線代第二章答案-文庫吧資料
2024-09-12 21:17本頁面
【正文】 2?2AB?B2? (3)(A?B)(A?B)?A2?B2嗎 ? 解 (A?B)(A?B)?A2?B2? 因為 ???????? 52 22BA ? ???????? 10 20BA ? ?????????????????????? 90 6010 2052 22))(( BABA ? 而 ?????????????????????? 71 8243 01114 8322 BA ? 故 (A?B)(A?B)?A2?B2? 6? 舉反列說明下列命題是錯誤的 ? (1)若 A2?0? 則 A?0? 解 取 ??????? 00 10A ? 則 A2?0? 但 A?0? (2)若 A2?A? 則 A?0 或 A?E? 解 取 ??????? 00 11A ? 則 A2?A? 但 A?0 且 A?E? (3)若 AX?AY? 且 A?0? 則 X?Y ? 解 取 ??????? 00 01A ? ???????? 11 11X ? ??????? 10 11Y ? 則 AX?AY? 且 A?0? 但 X?Y ? 7? 設 ??????? 101?A ? 求 A2? A3? ? ? ?? Ak? 解 ???????????????????? 12 011011012 ???A ? ????????????????????? 13 0110112 0123 ???AAA ? ? ? ? ? ? ?? ??????? 101?kAk ? 8? 設 ????????????00 1001A ? 求 Ak ? 解 首先觀察 ???????????????????????00 100100 10012A?????????22200 2012????? ? ???????????323232300 3033??????AAA ? ???????????4342343400 4064??????AAA ? ???????????5453454500 50105??????AAA ? ? ? ? ? ? ?? ??????kAkkkkkkkkkk??????000 2)1(121??? ?????? ? 用數(shù)學歸納法證明 ? 當 k?2 時 ? 顯然成立 ? 假設 k 時成立，則 k?1 時， ???????????????????? ???? ?????????????0010010002)1(1211kkkkkkkk kkkkAAA ??????????????????????11111100)1(02)1()1(kkkkkkkkkk??????? 由數(shù)學歸納法原理知 ? ???????????? ?? ???kkkkkkk kkkkA??????0002)1(121? 9? 設 A? B 為 n 階矩陣，且 A 為對稱矩陣，證明 BTAB 也是對稱矩陣 ? 證明 因 為 AT?A? 所 以 (BTAB)T?BT(BTA)T?BTATB?BTAB? 從而 BTAB 是對稱矩陣 ? 10? 設 A? B 都是 n 階對稱矩陣，證明 AB 是對稱矩陣的充分必要條件是 AB?BA? 證明 充分性 ? 因 為 AT?A? BT?B? 且 AB?BA? 所 以 (AB)T?(BA)T?ATBT?AB? 即 AB 是對稱矩陣 ? 必要性 ? 因 為 AT?A? BT?B? 且 (AB)T?AB? 所 以 AB?(AB)T?BTAT?BA? 11? 求下列矩陣的逆矩陣 ? (1) ?????? 5221 ? 解 ??????? 5221A ? |A|?1? 故 A?1存在 ? 因為 ??????? ????????? 12 25* 2212 2111 AA AAA? 故 *||11 AAA ?? ??????? ?? 12 25 ? (2) ?????? ? ?? ?? cossin sincos ? 解 ?????? ?? ?? ?? c oss i n s i nc osA ? |A|?1?0? 故 A?1存在 ? 因為 ?????? ????????? ?? ?? c oss in s inc os* 2212 2111 AA AAA? 所以 *||11 AAA ?? ???????? ?? ?? cossin sincos ? (3) ????????? ??145 243121 ? 解 ????????? ???145 243121A ? |A|?2?0? 故 A?1存在 ? 因為 ?????????? ?????????????21432 1613024*332313322212312111AAA AAAAAAA ? 所以 *||11 AAA ??????????????????1716 213213 012 ? (4)??????????naaa?0021(a1a2? ? ?an ?0) ? 解 ???????????naaaA ?0021
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