【正文】 v??? ? ???? ? ?? ? ??? ????D r s r QE r lD r rEr( ) ( )??D r E r ( ) ( )?? ??E r r靜態(tài)場(chǎng) 電子與通信工程系 通信教研室 (1)式 是高斯定律的積分形式，表明電位移矢量 D 的閉合面積分等于閉合面內(nèi)所包圍自由電荷的代數(shù)和，它表征靜電場(chǎng)的一個(gè)基本性質(zhì)。 0????靜態(tài)場(chǎng) 電子與通信工程系 通信教研室 七、靜電場(chǎng)的基本方程 靜電場(chǎng)是由不隨時(shí)間變化的靜止電荷 (包括自由電荷和束縛 電荷 )產(chǎn)生的電場(chǎng)，遵循高斯定律和環(huán)路定律，這兩個(gè)定律均可 分別用積分形式和微分形式來表示，構(gòu)成了靜電場(chǎng)的基本方程。 由 ，有： 由 ，有： arb?? rb? 0????DE220044rrraQe a r brQe r br?????????? ? ???????E 0???D E P020()40rraQe a r brrb??????? ??? ? ??????P2 24 40rrQ e r ar e Q rra? ?? ??? ? ? ?? ??＝DD02sp0244rnrQe r aaeQe r bb???????????? ? ? ? ???? ? ?? ?? ? ? ???PPPp000raa r brb????? ?? ? ? ? ??? ??P— 靜電場(chǎng) 靜態(tài)場(chǎng) 電子與通信工程系 通信教研室 六、介質(zhì)中的環(huán)路定律和電位 1. 介質(zhì)中的環(huán)路定律 介質(zhì)內(nèi)外的靜電場(chǎng)是由自由電荷和束縛電荷共同產(chǎn)生的，由 于束縛電荷產(chǎn)生的靜電場(chǎng)與自由電荷產(chǎn)生的靜電場(chǎng)性質(zhì)相同，也 是無旋場(chǎng)，滿足環(huán)路定律，因此，介質(zhì)內(nèi)外的靜電場(chǎng) E 也是無旋 場(chǎng)，滿足環(huán)路定律，即： ( ) d 0L ??? E r l— 靜電場(chǎng) ( ) 0? ? ?Er靜態(tài)場(chǎng) 電子與通信工程系 通信教研室 — 靜電場(chǎng) ? ? ? ? 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?D r E r r r r r2. 介質(zhì)中的電位 —— 泊松方程和拉普拉斯方程 介質(zhì)中電位的定義與真空中電位的定義相同，我們從高斯定理的微分形式，可得： 2 ( ) ( ) /? ? ?? ? ?rr2 ( ) 0???r 在均勻介質(zhì)中， 與空間位置無關(guān)，即 ，則上式簡(jiǎn)化為： 這就是均勻介質(zhì)中電位的 泊松方程 。 故其在導(dǎo)體球外產(chǎn)生的 D 也是呈球?qū)ΨQ的， 則建立以導(dǎo)體球心為原點(diǎn)的球坐標(biāo)系，作以原點(diǎn)為球心，半徑 r 的球面為高斯面。 解： 本題中自由電荷及介質(zhì)都呈球?qū)ΨQ分布， 所以可用高斯定理的積分形式先求出 D。 當(dāng) 時(shí)， 當(dāng) 時(shí)， dS q???? Ds2344 3rr e r? ? ???D2344 3rr e a? ? ???D033rrrree???? ? ?，DE3322033rraaeerr???? ? ?，DEra?ra?ra?ra?32002 2 2220 0 0 0d d d33()6 3 2 6arrr r araeera a rar?????? ? ? ?? ? ?????? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ?E r r r33200dd33rrr aaerr??? ????? ? ? ? ???E r r— 靜電場(chǎng) 靜態(tài)場(chǎng) 電子與通信工程系 通信教研室 例 2： 如圖所示，半徑為 a，帶電量為 Q 的導(dǎo)體球，外表面套有 內(nèi)半徑為 a、外半徑為 b、介電常數(shù)為 的同心均勻介質(zhì)球殼。取與帶電 球同心，半徑為 r 的球面作為高斯面。 解： 如圖所示，建立以球心為原點(diǎn)的球坐標(biāo) 系。 