【正文】 ????=???????212222111211,X 21??????????????=nxxx???????????????=0000?則上述方程組（ ）可寫成向量方程 若 滿足方程 AX=0 ，或者說 x1是方程 的解 , 0=AX??????????????=121111nxxxx?則 x1稱為方程組 ()的解向量 . （ ） ２．齊次線性方程組 AX=0 解的性質(zhì) （ 1）若 為 AX=0 的解，則 21,xx21 xx + 也是 AX=0 的解 . ?證明 : ? ? 02121 =+=+? xxxx AAA00 21 == xx A,A? （ 2）若 為 AX=0的解， k為實(shí)數(shù)，則 也是 AX=0的解． 1x1xk?證明 : ? ? ? ? .0011 === kAkkA xx?定義 . 我們稱齊次線性方程組的一組解 x 1, x 2, … , x s為該方程組的一個(gè) 基礎(chǔ)解系 ，若滿足 : （ 1） x 1, x 2, … , x s 線性無關(guān)； （ 2）該齊次線性方程組的任意一個(gè)解都可以由 x 1, x 2, … , x s線性表示． ?由定義知，齊次線性方程組的 基礎(chǔ)解系 實(shí)際上就是該方程組 解向量組 的一個(gè) 極大線性無關(guān)組 ． ?如何求 AX=0的基礎(chǔ)解系呢？ ?定理 . 3．線性方程組 Am nX=0 基礎(chǔ)解系的求法 . 設(shè)齊次線性方程組 ()的系數(shù)矩陣的秩R(A)=rn,則該方程組必存在基礎(chǔ)解系，并且基礎(chǔ)解系中所含的解向量的個(gè)數(shù)即為自由未知量的個(gè)數(shù) nr. ?當(dāng) R(A) = n時(shí)，方程組只有零解； 特別地，當(dāng) m=n時(shí)，若 |A|≠0，方程組只有零解； 當(dāng) R(A) n時(shí)，方程組有無窮多個(gè)非零解。 12, , , ra a a?定理 . A的列秩 = A的秩 = A的行秩 . ?求向量組的秩以及最大無關(guān)組的方法： ?將向量組中的向量作為 列向量 構(gòu)成一個(gè)矩陣，然后進(jìn)行初等 行 變換，變換為 行階梯形矩陣 ，求出其 秩 ,找出 極大線性無關(guān)組 ；進(jìn)一步化為 行最簡(jiǎn)形 ，把其他向量表示成極大無關(guān)組的線性組合。 作業(yè)： P89905,7,8. ?例 ：已知 試求向量組 a1, a2, a3 的極大無關(guān)組 ,并將其他向量用極大線性無關(guān)組表示． ?解： 可見 a1, a2 是向量組 a1, a2, a3 的一個(gè)極大線性無關(guān)組． 且 a3 = 2a1+ a2 ． 1 2 31 0 21 , 2 , 4 ,1 5 7a a a? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?= = =? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?1 0 2 1 0 21 2 4 ~ 0 2 21 5 7 0 0 0r? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?(2) 向量組 T 中任意 r+1個(gè)向量 (如果存在的話 )都線性相關(guān)， 12, , , ,ra a a?極大線性無關(guān)組： 若向量 組 T 中存在由 r 個(gè) 向量組成的向量組 T0: 滿足 (1) 向量組 T0: 線性無關(guān)； 12, , , ra a a則稱向量組 T0: 12, , , ra a a是向量組 T 的一個(gè)極大 線性無關(guān)組。 ?定理 . 矩陣的秩等于它的行秩，也等于它的列秩。 ?矩陣的列秩是就是 非零行 的 非零首元 的個(gè)數(shù)，每行只有一個(gè)非零首元，故非零行非零首元的個(gè)數(shù)就是 非零行的行數(shù) ，從而矩陣的列秩等于矩陣的秩。 ?