數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)畢業(yè)論文群同態(tài)與逆同態(tài)的幾點(diǎn)探究-文庫(kù)吧資料
2025-05-28 10:18本頁(yè)面
【正文】 = G / Z? S . 逆同態(tài)與群同態(tài)的相似性質(zhì) 定理 設(shè) G 是群 ,? 是 G 到 G 的逆同態(tài) ,e 是 G 的單位元 , aG?? ,則有 ? ? ? ? ? ? 111 aa?? ?? ? . ? ? ? ? ? ?2 nnaa??? . ? ? ? ?3 aa? . 證明 : (1)對(duì)任意 ? ? ? ? ? ? ? ?11,a G e a a a a e? ? ? ???? ? ? ?有 ? ? ? ? 11 .aa?? ?? ?故 有 該定理說(shuō)明逆同態(tài)映射 ? 將原像的逆元作用為像的逆元 . (2)當(dāng) ? ? ? ? ? ?? ? 000n a e e a? ? ?? ? ? ?時(shí) 。 對(duì) ? x, y∈ R, f (x + y) = ? ?2 22i x y ix iye e e? ??? ? = f (x) f ( y), 所以 f 是滿同態(tài) 。a H a H?? ? ? 命題 如果 f : G → G 為群的滿同態(tài)， Kerf =N ,則介于 N 與 G 之間的子群 H （即） 恰與 G 的子群 H 一 一 對(duì)應(yīng)，即 ? ?fH=H ,H = ? ?1fH? 。 定理 設(shè) G 的一個(gè)非空子集做成子群的充要條件是： 1 ) , 。 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院 20xx 屆畢業(yè)論文 3 1 預(yù)備知識(shí) 定義 設(shè) ? ?,G 和 ? ?,G 是兩個(gè)群 ,f 是 G 到 G 的一個(gè)映射，如果對(duì)任意 a， b ∈ G ，若 f 滿足 f ? ? ? ? ? ?a b f a f b? ，則稱 f 是群的同態(tài)映射 .（ homomorphism）；若同態(tài)映射 f 是滿射，則稱 f 是群的同態(tài)滿射（或滿同態(tài)） (epimorphism).若 f 是一一映射（即雙射），則 f 是群的同構(gòu)映射，此時(shí)也稱群 G 與群 G 同構(gòu)，記做 GG? . 群 G 到 G 的同態(tài)映射與同構(gòu)映射，分別稱為群 G 的自同態(tài)與自同構(gòu) . 定義 設(shè) G 是一個(gè)群 ,N 是 G 的一 個(gè)子群，如果對(duì)于 ? a ∈ G ,aN Na? ， 即 1aNa? =N ,則稱 N 是 G 的一個(gè)正規(guī)子群 （或不變子群） ,表示為 N a N ={an | n∈ N }稱為由 a決定的 N 的左陪集 。另外，群的 逆 同構(gòu)和 逆 同態(tài)也是研究群的重要手段。 在處理一些同構(gòu)問(wèn)題時(shí)，我們也常常反過(guò)用這個(gè)定理，也就是說(shuō)先構(gòu)造出滿同態(tài)。 而同態(tài)映射只要求保持運(yùn)算，顯然它比同構(gòu)映射更靈活，它能研究?jī)蓚€(gè)不同構(gòu)的群之間的聯(lián)系。同構(gòu)映射是群之間保持運(yùn)算的映射，存在同構(gòu)映射的兩個(gè)群可以看成同一個(gè)群，因?yàn)樗鼈冇邢嗤娜航Y(jié)構(gòu)。 眾所周知，群論在數(shù)論中起著何等重要的作用。因此我們可以說(shuō)群同態(tài)是群同構(gòu)的自然推廣，通過(guò)群同態(tài)我們可 了解一個(gè)群，商群以及它的同態(tài)象之間的密切聯(lián)系，而這種聯(lián)系，無(wú)論對(duì)于群論本身，還是對(duì)于群的應(yīng)用，都是極為重要的。在數(shù)學(xué)上，數(shù)學(xué)對(duì)象之間的聯(lián)系往往是通過(guò)某種特殊的映射來(lái)反映的，這些映射不但建立了兩個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象的元素之間的聯(lián)系，而且也要能反映出這兩個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象的某種結(jié)構(gòu)上的聯(lián)系，比如，線性代數(shù)中的線性映射就有這一特點(diǎn)，它既建立了兩個(gè)線性空間的元素之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，同時(shí)也保持了雙方的某些運(yùn)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院 20xx 屆畢業(yè)論文 2 算性質(zhì)，群同構(gòu)的概念也具有這一特性。換言之，這兩個(gè)群有完全相同的結(jié)構(gòu)，所不同的僅僅是表述他們的元素及運(yùn)算它們的術(shù)語(yǔ)和記號(hào)，這樣做的意義當(dāng)然是十分明顯的。而且這種對(duì)應(yīng)關(guān)系還保持元素間的運(yùn)算關(guān)系。兩者的區(qū)別也僅僅在于對(duì)同一概念使用了不同的術(shù)語(yǔ)和記號(hào)，類似的情況也出現(xiàn)在群論中，經(jīng)常會(huì)遇到這樣一些群，他們表面上看起來(lái)是那樣不同，他們的元素不同，運(yùn)算也不同。同樣，當(dāng)中國(guó)學(xué)生在紙上寫下“一加一等 于二”，英國(guó)學(xué)生在紙上寫下“ one plus one equals two”時(shí)，雖然他們用的是不同的文字，但我們知道，他們也正在做同一件事情 —— 進(jìn)行數(shù)的加法，并且計(jì)算的是同一算式，我們?yōu)槭裁粗浪麄冏龅氖峭患履?？那是因?yàn)椋覀冊(cè)谥形呐c英文之間建立了一種一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，比如說(shuō)“一”對(duì)應(yīng)“ one”，“二”對(duì)應(yīng)“ two”，“三”對(duì)應(yīng)“ three”，“四”對(duì)應(yīng)“ four”，以及“加”對(duì)應(yīng)“ plus”，“等于”對(duì)應(yīng)“ equal”等等，而且每一對(duì)應(yīng)中的兩個(gè)詞表示的是同一概念。 論文作者簽名： 年 月 日 論文指導(dǎo)教師簽名： 群同態(tài)與 逆同態(tài)的幾點(diǎn)探究 李巧連 （天水師范學(xué)院，數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，甘肅，天水， 741000） 摘 要： 本文主要寫了兩方面的內(nèi)容 ,一方面是利用群同態(tài)基本定理的證明 思路證明某些群的同構(gòu)，另一方面 本文從新的角度即用逆同態(tài)來(lái)研究群中元素 之間的關(guān)系 ,證明了逆同態(tài)的幾個(gè)相關(guān)性質(zhì)及定理，探討了逆同態(tài)與群同態(tài)的 內(nèi)在聯(lián)系和區(qū)別 . 關(guān)鍵詞： 群同態(tài)；同構(gòu)；群同態(tài)基本定理；逆同態(tài) . 分類號(hào)： O152 Several inquiries of the homomorphism and anti
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