【正文】 00 . 50 0 . 5 ?)(ej ?H? ?01 . 0 2 . 0 f / k H z1 ： 脈 沖 響 應(yīng)不 變 法2 ： 雙 線 性 變換 法12 下面我們總結(jié)利用模擬濾波器設(shè)計 IIR數(shù)字低通濾波器的步驟 。 圖 518給出了脈沖響應(yīng)不變法得到的三階巴特沃思數(shù)字低通濾波器的頻響幅度特性 ， 同時給出例 55雙線性變換法設(shè)計的結(jié)果 。 將 ωc=ΩcT=2πfcT=，得 2111 )(???? ??????? zzzzzH 這個形式正好適合用一個一階節(jié)及一個二階節(jié)并聯(lián)起來實現(xiàn) 。 例如 fs=4kHz， fc=1 kHz與 fs=40 kHz， fc=10kHz的數(shù)字濾波器將具有同一個系統(tǒng)函數(shù) 。 為了進行脈沖響應(yīng)不變法變換，將上式進行因式分解并表示成如下的部分分式形式： 2/)31()3/(2/)31()3/()( 6/6/jsejsessH cjccjccca ???????????????? ? ??將此部分分式系數(shù)代入 (540)式就得到 12/)31(6/12/)31(6/1 1)3/(1)3/(1)( ????????? ???????? zeezeezezH jjcjjccccc ????????式中 ， ωc=ΩcT=2πfcT= 。 解 查表可得歸一化三階模擬巴特沃思低通濾波器的傳遞函數(shù) 322211)(ssssH Na ????然后 , 以 s/Ωc代替其歸一化頻率 ， 則可得三階模擬巴特沃思低通濾波器的傳遞函數(shù)為 32 )/()/(2)/(211)(ccca sssssH ???????式中 ， Ωc=2πfc。 我們討論采用雙線性變換法和脈沖響應(yīng)不變法來設(shè)計低通濾波器的過程 。 圖 53 各種理想模擬濾波器的幅頻特性 o ?低通o ?帶通o ?帶阻?o高通)j(a ΩH )j(a ΩH )j(a ΩH )j(a ΩH The Transform from ContinuousTime LowPass Filter to DiscreteTime Filter 首先 ， 把數(shù)字濾波器的性能要求轉(zhuǎn)換為與之相應(yīng)的作為“ 樣本 ” 的模擬濾波器的性能要求 ， 根據(jù)此性能要求設(shè)計模擬濾波器 ， 這可以用查表的辦法 ， 也可以用解析的方法 。 這些典型的濾波器各有特點：巴特沃思濾波器具有單調(diào)下降的幅頻特性；切比雪夫濾波器的幅頻特性在通帶或者在阻帶有波動 ， 可以提高選擇性；貝塞爾濾波器通帶內(nèi)有較好的線性相位特性；橢圓濾波器的選擇性相對前三種是最好的 , 但在通帶和阻帶內(nèi)均為等波紋幅頻特性 。 Design of ContinuousTime Filters 常用的模擬原型濾波器有巴特沃思 （ Butterworth） 濾波器 、切比雪夫 （ Chebyshev） 濾波器 、 橢圓 （ Ellipse） 濾波器 、 貝塞爾（ Bessel） 濾波器等 。 下面首先分別討論由模擬濾波器設(shè)計 IIR數(shù)字濾波器的兩種常用的變換方法：脈沖響應(yīng)不變法和雙線性變換法 ， 然后介紹一下常用模擬低通濾波器的特性 。 因此 ， 它歸根結(jié)底是一個由 S平面映射到 Z平面的變換 ， 這個變換通常是復變函數(shù)的映射變換 ， 這個映射變換必須滿足以下兩條基本要求： （ 1） H(z)的頻率響應(yīng)要能模仿 Ha(z)的頻率響應(yīng) ， 也即 S平面虛軸 jΩ必須映射到 Z平面的單位圓 ejω上 。 這種方法很方便 ， 因為模擬濾波器已經(jīng)具有很多簡單而又現(xiàn)成的設(shè)計公式 ， 并且設(shè)計參數(shù)已經(jīng)表格化了 ， 設(shè)計起來既方便又準確 。 IIR濾波器的系統(tǒng)函數(shù)的設(shè)計就是確定各系數(shù) ak, bk或零極點ck， dk和 A， 以使濾波器滿足給定的性能要求 。 