的、大量的，高考中探索性問題即包含對不等關(guān)系的探索，下面舉例說明之： 例 15 已 知 Sn=1+21 +31 +? n1 (n?N),設(shè) f(n)=S2n+1Sn+ m的取值范圍，使得對于一切大于 1的自然數(shù)，不等式 f(n)＞ m恒成立 . 分析：依題意 f(n)=S2n+1Sn+1= 2n1? + 3n1? +? + 12n1? (n?N)由于 f(n)無法求和化簡，故應(yīng)把 f(n)看作 n的函數(shù)，只須求出 f(n)的最小值即可 . 略解：∵ f(n)= 2n1? + 3n1? +? + 12n1? f(n+1)= 3n1? +? + 32n1? 且 f(n+1)f(n)= 22n1? + 32n1? 2n1? =( 22n1? 42n1? )+( 32n1? 42n1? )＞ 0 ∴ f(n+1)＞ f(n) (n＞ 1， n?N) ∴ f(2)是 f(n)(n＞ 1， n?N)的最小值 f(2)=209 要使 f(n)＞ m恒成立，只須 f(2)＞ m恒成立，故 m＜ 209 例 16 已知等差數(shù)列｛ an｝和等比數(shù)列｛ bn｝中， a1=b1,a2=b2,a1≠ a2,an＞ 0,n?N (1)試比較 a3,b3及 a4,b4的大小 . (2)推測 an與 bn的大小，并證明你的結(jié)論 . (結(jié)論： bn＞ an對任意 n?N， n≥ 3成立 ) 簡析：運(yùn)用歸納法進(jìn)行探測，猜出一般性的結(jié)果，用數(shù)學(xué)歸納法證 明之 . 例 17 定義在 (1， 1)上的函數(shù) f(x)滿足 (ⅰ )對任意 x、 y ? (1， 1)有f(x)+f(y)=f(xyyx??1) (ⅱ )當(dāng) x?(1,0)時，有 f(x)＞ 0，試研究 f(51 )+f(111 )+?+f(13nn 12 ??)與 f(21 )的關(guān)系 . 簡析：由 (ⅰ )、 (ⅱ )可知 f(x)是 (1， 1)上的奇函數(shù)且是減函數(shù) . f( 13nn 12 ??)=f(12)1)(n(n 1 ??) =f(211111)21(11?????????nnnn ) =f( 1n1? )+f( 2n1? ) =f( 1n1? )f( 2n1? ) ∴ f(51 )+f(111 )+? +f( 13nn 12 ??) =［ f(21 )f(31 )］ +［ f(31 )f(41 )］ +? +［ f( 1n1? )f( 2n1? )］ =f(21 )f( 2n1? )＞ f(21 ) (∵ 0＜ 2n1? ＜ 1，∴ f( 2n1? )＜ 0) 1)反客為主 當(dāng)從正面按常規(guī)方法不易得出問題的解時，可以變換角度從側(cè)面入手尋找突破口 . 例 18 當(dāng)｜ p｜≤ 2時，不等式 2x1＞ p(x21)恒成立，求 x的取值范圍 x21=0 x21＞ 0 x21＜ 0 簡析：若按常規(guī)思路，將問題轉(zhuǎn)化為 或 或 2x1＞ 0 1x 12x2＞ 2 1x 12x2＜ 2 分別解三個不等式組獲解，但太繁瑣 . 若“反客為主”將原不等式化為關(guān)于 P的不等式： (1x2)p+(2x1)＞ 0構(gòu)造函數(shù) f(p)=(1x2)p+2x1 問題轉(zhuǎn)化為 對一切｜ p｜≤ 2， f(p)＞ 0恒成立 當(dāng) 1x2=0時易得 x=1 f(2)＞ 0 當(dāng) 1x2≠ 0時，當(dāng)且僅當(dāng) 解之得 217? ＜ x＜ 231? 且 x≠ 1 f(2)＞ 0 綜上 217? ＜ x＜ 231? 2)以退為進(jìn) 有時從問題的整體去思考頗為費(fèi)解 ，但若退出局部著手，常能輕易找出問題的解決途徑 . 例 19 在銳角Δ ABC中，求證： sinA+sinB+sinC＞ cosA+cosB+cosC 簡析：觀察此題，求證式整體與局部，三個角的三角函數(shù)有輪換的特征可退出局部考察A、 B的關(guān)系是否有 sinA＞ sinB 證明：∵ A+B=π C＞ 2? ∴ 2? ＞ A＞ 2? B＞ 0 ∴ sinA＞ sin(2? B)=cosB 同理 sinB＞ cosC sinC＞ cosA 三式相加得 sinA+sinB+siC＞ cosA+cosB+cosC 五、二元一次不等式（組）與簡單線性規(guī)劃問題 （一） 二元一次不等式 (組 )與平面區(qū)域 （ 1）求約束條件及平面區(qū)域的面積 例 4yx 22 ?? 