【正文】 ???? ?211 取近似值，則得： ?????? ?????? nnaaaArA 101010 2212 ?或nSrA ??2 因?yàn)楣糯怯谜叫蝸斫忉岄_平方的，所謂“朱冪”相當(dāng)于被開方數(shù)與近似平方根的平方之差。則朱冪雖有所棄之?dāng)?shù)，不是言之也?；諗?shù)無名者 以為分子，其一認(rèn)十為母，其再實(shí)以百為母。但是由于這種表示方法不夠具體，于是劉徽利用極限思想創(chuàng)立了十進(jìn)制的表示法。 這兩種方法并不是理想的方法，所以劉徽說，“令不加借算而命兮，則又徽分。 在古代，為了表示開方不盡數(shù)的值。”這就 9 是說，凡開不盡的數(shù)，可以以面命之。 《九章算術(shù)》開方術(shù)說“若開元不盡者，為不可開。重復(fù)弧段逐步對(duì)分的三分過程，即每分割一次內(nèi)接多邊形的邊數(shù)增長(zhǎng)一倍，如此下去，（設(shè)內(nèi)接近 n 形面積為 S（ n），圓面積為 S*），如前文所述有： S（ 6）→ S（ 12）→ S（ 24）→?→ S* 由此可見，在劉徽的心目中，割圓是個(gè)割之又割的無限過程，是通 向無窮之路。 具體如下：劉徽考察圓內(nèi)接多邊形。 劉徽的“割圓術(shù)”目標(biāo)是計(jì) 算圓面積，而計(jì)算圓面積是人類在處理方法從“直”跨入“曲”的關(guān)鍵的一步，是人類在思想觀念上從“有限”進(jìn)入“無窮”的一次飛躍，深刻理解它，并掌握這種大智慧，就能在思想觀念和處理方法上實(shí)現(xiàn)向高等數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)變，它是開啟高等數(shù)學(xué)大門的金鑰匙。 定理 （柯西收斂準(zhǔn)則） 數(shù)列}{na收斂的充要條件是：對(duì)任給的0??，存在正整數(shù) ?，使得當(dāng)?mn,時(shí)有 .??? mn aa 8 4 極限思想的應(yīng)用 在我們?nèi)粘Ｉ町?dāng)中，尤其是在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)這門專業(yè)時(shí)，極限思想應(yīng)用的非常廣泛，有好多的數(shù)學(xué)問題都可以轉(zhuǎn)換成用極限思想來解決。00 ?U內(nèi)有 )()()( xgxhxf ?? 則Ahxx ?? )lim0. 定理 （四則運(yùn)算法則） 若極限(lim0 xfxx?與)(lim0 gxx?都存在，則函數(shù) gfgf ?? ,當(dāng)x時(shí)極限也存在，且 1）? ? )(lim)(lim)()(lim 000 xgxfxgxf xxxxxx ??? ???； 2）? ? )(lim)(lim)()( 000 xgxfxgxf xxxxxx ?? ??； 又若0)(lim0 ?? xgxx，則gf/當(dāng)0x?時(shí)極限存在，且有 3）)(lim/)(lim)( )( 000 xgxfxg xf xxxxxx ???。0 ?U內(nèi)有)() xgf ?，則 )(lim)(lim 00 xgxf xxxx ?? ? 定理 （迫斂性） 設(shè)Axgxf xxxx ?? ?? )(lim)(lim 00，且在某)。） 定理 （保不等式性） 設(shè))(lim0 xfxx?與都)(lim0 gxx?都存在，且在某鄰域)。 定理 （局部有限性） 若 0fxx存在，則在0x的某空心鄰域)( 00 xU內(nèi)有界。 (2)設(shè)函數(shù) ()fx在 0x 處的某一去心領(lǐng)域內(nèi)有定義，若存在常數(shù) A，對(duì)于任意 0?? ，總存在正數(shù) ? ，使得當(dāng) 0xx???時(shí)，0()f x x ???成立，那么稱A 是函數(shù) ()fx在 0x 處的極限。 數(shù)列極限的標(biāo)準(zhǔn)定義：對(duì)數(shù)列 { n?