Design of DiscreteTime IIR Filters from ContinuousTime Filters 式（ 55）的系統(tǒng)函數(shù)又可以用極、零點表示如下： ?????????????????NkkMkkNkkkMkkkzdzcAzazbzH111110)1()1(1)( 一般滿足 M≤N， 這類系統(tǒng)稱為 N階系統(tǒng) ， 當 MN時 ， H(z)可看成是一個 N階 IIR子系統(tǒng)與一個 (MN)階的 FIR子系統(tǒng)的級聯(lián) 。 FIR濾波器的單位脈沖響應(yīng) h(n)是有限長的 ， 即 0≤n≤N1， 該系統(tǒng)一般采用非遞歸型的實現(xiàn)結(jié)構(gòu) ， 但如果系統(tǒng)函數(shù)中出現(xiàn)零 、 極點相消時 , 也可以有遞歸型的結(jié)構(gòu) (如頻率采樣結(jié)構(gòu) )。 ak≠0 說明必須將延時的輸出序列反饋回來 ， 也即遞歸系統(tǒng)必須有反饋環(huán)路 。 IIR濾波器一般采用遞歸型的實現(xiàn)結(jié)構(gòu)。 (注： lg是 log10的規(guī)范符號表示 。 雖然給出了通帶的容限 δ1及阻帶的容限 δ2， 但是 ， 在具體技術(shù)指標中往往使用通帶允許的最大衰減 （ 波紋 ） Ap和阻帶應(yīng)達到的最小衰減 As描述 ， Ap及 As的定義分別為： 2010lg20|)(|lg20|)(||)(|lg20)1l g (20|)(|lg20|)(||)(|lg20?????????????????ssppjjjpjjjpeHeHeHAeHeHeHA （ 53a） （ 53b） 式中 ， 假定 |H(ej0)|=1(已被歸一化 )。 δ1逼近于 1，即 11 1|)(|1 ?? ? ???? jeH在阻帶內(nèi)，幅度響應(yīng)以誤差小于 δ2而逼近于零，即 2|)(| ?? ?jeHωs≤|ω|≤π |ω|≤ωp 式中 ， ωp, ωs分別為通帶截止頻率和阻帶截止頻率 ， 它們都是數(shù)字域頻率 。 圖中 δ1為通帶的容限 ， δ2為阻帶的容限 。 一般來說 ， 濾波器的性能要求往往以頻率響應(yīng)的幅度特性的允許誤差來表征 。 帶通濾波器只保留介于低頻和高頻之間的頻率分量 。 由圖 51可知 ， 理想低通濾波器選擇出輸入信號中的低頻分量 ， 而把輸入信號頻率在 ωcω≤π范圍內(nèi)所有分量全部濾掉 。 （ 系統(tǒng)的頻率響應(yīng) H(ejω)是以 2π為周期的 。 和模擬濾波器一樣 ， 線性數(shù)字濾波器按照頻率響應(yīng)的通帶特性可劃分為低通 、 高通 、 帶通和帶阻幾種形式 。 如果 |H(ejω)|的值在某些頻率上是比較小的 ， 則輸入信號中的這些頻率分量在輸出信號中將被抑制掉 。 由第 1章 ， 一個輸入序列 x(n)， 通過一個單位脈沖響應(yīng)為 h(n)的線性時不變系統(tǒng)后 ， 其輸出響應(yīng) y(n)為 ?????????nmnxmhnhnxny )()()()()(將上式兩邊經(jīng)過傅里葉變換，可得 )()()( ??? jjj eHeXeY ?式中 ， Y(ejω)、 X(ejω)分別為輸出序列和輸入序列的頻譜函數(shù) ， H(ejω)是系統(tǒng)的頻率響應(yīng)函數(shù) 。 它將輸入的數(shù)字序列通過特定運算轉(zhuǎn)變?yōu)檩敵龅臄?shù)字序列 。 在對信號的過濾 、 檢測與參數(shù)的估計等處理中 , 數(shù)字濾波器是使用最廣泛的線性系統(tǒng) 。 這里包括選擇運算結(jié)構(gòu) （ 如第 4章中的各種基本結(jié)構(gòu) ） ， 選擇合適的字長 （ 包括系數(shù)量化及輸入變量 、 中間變量和輸出變量的量化 ） 以及有效數(shù)字的處理方法 （ 舍入 、 截尾 ） 等 。 根據(jù)不同要求可以用 IIR系統(tǒng)函數(shù) ， 也可以用FIR系統(tǒng)函數(shù)去逼近 。