的兩條漸近線與直線 x=3 圍成一個三角形區(qū)域，表示該區(qū)域的不等式組是（ ） A. ???????????3x00yx0yx B. ???????????3x00yx0yx C. ???????????3x00yx0yx D. ???????????3x00yx0yx 【解題思路】依據(jù)平面區(qū)域的畫法求解 . [解析 ]雙曲線 4yx 22 ?? 的兩條漸近線方程為 xy ?? ，兩者與直線 3x? 圍成一個三角形區(qū)域時有???????????3x00yx0yx ，故選 A。 oABC 得證 (如圖 )， AB= xyyx 22 ? BC= yzy 22 z? CA= xzx 22 z? 及ΔABC中 ， AB+BC＞ AC 2)對于一些含有 “ A 由 y2+z2yz=y2+z22yzcos60176。 x21 tgc tgB=tg(π (A+C))=Btg21 tgCtgA?? ∴ tgA+tgC=tgB(tg2B－１ ) ∵ tgA+tgC≥ 2 tgCtgA? =2tgB 即 tg2B1≥ 2 ∴ tgB≥ 3 ∵ B≥ 3? ?? 這里，抓住了 tg2B=tgA而求最優(yōu)整數(shù)解必須首先要看它們是否在可行 (4)用圖解法解決簡單的線性規(guī)劃問題的基本步驟： ，要根據(jù)線性約束條件畫出可行域（即畫出不等式組所表示的公共區(qū)域） . z=0，畫出直線 l0. 、分析，平移直線 l0，從而找到最優(yōu)解 . . (5) 利用線性規(guī)劃研究實際問題的解題思路： 首先，應(yīng)準(zhǔn)確建立數(shù)學(xué)模型，即根據(jù)題意找出約束條件，確定線性目標(biāo)函數(shù) . 然后，用圖解法求得數(shù)學(xué)模型的解，即畫出可行域，在可行域內(nèi)求得使目標(biāo)函數(shù)取得最值的解 . 最后，還要根據(jù)實際意義將數(shù)學(xué)模型的解轉(zhuǎn)化為實際問題的解，即結(jié)合實際情況求得最優(yōu)解 . 五、典型例題 例 1 在Δ ABC中，已知 lgtgA+lgtgc=： 3? ≤ B＜ 2? . 這個問題的已知是三角形中量的一種相等關(guān)系，要求從相等的條件出發(fā)，去推證出關(guān)于另一 (些 )量的不等關(guān)系 .雖說本題考查的是對數(shù)、三角函數(shù)、不等式的一些相關(guān)基礎(chǔ)知識，并要求把分析法、綜合法加以綜合運(yùn)用，但問題的實質(zhì)卻是某種“相等關(guān)系”向“不等關(guān)系”的轉(zhuǎn)化，抓住這一實質(zhì)特征，就可以找到解決問題的方法 .當(dāng)然要熟練掌握對數(shù)、三角函數(shù)及不等式的知識，在這里根據(jù)題意激活知識也是必不可少的 . 簡解： lgtgA+lgtgC=2lgtgB=lgtgA 0??? CByAx 表示直線 0??? cByAx 的 下方區(qū)域 . 當(dāng) B0 時 , 0??? CByAx 表示直線 0??? CByAx 下方區(qū)域 。 ( 0 1 ) ( ) ( )( 0 , 0 ) ( ) l g l gf x g x f x g xfxa a a f x g x a a a f x g xa b a b f x a b? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? （ 5）對數(shù)不等式：轉(zhuǎn)化為代數(shù)不等式 ( ) 0 ( ) 0l o g ( ) l o g ( ) ( 1 ) ( ) 0 。, （ 3）琴生不等式（特例）與凸函數(shù)、凹函數(shù) 若定義在某區(qū)間上的函數(shù) f(x),對于定義域中任意兩點 1 2 1 2, ( ),x x x x? 有 1 2 1 2 1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) .2 2 2 2x x f x f x x x f x f xff? ? ? ???或 則稱 f(x)為凸（或凹）函數(shù) . 比較法、綜合法、分析法、換元法、反證法、放縮法、構(gòu)造法 . （ 1）整式不等式的解法（根軸法） . 步驟：正化，求根，標(biāo)軸，穿線（偶重根打結(jié)），定解 . 特例① 一元一次不等式 axb 解的討論； ②一 元二次不等式 ax2+bx+c0(a≠ 0)解的討論 . （ 2）分式不等式的解法：先移項通分標(biāo)準(zhǔn)化，則 ( ) ( ) 0( ) ( )0 ( ) ( ) 0 。