非零行的 非零首元 所在的列為 1,2,4列。 ?例 （ 1）求向量組的秩； （ 2）求向量組的一個(gè)極大線性無關(guān)組； （ 3）把其余向量表示成極大線性無關(guān)組的線性 組合 . ，，TTTTT]9,4,4,2[]7,2,1,1[]9,2,2,1[]6,6,1,1[]3,4,1,2[54321=====aaaaa? 由于矩陣的 行 初等變換不改變矩陣 列向量組 之間的線性關(guān)系 ， 故對(duì)矩陣進(jìn)行 行初等變換 變?yōu)?行最簡(jiǎn)形 ，對(duì)其討論極大無關(guān)組。既然向量與矩陣有如此密切的聯(lián)系，那么向量組的秩與矩陣的秩也一定有非同尋常的關(guān)系。一般地，有 ?定理 . 向量組的極大線性無關(guān)組所含的向量個(gè)數(shù)唯一，即一個(gè)向量組若有多個(gè)不同的極大線性無關(guān)組，則它們包含的向量個(gè)數(shù)相同． ?定義 極大線性無關(guān)組 所含的 向量個(gè)數(shù)稱為該向量組的 秩 ． 2. 向量組的秩 作業(yè)： P89905,7. ? 由例 看到，用定義來求一個(gè)向量組的秩是一件很麻煩的事情，相比之下，我們用初等變換的方式求出一個(gè)矩陣的秩的方法則簡(jiǎn)單得多。 ? ? ? ?121 , 3 , 5 , 1 ,1 , 0 ,aa==?例 . 求向量組 ? ? ? ?341 ,1 , 5 , 1 , 0 ,1aa= = 極大線性無關(guān)組。 ?向量組的極大線性無關(guān)組的定義中的第二條可以替換為： (2/) 向量組 T 中任意 一 個(gè)向量都可以被 線性表出。添加分量相當(dāng)于 對(duì)矩陣 添加 幾個(gè)行向量，是不減少矩陣的秩，故 R(B) ≥R(A)=m. ? 向量組線性相關(guān)性的判定（重點(diǎn)、難點(diǎn)） 向量組 A： a1, a2, …, am 線性相關(guān) 向量組 A 中至少有一個(gè)向量能由其余 m ?1 個(gè)向量線性 表示．（定義） 存在 不全為零 的實(shí)數(shù) k1, k2, …, km ，使得 k1a1 + k2a2 + … + kmam = 0（零向量） . m 元齊次線性方程組 Ax = 0 有非零解 ． (方程組 ) 矩陣 A = (a1, a2, …, am ) 的秩小于向量的個(gè)數(shù) m.（秩） 167。 1 2 3,a a a? ?1,2,11 =a ? ?6,2,42 =a ? ?6,1,53 =a ? ?4,0,34 =a是否線性相關(guān)？ ?例 ?解： ??????????=466101223541A,R(A) ≤34,故向量組線性相關(guān) . ?推論 3. 設(shè) m 個(gè) n 維向量組 a1,a2,… ,am 線性無關(guān) ，則在 每個(gè)向量 ai上添加 s 個(gè)分量后，所得的 m個(gè) n+s 維向量組 ?1,?2,… ,?m仍 線性無關(guān) 。 R(A)=m 12, , , ma a a線性無關(guān) 。 ?由定理 ，還可以通過判斷由向量組組成的矩陣的 秩 與向量組中 向量的個(gè)數(shù) 之間的大小來得知向量組是否線性相關(guān)。 1 2 3,a a a（ 3） R(A) m. 12( , , , ) ,mA a a a=?定理 . 設(shè) 12, , , ma a a是 n 維列向量組，矩陣 則下列命題等價(jià) : （ 2）線性方程組 AX = 0 有非零解 。由 | E | ≠ 0，知 此向量組線性無關(guān)。.設(shè) A=(a1,a2,…, an)是 n維列向量組 ，則 a1,a2,…, an線性無關(guān)的充要條件是 |A| ≠ 0． ?例 . 證明： n 維單位坐標(biāo)向量 e1 , e2 , … , en 線性無關(guān)。 ?若向量的個(gè)數(shù)與向量的維數(shù)相同，相應(yīng)的系數(shù)矩陣為方陣，判定線性方程組 是否只有零解 可用克萊姆法則。 