7 Filter Design Techniques Introduction Design of DiscreteTime IIR Filters from ContinuousTime Filters Design of FIR Filters by Windowing Comments on IIR and FIR DiscreteTime Filters Summary Introduction Filters are a particularly important class of linear timeinvariant systems. The design of filters involves the following stages: (1) the specification of the desired properties of the system, (2) the approximation of the specifications using a causal discretetime system, and (3) the realization of the system. 濾波器的設(shè)計步驟 ① 按照實際任務(wù)要求 ， 確定濾波器的性能指標 。 ② 用一個因果穩(wěn)定的離散線性時不變系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)去逼近這一性能要求 。 ③ 利用有限精度算法來實現(xiàn)這個系統(tǒng)函數(shù) 。 As shown in Section , if a linear timeinvariant discretetime system is used as in Figure , and if the input is bandlimited and the sampling frequency is high enough to avoid aliasing, then the overall system behaves as a linear timeinvariant continuoustime system with frequency response In such cases,it is straightforward to convert from specifications on the effective continuoustime filter to specifications on the discretetime filter through the relation . That is is specified over one period by the equation ? ? ? ? ,/0 , , /jTe ffH e THjT????? ???? ?????T???? ? ,j e f fH e H j T? ? ??????????? ?jHe???axtTT??xn ??yn ??ayt? ?jHe?/CD /DCThis type of conversion is illustrated in Example Basic system for discretetime filtering of continuoustime signals. 1 選頻濾波器的分類 數(shù)字濾波器是數(shù)字信號處理的重要基礎(chǔ) 。 數(shù)字濾波器是對數(shù)字信號實現(xiàn)濾波的線性時不變系統(tǒng) 。 因此 ， 數(shù)字濾波器本質(zhì)上是一臺完成特定運算的數(shù)字計算機 。 可以看出 ， 輸入序列的頻譜 X(ejω) 經(jīng)過濾波后 ， 變?yōu)閄(ejω)H(ejω)。 因此 ， 只要按照輸入信號頻譜的特點和處理信號的目的 ， 適當選擇 H(ejω)， 使得濾波后的 X(ejω)H(ejω)符合人們的要求 ， 這就是數(shù)字濾波器的濾波原理 。 它們的理想模式如圖 51所示 。 ) 圖 51 數(shù)字濾波器的理想幅頻特性 )(ej ?H?o－ 2? － ? 2 ??)(ej ?H?o－ 2? － ? 2 ??)(ej ?H?o－ 2? － ? 2 ??)(ej ?H?o－ 2? － ? 2 ??( a )( b )( c )( d )低通高通帶通帶阻 滿足奈奎斯特采樣定理時 ， 信號的頻率特性只能限帶于|ω|π的范圍 。 相反地 ， 理想高通濾波器使輸入信號中頻率在 ωc≤ω≤π范圍內(nèi)的所有分量不失真地通過 ， 而濾掉低于 ωc 的低頻分量 。 2 濾波器的技術(shù)指標 理想濾波器 (如理想低通濾波器 )是非因果的 ， 其單位脈沖響應(yīng)從 ∞延伸到 +∞， 因