0 babababababa ???????????? （ 2） 不等式的分類：絕對不等式；條件不等式；矛盾不等式 . （ 3） 同向不等式與異向不等式 . （ 4） 同解不等式與不等式的同解變形 . （ 1） abba ??? （對稱性） （ 2） cacbba ???? , （傳遞性） （ 3） cbcaba ????? （加法單調(diào)性） （ 4） dbcadcba ?????? , （同向不等式相加） （ 5） dbcadcba ?????? , （異向不等式相減） （ 6） bcaccba ???? 0,. （ 7） bcaccba ???? 0, （乘法單調(diào)性） （ 8） bdacdcba ?????? 0,0 （同向不等式相乘） (9 ) 0 , 0 aba b c d cd? ? ? ? ? ?（異向不等式相除） 11(1 0 ) , 0a b a b ab? ? ? ?（倒數(shù)關(guān)系） （ 11） )1,(0 ?????? nZnbaba nn 且（平方法則） （ 12） )1,(0 ?????? nZnbaba nn 且（開方法則） （ 1） 0,0||, 2 ??? aaRa 則若 （ 2） )2||2(2, 2222 ababbaabbaRba ?????? ? 或則、若 （當(dāng)僅當(dāng) a=b時取等號） （ 3） 如果 a,b 都是正數(shù)，那么 .2abab ??（ 當(dāng)僅當(dāng) a=b時取等號） 極值定理 ： 若 , , , ,x y R x y S x y P?? ? ? ?則： ○ 1 如果 P 是定值 , 那么當(dāng) x=y 時， S 的值最小； ○ 2 如果 S 是定值 , 那么當(dāng) x=y 時， P 的值最大 . 利用極值定理求最值的必要條件： 一正、二定、三相等 . 3, 3abca b c R a b c? ????(4) 若 、 、 則（當(dāng)僅當(dāng) a=b=c時取等號） 0, 2baab ab? ? ?(5) 若則 （當(dāng)僅當(dāng) a=b時取等號） 2 2 2 2( 6 ) 0 | | 。 四、知識回顧 1. 不等式的基本概念 （ 1） 不等（等）號 的定義： .0。專題九 不等式 一、 考試內(nèi)容： 不等式．不等式的基本性質(zhì)．不等式的證明．不等式的解法．含絕對值的不等式． 二、 考試要求： （ 1）理解不等式的性質(zhì)及其證明． （ 2）掌握兩個（不擴(kuò)展到三個）正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)的定理，并會簡單的應(yīng)用． （ 3）掌握分析法、綜合法、比較法證明簡單的不等式． （ 4）掌握簡單不等式的解法． （ 5）理解不等式│ a│ │ b│≤│ a+b│≤│ a│ +│ b│ 三、命題熱點 高考對該部分主要從以下幾個方面考查 ： 一元二次不等式、一元二次不等式組和簡單的線性規(guī)劃問題、基本不等式的應(yīng)用等。高考在解答題中一般有一道數(shù)列題，各地高考的試題不盡相同，但總的趨勢是難度在下降；試卷中沒有不等式解答題，通常會在小題中設(shè)置 1到 2道，而對不等式的深層考查則在數(shù)列解答題、解析幾何解答題、函數(shù)導(dǎo)數(shù)解答題中考查。0。 | |a x a x a x a x a x a x a a x a? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?時， 或 （ 7） ||||||||||||, bababaRba ?????? 則、若 （ 1）平均不等式： 如果 a,b 都是正數(shù)，那么 222 .1122a b a babab ??? ? ??（當(dāng)僅當(dāng) a=b時取等號）即： 平方平均≥算術(shù)平均≥幾何平均≥調(diào)和平均（ a、 b 為正數(shù)）： 特別 地， 222()22a b a bab ????（當(dāng) a = b 時， 222()22a b a b ab????） ),(33 2222 時取等cbaRcbacbacba ????????? ?????? ? 冪平均不等式： 22122221 )...(1... nn aaanaaa ??????? 注： 例如： 2 2 2 2 2(