【正文】 常是按年來進行計算，但在很多時候會遇到復(fù)利計息期短于 1年的情況，如果 1 年中計息 m 次，則第 n 年年末終值的計算公 式為： 式中 n —— 年數(shù)； m —— 1 年中復(fù)利計息的次數(shù)； r —— 年利率； Fn —— n 年后的終值； P —— 現(xiàn)金流量的現(xiàn)值。 例 9 中只介紹了 三種組合疊加方法 ，實際上解決混合現(xiàn)金流量問題有 很 多變通的組合疊加方法，最后計算的結(jié)果都是相同的，讀者可以自己進行嘗試。 圖 13 現(xiàn)金流量計算方法示意圖 上面所介紹的 方法一 是最普遍的逐個現(xiàn)金流量貼現(xiàn)再求和的方法，可以解決任何混合現(xiàn)金 流量的現(xiàn)值問題，但這種方法在計算中貼現(xiàn)次數(shù)最多。 圖 11 現(xiàn)金流量計算方法示意圖 第二種組合疊加，如圖 12 所示。下面將介紹三種組合疊加方法。 下面通過一個例子來介紹這種混合現(xiàn)金流量問題的解題方法。 由于永續(xù)年金沒有終止的時間，因此其終值趨于無窮大，所以我們只需計算其現(xiàn)值。 圖 8 遞延年金現(xiàn)值示意圖 即： 4．永續(xù)年金 永續(xù)年金是指無期限等額收付的特種年金，即期限趨于無窮的普通年金。 (2)遞延年金現(xiàn)值的計算 遞延年金現(xiàn)值的計算方法有兩種： 方法一： 把遞延年金視為其普通年金，求出遞延期末的現(xiàn)值，然后再將此現(xiàn)值再次貼現(xiàn)到第 一期期初，如圖 7 所示。一般用 m 表示遞延期數(shù)， n 表示實際發(fā)生年金 的期數(shù)。在計算 時可以利用“普通年金現(xiàn)值系數(shù)表”查得 (n－ 1)期的值，再 加 1 得到 1 元先 付年金的現(xiàn)值系數(shù)。 其計算公式如下： 其中， 是先付年金現(xiàn)值系數(shù)，或稱為 1 元的先付年金現(xiàn)值。根據(jù)先付年金已知年金求現(xiàn)值的計算公式，得： (2)先付年金現(xiàn)值計算 先付年金比普通年金提前一期發(fā)生，即在各期期初發(fā)生，因此計算其現(xiàn)值只要比普通年金現(xiàn) 值少計算一個期間即可。在計算 時可以利用“普通年金終值系數(shù)表”查得 (n + 1)期的值，再減 去 1 得到 1 元先 付年金的終值系數(shù)。其計算公式如下： 其中， 是先付年金終值系數(shù)，或稱 為 1 元的先付年金終值。 圖 5 先付年金示意圖 由于先付年金現(xiàn)金流量在期初發(fā)生，實際上只是比普通年金提前了一期，因此計算其終值和 現(xiàn)值較為簡單。 【 例 6】 某企業(yè)預(yù)向銀行借款 50 萬元購置一臺生產(chǎn)設(shè) 備，該設(shè)備預(yù)計可使用 3年，假設(shè)復(fù)利利率為 8％，則該設(shè)備每年至少給企業(yè)帶來多少收益才是可行的 ? 根據(jù)已知現(xiàn)值求年金的計算公式，得： 因此，該設(shè)備每年至少要給企業(yè)帶來 萬元的收益，該項投資才是可行的。 【 例 5】假設(shè) 今后 3 年每年年末需要支付 1 000 元，按復(fù)利利率 8％計算，則相當(dāng) 于現(xiàn)在一次性支付多少錢 ? 根據(jù)已知年金求現(xiàn)值的計算公式，得： (4)投資回收系數(shù)的計算 (年金求現(xiàn)值的逆運算 ) 投資回收系數(shù)是指為使累計年金達到現(xiàn)在的既定金額，每年年末應(yīng)收付的年金數(shù)額，即已知 現(xiàn)值反算年金。 (3)普通年金現(xiàn)值的計算 普通年金現(xiàn)值是指將發(fā)生在未來每期期末等額現(xiàn)金流量折算到現(xiàn)在時點的價值，如 圖 4 所 示。 有一種折舊方法，稱為償債基金法，該方法認為在若干年后購置設(shè)備，并不需要每年提存設(shè) 備原值與使用年限的算術(shù)平均數(shù)作為折舊額，由于利息不斷增加，每年只需提存較少的數(shù)額即按償債基金提取折舊，即可在使用期滿時得到設(shè)備原值。償債基金系數(shù)可以通過“年金終值系數(shù)表”中數(shù)值的倒數(shù)得到，也可以直接用計算器計算得出。 【 例 3】假設(shè)每年年末等 額存入銀行 10 000 元，存款按復(fù)利利率 8％計息， 6 年后得到本息之和 多少 ? 根據(jù)已知年金求終值的計算公式，得： (2)償債基金的計算 (年金求終值的逆運算 ) 償債基金是指為使年金終值達到給定金額，每年年末應(yīng)支付或收到的等額數(shù)值，即已知終值 反算年金。 圖 2 普通年金示意圖 (1)普通年金終值的計算 普通年金終值是指一定時期內(nèi)每期期末等額收付現(xiàn)金流量的復(fù)利終值之和，如圖 3 所示。 1．普通年金 普通年 金是指在每期期末發(fā)生的等額現(xiàn)金流量，又稱為后付年金。如果一 種年金是永續(xù)發(fā)生的，則又稱為永續(xù)年金。只有這四個特點同時具備，才能稱其 為年金。年金在 Et 常生活中十分常見，例如，分期償 還貸款、分期付款賒購、發(fā)放養(yǎng)老金等，都是年金現(xiàn)金流量的形式。 由復(fù)利終值的計算公式 可得： 式中， (1+ i)n 是把終值折算為現(xiàn)值的系數(shù)，稱為復(fù)利現(xiàn)值系數(shù)，用符號 (P/F， i，n)或者 PVIFi,n 表示，該系數(shù)可通過查 “ 復(fù)利現(xiàn)值系數(shù)表 ”( 見附錄 )或通過計算器計算取得。在實際應(yīng)用中，盡管存在著準確性的問題，但是由于使用該法則能夠迅速得出資金倍增問題的估計值，故 其仍能為近似計算提供很大程度上的便利。例如，復(fù)利利率為 6％，則資金價值增長一倍所需時間 為 72／ 6％ ＝ 12(年 )。 3 復(fù)利的終值是指現(xiàn)在的一筆資金按復(fù)利計算的未來價值。對于復(fù)利終值 系數(shù)，可通過查“復(fù)利終值系數(shù)表” (見附錄 )或通過計算器計算得到。 下面對復(fù)利模式下的終值和現(xiàn)值計算進行介紹。 復(fù)利則是不僅借 (貸 )的本金需要支付 (收取 )利息，而且本金所產(chǎn)生的利息也要在后續(xù)各期 計息，即通常所說的“利滾利”。 終值和現(xiàn)值的計量有兩種模式：單利模式和復(fù)利模式。其中，終值是指現(xiàn)在投入的資金在未來 某個時點的價值，而現(xiàn)值則是未來某個時點的價值折算到現(xiàn)在時點上而相當(dāng)于現(xiàn)在投 入 的資金量。比較而言，后一種形式便于進行比較， 是實踐中常用的表示方 法。但是，資金總會