[理學(xué)]高數(shù)函數(shù)的極限-文庫吧資料
2024-12-14 01:22本頁面
【正文】 00 xx ?? ? 則當(dāng) ???? 00 xx 時(shí) , 保證 . 必有 o x0xx機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2. 局部保號性定理 定理 1 . 若 且 A 0 , .0)( ?xf)0)(( ?xf證 : 已知 即 ,0??? 當(dāng) 時(shí) , 有 當(dāng) A 0 時(shí) , 取正數(shù) 則在對應(yīng)的鄰域 上 ( 0) )( A???則存在 ( A 0 ) )0(?機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 :0?A:0?A若取 ,2A?? 則在對應(yīng)的鄰域 上 若 則存在 使當(dāng) 時(shí) , 有 推論 : 23)(2AxfA ??2)(23 AxfA ????分析 : 機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 定理 2 . 若在 的某去心鄰域內(nèi) 0)( ?xf)0)(( ?xf, 且 則 .0?A)0( ?A證 : 用反證法 . 則由定理 1, 的某去心鄰域 , 使在該鄰域內(nèi) 與已知 所以假設(shè)不真 , .0?A(同樣可證 0)( ?xf 的情形 ) 思考 : 若定理 2 中的條件改為 ,0)( ?xf 是否必有 ?0?A不能 ! 存在 如 假設(shè) A 0 , 條件矛盾 , 故 機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 3. 左極限與右極限 左極限 : ?? )(0xfAxfxx???)(lim0,0??? ,0???當(dāng) ),( 00 xxx ???時(shí) , 有 右極限 : ?? )( 0xfAxfxx???)(lim0,0??? ,0???當(dāng) ),( 00 ??? xxx時(shí) , 有 定理 3 . Axfxx??)(lim0Axfxfxxxx?? ????)(lim)(lim00機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例 5. 設(shè)函數(shù) ???????????0,10,00,1)(xxxxxxf討論 0?x 時(shí) )(xf 的極限是否存在 . xyo1?1?? xy11?? xy解 : 利用定理 3 . 因?yàn)? )(lim0xfx ??)1(lim 0 ?? ?? xx1??)(lim0xfx ??)1(lim0?? ??xx1?顯然 ,)0()0( ?? ? ff所以 )(lim0xfx ?不存在 . 機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 三、 極限的四則運(yùn)算法則 ,)(lim,)(lim BxgAxf ??則有 定理 1 . 若 機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 推論 : 若 ,)(lim,)(lim BxgAxf ??且 ),()( xgxf ?則 .BA?)()()( xgxfx ???利用保號性定理證明 . 說明 : 定理 1 可推廣到有限個(gè)函數(shù)相加、減的情形 . 提示 : 令 機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 定理 2 . 若 ,)(lim,)(lim BxgAxf ??則有 說明 : 定理 2 可推廣到有限個(gè)函數(shù)相乘的情形 . 推論 1 . )(lim)](li m [ xfCxfC ?( C 為常數(shù) ) 推論 2 . nn xfxf ])(lim[)](l i m [ ?( n 為正整數(shù) ) 例 1.
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