}，若存在常數(shù) a，對(duì)于任意 0??，總存在正整數(shù) N，使得當(dāng) nN時(shí)，???an成立，那么稱 是數(shù)列 { ?}的極限。學(xué)習(xí)微積分，就會(huì)有引入極限的必要性，因?yàn)?代數(shù)是無法處理“無限”的概念，所以為了要利用代數(shù)處理無限的量，于是就要構(gòu)造“極限”的概念。 極限是指無限趨近于一個(gè)固定的數(shù)值。 培根說：“數(shù)學(xué)使人精細(xì)。在數(shù)學(xué)推理的過程中，我們可以盡情發(fā)散自己的思維，拋開身邊的一切煩惱，插上智慧的雙翼遨游于浩瀚無疆的數(shù)學(xué)世界?！痹谔角髽O限起源與發(fā)展的過程中，我發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)確實(shí)是一個(gè)美麗的世界，享受數(shù)學(xué)是一個(gè)美妙的過 程。 在極限思想的發(fā)展中，我們可以看出數(shù)學(xué)并不是自我封閉的學(xué)科，它與其他學(xué)科有著千絲萬縷的聯(lián)系。貝克萊之所以激烈地 攻擊微積分，一方面是為宗教服務(wù)，另一方面也由于當(dāng)時(shí)的微積分缺乏牢固的理論基礎(chǔ)，連牛頓自己也無法擺脫極限概念中的混亂。 正因?yàn)楫?dāng)時(shí)缺乏嚴(yán)格的極限定義，微積分理論才受到了人們的懷疑與攻擊。 起初牛頓和萊布尼茨以無窮小概念為基礎(chǔ)建立微積分，后來因遇到了邏輯困難，所以在他們的晚期都不同程度地接受了極限思想。但是從數(shù)學(xué)的角度審視，對(duì)極限的認(rèn)識(shí)不能僅停留在直觀的認(rèn)識(shí)階段。這只是“在運(yùn)動(dòng)觀點(diǎn)的基礎(chǔ)上憑借幾何圖像產(chǎn)生的直覺用自然語言做出 的定性描述”。盡管極限概念被明確提出，可是它仍然過于直觀，與數(shù)學(xué)上追求嚴(yán)密的原則相抵觸?？茖W(xué)家們?yōu)榱双@得更高的生產(chǎn)力，不斷的進(jìn)入了極限思想的研究中，這是促進(jìn)極限發(fā)展、建立微積分的社會(huì)背景。但可以想象，如果把這個(gè)過程無限次繼續(xù)下去，就能得到精確的圓的面積。所謂“割圓術(shù)”，就是用半徑為 R的 圓的內(nèi)接正多邊形的邊數(shù) n一倍一倍地增多，多邊形的面積 nA 就越來越接近于圓的面積 R? 。這更是從直觀上體現(xiàn)了極限思想。 無獨(dú)有偶，我國春秋戰(zhàn)國時(shí)期的哲學(xué)名著《莊子》記載著惠施的一句名 4 言“一尺之錘，日取其半，萬事不竭。從概念上，面臨這樣一個(gè)倒退，他甚至不可能開始，因此運(yùn)動(dòng)是不可能的。阿基里斯悖論是由古希臘的著名哲學(xué)家芝諾提出的，他的話援引如下：“阿基里斯不能追上一只逃跑的烏龜，因?yàn)樵谒竭_(dá)烏龜所在的地方所花的那段時(shí)間里，烏龜能夠走開。極限思想的萌芽階段以希臘的芝諾，中國古代的惠施、劉徽 、祖沖之等為代表。其突出特點(diǎn)是人們已經(jīng)開始意識(shí)到極限的存在，并且會(huì)運(yùn)用極限思想解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問題，但是還不能夠?qū)O限思想得出一個(gè)抽象的概念?！睒O限思想的歷史可謂源遠(yuǎn)流長(zhǎng)，一直可以追溯到 2021多年前。如此，他就在無意中“指出了把極限方法發(fā)展成為一個(gè)實(shí)用概念的方向”。劉徽在證明圓面積公式中亦蘊(yùn)含了極限思想。 劉徽《九章算術(shù)注》，將無窮小分 割法，利用極限思想架起了通向微積分的橋梁，至今熠熠閃光，例如，他創(chuàng)立的“割圓術(shù) ” （采用圓內(nèi)接正多邊形，當(dāng)邊次逐次倍增接近圓的原理“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至