若能找到一個(gè)包圍對(duì)稱電荷的閉曲面 S，使得 S面上電場(chǎng)強(qiáng)度處處平行于 S面的法向 (即 )且 處處相等；或者 S面中一部分區(qū)域滿足上述條件，其余區(qū)域的法向處處與電場(chǎng)強(qiáng)度垂直，則 求出 后，再根據(jù) 與 S面法向平行來確定方向。 0 0 e 0 0 e 0( 1 ) r? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?D E P E E E E E? 0e/1r? ? ? ?? ? ?e?r?1r? ?r?— 靜電場(chǎng) 靜態(tài)場(chǎng) 電子與通信工程系 通信教研室 3. 應(yīng)用高斯定理計(jì)算靜電場(chǎng)問題 高斯定理反映了靜電場(chǎng)的一個(gè)基本特性。 說明 ：本課程中所涉及的介質(zhì)都是均勻 ( 不隨位置變化 )、線性 ( 不隨 E 變化 )、各向同性 ( D 與 E 方向相同 )的介質(zhì)，上式也僅 適用于此類介質(zhì)。 [ ( ) ] d ( ) d ( ) dV S Vv v Q?? ? ? ? ? ???? ?? ???D r D r s r0( ) ( )??D r E r0( ) ( ) /??? ? ?E r r( ) 0?Pr ，— 靜電場(chǎng) 靜態(tài)場(chǎng) 電子與通信工程系 通信教研室 高斯通量定理表明 ：由任一閉合面穿出的 D 通量等于該面 內(nèi)的自由電荷的代數(shù)和，而與極化電荷無關(guān)。 靜態(tài)場(chǎng) 電子與通信工程系 通信教研室 在真空中有： ，可得： 可見，真空中的高斯定理是其特例。由此可見， 靜止電荷是靜電場(chǎng)的通量源，靜電場(chǎng)是有散場(chǎng)。 1 1 1 0d ( ) d dN N N iiiS S Si i iq?? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ??? ?? ??E s E s E s001d ( ) dSVqv???? ? ??? ???E s r( ) dVqv?? ??? r0?— 靜電場(chǎng) 靜態(tài)場(chǎng) 電子與通信工程系 通信教研室 根據(jù)散度定理： ，有： 上式對(duì)任意體積 V 都成立，所以有： 這就是靜電場(chǎng)在 真空中高斯定理的微分形式 。 由以上可知，真空中電場(chǎng)強(qiáng)度在任意閉曲面 S 上的通量等于 S 面內(nèi)凈電量與 的比值。 設(shè)無限大真空中有一點(diǎn)電荷 q，以該點(diǎn)電荷所在處為球心作 任一半徑為 r 的球面，則由該球面穿出的 E 通量為： 如果包圍點(diǎn)電荷的是任意形狀的閉合面，則由該閉合面穿出 的 E 通量，仍等于 ，這是因?yàn)? E 通量只與閉合面內(nèi)包含電 荷的多少有關(guān)，與閉合面的形狀無關(guān)。工程中，一般情況下，作用在介質(zhì)上的電場(chǎng)強(qiáng)度應(yīng)小于其 擊穿強(qiáng)度。 若外加電場(chǎng)太大，可能使介質(zhì)分子中的電子脫離分子的束縛 而成為自由電子，介質(zhì)變成導(dǎo)電材料，這種現(xiàn)象稱為 介質(zhì)的擊 穿 。 一般由介質(zhì)的組成結(jié) 構(gòu)決定，不同介質(zhì)有不同的 ；同一種介質(zhì)中的密度變化也會(huì)導(dǎo) 致 變化； 還可能隨 E 變化。 介質(zhì)的束縛面電荷密度 ，束縛體電荷密度 與極化強(qiáng)度 P 有密切關(guān)系，它們之間的定量關(guān)系是： 其中， 為介質(zhì)表面外法向單位矢量。 0E ?E?E 0E0?EE— 靜電場(chǎng) 靜態(tài)場(chǎng) 電子與通信工程系 通信教研室 (2)極化強(qiáng)度 在一定的外電場(chǎng)下，不同介質(zhì)的極化程度不同；同一介質(zhì)在不同外電場(chǎng)作用下的極化程度也不同。因此，介質(zhì)中的電場(chǎng)不同于真空中的電場(chǎng)。如果介質(zhì)或外加電場(chǎng)是不均勻的，則介質(zhì)內(nèi)部也將出現(xiàn) 體電荷 ，但這些電荷將被束縛在分子之內(nèi)，不能自由移動(dòng)，故稱為 束縛電荷 。 — 靜電場(chǎng) 靜態(tài)場(chǎng) 電子與通信工程系 通信教研室 介質(zhì)極化后，由于內(nèi)部電荷重新排列，出現(xiàn)沿電場(chǎng)方向的一系列等效電偶極子。 