線性方程組 AX = 0 有非零解 12, , , ma a a線性相關(guān) 。 （ 1） 12, , , ma a a線性相關(guān) 。 存在一組不全為零的數(shù) x1， x2,… ， xm, 使 x1a1+x2a2+…+ xmam=0 的系數(shù)矩陣為 A的秩： mmnrAR ??= },m in {)(???????=+++=+++=+++0....... ... .. .. .0...0...221122221211212111mnmnnmmmmxaxaxaxaxaxaxaxaxamnijaA ?= )(齊次線性方程組 ?方程的秩小于未知數(shù)的個(gè)數(shù) m，則方程組有非零解。 齊次線性方程組 AX = 0 只有零解 。 ? 推論 : 設(shè)向量組 12, , , ma a a 線性無關(guān)，而 12, , , ,ma a a ?線性相關(guān)，則向量 ?必能由向量組 12, , , ma a a線性表示， 向量組 321 , aaa 432 , aaa1a 32 , aa4a 321 , aaa?設(shè)向量組 線性相關(guān) ,向量組 線性無關(guān) , 能由 線性表出； 不能由 線性表出 . 證明： (1) (2) ? ?1 1 , 3 , 4 , 2a = ? ?2 2 , 1 , 3 , 4a =? ?3 0 ,1 , 0 ,1a =?例 . 請(qǐng)問向量組 , ， 是否線性相關(guān)性？ ?解 : 設(shè) ,于是我們得到 關(guān)于 的方程組 : 321 , aaa解方程組得： 線性無關(guān)． ?注 :未知數(shù)的個(gè)數(shù)由向量的個(gè)數(shù)決定 ,方程的個(gè)數(shù)由向量的維數(shù)決定 ,方程的系數(shù)矩陣由向量構(gòu)成，每一列是一個(gè)向量 . 0332211 =++ aaa xxx???????=++=+=+=+04203403023212132121xxxxxxxxxx0321 === xxx321 , xxx12( , , , ) ,mA a a a=? 12, , , ma a a是 n 維列向量組，矩陣 齊次線性方程組 AX = 0 有非零解 。 1 2 3,? a ? a ? a ?證： 設(shè)有一組數(shù) x1, x2, x3 使 1 1 2 2 3 3( ) ( ) ( ) 0x x x? a ? a ? a + + =因向量組 1 2 3,a a a線性無關(guān)，所以 即 2 3 1 1 3 2 1 2 3( ) ( ) ( ) 0x x x x x xa a a+ + + + + =?????=+=+=+,0,0,0213132xxxxxx由于此方程組的系數(shù)行列式 ,02011101110?=故方程組只有零解 x1 = x2 = x3 = 0，所以向量組 線性無關(guān)。 ?例 ： n 維單位坐標(biāo)向量 e1 , e2 , … , en 線性無關(guān)。 （ 1）向量組 T 線性相關(guān)的充要條件是： 2. 向量組的線性相關(guān)性的判定定理 ?定理 . 設(shè) T:a1, a2,… , am是由 m 個(gè) n 維的向量組成的向量組，則下列結(jié)論成立 （ 2）向量組 T線性無關(guān)的充要條件是： 如果 k1a1+k2a2+…+ kmam= 0, 則 k1=k2=…= km=0. 存在一組不全為零的數(shù) k1， k2,… ， km, 使 k1a1+k2a2+…+ kmam=0。 ?兩個(gè) n 維向量 a = (a1, a2, … , an) 與 ? =(b1, b2, …, bn) 線性相關(guān)的充要條件是： ?含有零向量的向量組一定線性相關(guān)． 對(duì)應(yīng)分量成比例 . ?對(duì)向量組 T : a1, a2,… , an , 若存在 T 的部分組線性相關(guān)，則向量組 T 一定線性相關(guān)。 作業(yè)： P891(1),3(2) 矩陣 A 的秩就是