【正文】 。RM(nkM) 2021/11/10 西安建筑科技大學(xué)信于與控制學(xué)院 41 于是， h(n)與 x(n)的線(xiàn)性卷積可表示為 ? 式中 ????????????00)()()()()()()()(kkkkk nynxnhnxnhnxnhny367 )()()( nxnhny kk ??式 (367)說(shuō)明，計(jì)算 h(n)與 x(n)的線(xiàn)性卷積時(shí)，可先進(jìn)行分段線(xiàn)性卷積 yk(n)= h(n)*xk(n)，然后再把分段卷積結(jié)果疊加起來(lái)即可。 ? 設(shè)序列 h(n)長(zhǎng)度為， x(n)為無(wú)限長(zhǎng)序列。這種分段處理法有重疊相加法和重疊保留法兩種。 ? 圖 312 用 DFT計(jì)算線(xiàn)性卷積框圖 2021/11/10 西安建筑科技大學(xué)信于與控制學(xué)院 40 實(shí)際上，經(jīng)常遇到兩個(gè)序列的長(zhǎng)度相差很大的情況，例如 MN時(shí)，直接套用上述方法是不行的。 2021/11/10 西安建筑科技大學(xué)信于與控制學(xué)院 38 圖 311 線(xiàn)性卷積與循環(huán)卷積 2021/11/10 西安建筑科技大學(xué)信于與控制學(xué)院 39 如果取 L=N+M1 ，則可用 DFT(FFT)計(jì)算線(xiàn)性卷積，計(jì)算框圖如圖 312所示。圖 311中畫(huà)出了 h(n)、 x(n)、 h(n)*x(n)和 L分別取 10時(shí) h(n) x(n)的波形。此時(shí)取主值序列顯然滿(mǎn)足yc(n)=yl(n)。它們的線(xiàn)性卷積和循環(huán)卷積分別表示如下： ? 其中， L≥max[N， M]， ，所以 ???????10)()()()()(Nml mnxmhnxnhny? ??????10)())(()()()()(NmLLc nRmnxmhnxnhny364 365 ???????qL qLnxnx )())(()()()()()()()(1010nRmqLnxmhnRqLmnxmhnyLqNmNmLqc? ?? ???????????????????2021/11/10 西安建筑科技大學(xué)信于與控制學(xué)院 37 對(duì)照式 (364)可以看出，上式中 ? 即 )()()(10qLnymqLnxmh lNm??????????????qLlc nRqLnyny )()()(366 式 (366)說(shuō)明， yc(n)等于 yl(n)以 L為周期的周期延拓序列的主值序列。而 DFT只能用來(lái)計(jì)算循環(huán)卷積，為此導(dǎo)出線(xiàn)性卷積和循環(huán)卷積之間的關(guān)系以及循環(huán)卷積和線(xiàn)性卷積相等的條件。 2021/11/10 西安建筑科技大學(xué)信于與控制學(xué)院 35 圖 310 用 DFT計(jì)算循環(huán)卷積 ? 在實(shí)際應(yīng)用中，為了分析時(shí)域離散線(xiàn)性非時(shí)變系統(tǒng)或者對(duì)序列進(jìn)行濾波處理等，需要計(jì)算兩個(gè)序列的線(xiàn)性卷積。 2021/11/10 西安建筑科技大學(xué)信于與控制學(xué)院 34 DFT計(jì)算線(xiàn)性卷積 ? 如果 ?????? 10 2121)())(()()()()( Lm LLnRmnxmxnxnxny且 )]([DF T)()]([DF T)(2211nxkXnxkX?? 則由時(shí)域循環(huán)卷積定理有 0≤k≤L1 10),()()]([D F T)( 21 ????? lkkXkXnykY由此可見(jiàn)，循環(huán)卷積既可在時(shí)域直接計(jì)算，也可以按照?qǐng)D 310所示的計(jì)算框圖，在頻域計(jì)算。 ? 本節(jié)主要介紹用 DFT計(jì)算卷積和相關(guān)系數(shù)的基礎(chǔ)原理以及用 DFT對(duì)連續(xù)信號(hào)和序列進(jìn)行譜分析等最基本的應(yīng)用。 ?????10)2()()(Nkj kNkXeX????)2 1()2/s i n()2/s i n(1)( ??? NjweNN ????362 363 2021/11/10 西安建筑科技大學(xué)信于與控制學(xué)院 33 DFT的應(yīng)用舉例 ? DFT的快速算法 FFT的出現(xiàn)，使 DFT在數(shù)字通信、語(yǔ)音信號(hào)處理、圖象處理、功率譜估計(jì)、仿真、系統(tǒng)分析、雷達(dá)理論、光學(xué)、醫(yī)學(xué)、地震以及數(shù)值分析等各個(gè)領(lǐng)域都得到廣泛應(yīng)用。設(shè)序列 x(n)的長(zhǎng)度為 M，在頻域 0到之間等間隔采樣 N點(diǎn)， N≥M，則有 ?????10)()(NnnznxzX1,2,1,0)()( 2 ??? ?? NkzXkX kNjez ??2021/11/10 西安建筑科技大學(xué)信于與控制學(xué)院 30 式中 ? 將上式代入 X(z)的表達(dá)式中得 ? ?????10)(1)]([I D F T)(NkknNWkXNkXnx上式中 ，因此 1??kNNW????????? 10111)(1)( NkkNNzWzkXNzX359 2021/11/10 西安建筑科技大學(xué)信于與控制學(xué)院 31 令 ? 則 1111)(??????zWzNz kNNk?????10)()()(Nkk zkXzX ?360 361 式 (361)稱(chēng)為用 X(k)表示 X(z)的內(nèi)插公式， φk(z)稱(chēng)為內(nèi)插函數(shù)。這就是所謂的頻域采樣定理。 由 DFT和 DFS的關(guān)系可知， X(k)是 xN(n)以 N為周期的周期延拓序列 的離散傅立葉系數(shù) 的主值序列，即 ? 將式 (356)代入上式得 )(~ nx )(~ kX)](~[D F S))(()(~ nxkXkX N ??)()(~)( kRkXkX N?)](~[))(()(~ kXI D F Tnxnx N ???? ?????? ?? 1010)(1)(~1 NkknNNkknN WkXNWkXN? ?? ? ?????????????? ??mNknmkNNk mknN WNmxWmxNnx10)(101)(])([1)(~2021/11/10 西安建筑科技大學(xué)信于與控制學(xué)院 28 式中 ? 所以 ??? ???? ???mrrNnmWNNknmkN 其他，為整數(shù)0,11 10)(???????rrNnxnx )()(~????????rNNN nRrNnxnRnxnx )()()()(~)(357 358 式 (358)說(shuō)明 X(z)在單位圓上的 N點(diǎn)等間隔采樣 X(k)的IDFT為原序列 x(n)以 N為周期的周期延拓序列的主值序列。在單位圓上對(duì) X(z)等間隔采樣 N點(diǎn)得到 10,)()()(22 ????? ???????? NkenxzXkXnknNjezkNj??356 顯然，式 (356)表示在區(qū)間 [0， 2π]上對(duì) x(n)的傅里葉變換 X(ejω)的 N點(diǎn)等間隔采樣。 341 2021/11/10 西安建筑科技大學(xué)信于與控制學(xué)院 23 證 ? 又由 X(k)的隱含周期性有 ? X(N)= X(0) ? 用同樣的方法可以證明 ? DFT[x*(Nn)] = X*(k) )]([D F T)()()()(10)10)(10)(nxWnxWnxWnxkNXNnnkNNnnkNNNnnkNN???????????????????????????342 2021/11/10 西安建筑科技大學(xué)信于與控制學(xué)院 24 DFT的共軛對(duì)稱(chēng)性 ? (1)如果 x(n)= xr(n) + jxi(n) ? 由 DFT的線(xiàn)性性質(zhì)即可得 349 )()()]([D F T)( opep kXkXnxkX ??? 350 其中 )]([D F T)( rep nxkX ?)]([D F T)( iop njxkX ?X(k)的共軛對(duì)稱(chēng)分量 X(k)的共軛反對(duì)稱(chēng)分量 (2)如果 x(n)=xep(n) + xop(n) 351 )()()]([D F T)( IR kjXkXnxkX ??? 352 其中 )]([D F T)](R e [)(epR nxkXkX ??)]([D F T)](I m [)( opI nxkXjkjX ??2021/11/10 西安建筑科技