當(dāng)有外加電場(chǎng) E0時(shí)，無極性介質(zhì)中正、負(fù)電荷的重心在外加電場(chǎng)的作用下分離成與 E0方向相同的 感應(yīng)電矩 ；而極性介質(zhì)中原來雜亂排列的分子的固有電矩在外加電場(chǎng) E0作用下幾乎都順著電場(chǎng)的方向排列， 雖然各個(gè)分子還在熱運(yùn)動(dòng)，但其電矩指向大致相同。 極性介質(zhì) ：介質(zhì)分子內(nèi)正、負(fù)電荷分布不均勻，正、負(fù)電荷的重心不重合。 電磁場(chǎng)理論中將與電力線垂直相交的面稱為 電壁 ，則靜電場(chǎng)中導(dǎo)體表面是電壁。 (3)導(dǎo)體表面的 E 必定垂直于表面，因?yàn)閷?dǎo)體表面是等位面。否則要引起導(dǎo)體中電荷的運(yùn)動(dòng)，就 不屬于靜電問題。 人們把這種狀態(tài)稱為導(dǎo)體的 靜電平衡狀態(tài) 。感 應(yīng)電荷產(chǎn)生附加電場(chǎng)。 — 靜電場(chǎng) 靜態(tài)場(chǎng) 電子與通信工程系 通信教研室 1. 靜電場(chǎng)中的導(dǎo)體 導(dǎo)體的特點(diǎn)是其中有大量的自由電子。 ? 電介質(zhì) ：物質(zhì)體內(nèi)沒有自由運(yùn)動(dòng)的電荷，或者自由電荷非常少，以至于可以忽略不計(jì)。 ( ) ( )?? ??E r rq?pl l||l?l— 靜電場(chǎng) 靜態(tài)場(chǎng) 電子與通信工程系 通信教研室 四、靜電場(chǎng)中的導(dǎo)體和介質(zhì) 根據(jù)電場(chǎng)在物質(zhì)中的表現(xiàn)，物質(zhì)可分為導(dǎo)電媒質(zhì)（也稱導(dǎo)體）和電介質(zhì)（簡(jiǎn)稱介質(zhì)）。 4. 電偶極子 電偶極子是由兩個(gè)相距很近的等值異號(hào)點(diǎn)電荷 ( +q 和 q )組 成的系統(tǒng)，可以用 電偶極矩 (電矩 ) 來表示。由梯度的性質(zhì)以及 可知，電場(chǎng)強(qiáng)度處處垂直于等位面，并且指向電位下降最快的方 向。若某些問題假設(shè)電荷分布在無限大區(qū)域時(shí)，參考 0點(diǎn) 必須選在有限遠(yuǎn)處。但兩點(diǎn)間 的電位差不隨參考 0點(diǎn)的變化而變化。 將單位正點(diǎn)電荷從 A 點(diǎn)移到 B 點(diǎn)時(shí)電場(chǎng)力所作的功定義為 A、 B 兩點(diǎn)間的 電位差 ，也叫 電壓 ，即： d ( ) ( )BABAB AWU A Bq ??? ? ? ? ?? El1000001( ) ( )44( ) ( )11( ) d ( ) d441 ( )( ) d4niilsLSVqqlsv??? ? ? ?????? ? ? ???????????????????????????????? ?????rrr r r rrrrrr r r rrrrr— 靜電場(chǎng) 靜態(tài)場(chǎng) 電子與通信工程系 通信教研室 若設(shè)定某固定點(diǎn) 處的電位 ，則稱 為參考 0點(diǎn)。 根據(jù)矢量 恒等式 和 電場(chǎng)強(qiáng)度的表達(dá)式，可以 得到點(diǎn)電荷、點(diǎn)電荷系、帶電線、帶電面和帶電體產(chǎn)生的電位分 別為： 0?? ?E( ) ( )?? ??E r r()?r()Er?()?? r ?31?? ? ? ?????rrrrrr— 靜電場(chǎng) 靜態(tài)場(chǎng) 電子與通信工程系 通信教研室 我們知道，點(diǎn)電荷在電場(chǎng)中移動(dòng)時(shí)電場(chǎng)力對(duì)它所做的功 W 與 其所帶電量 q 有關(guān)，因此 W 不能確切描述電場(chǎng)本身特性。 而 ，所以靜電場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度 E 可以用一個(gè)標(biāo)量函數(shù) 的 梯度 表示 ，即： 我們稱標(biāo)量函數(shù) 為靜電場(chǎng)的 電位 或 電勢(shì) ，單位為伏特 (V)。 d0l ??? Eld d 0lS? ? ? ? ? ?? ??E l E s0?? ?E靜態(tài)場(chǎng) 電子與通信工程系 通信教研室 靜電場(chǎng)環(huán)路定律是靜電場(chǎng)的重要性質(zhì)，由于任意靜電場(chǎng)都可以看成是許多點(diǎn)電荷