【正文】 (t) ( ) (t)y(t) (t)Ex A BFC xCx??? () 即簡寫為： (t) ( ) (t)Ex A BFC x?? () 目的是找到增益矩陣 F， 以達(dá)到使得系統(tǒng)魯棒穩(wěn)定的目的。 t 代表時(shí)間變量，維數(shù)適中的狀態(tài)、輸出和輸入向 量分別是 x ， y ， u 。本文主要是淺析并得出線性廣義系統(tǒng)控制器設(shè)計(jì)方法，包括狀態(tài)和輸出反饋兩種。系統(tǒng)反饋控制器設(shè)計(jì) 問題其實(shí)比較簡單。一般來說，有許多個(gè)方式使系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)定。 本科畢業(yè)設(shè)計(jì)說明書（論文） 第 17 頁 共 28 頁 4 控制器設(shè)計(jì)方法 概述 穩(wěn)定幾乎是任何系統(tǒng)正常運(yùn)行的首要前提。令 ( ) ( )TTZ A B F C P P A B F C? ? ? ?，那么可知對每一個(gè)不是零 nxR? ，可得到 2T T Tx Zx x P x?? () 由引理 可知，有 0?? 使如下的不等式符合： 0TTZ P MM P??? () 且 ? 是常數(shù)。 必要性：根據(jù)引理 可知存在矩陣 1Q 和 P 。且此是魯棒穩(wěn)定條件。那么對于任意 0?? ，有： 1( ) ( )T T T T TD F t E E F t D D D E E???? ? ? () 引理 ：若 M， N， nnPR?? 是給定的對稱陣，滿足 0M? ， 0N? ， 0P? ，且 2( ) 4 ( ) ( ) 0T T Tx P x x M x x Nx?? () 對所有的 nnxR?? ， 0x? 成立。 引理 ：設(shè)維數(shù)適當(dāng)?shù)木仃?D ， E ， F ， ( ) 1Ft? 。 使系統(tǒng) ()滿足： ( ) ( )TTA t P P A t Q? ? ? () P 具有以下形式： 1230PP PP??????? () 其中， 1 rrPR?? ， ()2 r n rPR??? ， ( ) ( )3 n r n rPR? ? ?? 且 1 0P? , 3P 可逆。 引理 ：假設(shè)有矩陣 Q 和矩陣 P。由引理 可得：存在矩陣 0X? ， Y，滿足： ( A B K ) ( ) ( ) ( ) 0T T T TE X Y E X Y A B K? ? ? ? ? ? ? ? () 本科畢業(yè)設(shè)計(jì)說明書（論文） 第 15 頁 共 28 頁 即： ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0T T T T T T T TA E X Y B K E X Y E X Y A E X Y B K? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 令 ()T T TZ K EX Y? ? ?即 ()T T TK Z EX Y ?? ? ?有 ()等價(jià)于 ()即充要條件得證。即使得系統(tǒng)魯棒穩(wěn)定。 定理 ：廣義系統(tǒng)是魯棒穩(wěn)定的充要條件是存在正定矩陣 0X? 和矩陣 Y，使如下不等式： ( ) ( ) A Z B 0T T T T TA E X Y B Z E X Y? ? ? ? ? ? ? ? () 成立。且是穩(wěn)定正則的。即滿足 Re (s) 0s ? 。 引理 ： 廣義系統(tǒng)稱為是穩(wěn)定的。 定義 ：廣義系統(tǒng) ()是逐漸趨于穩(wěn)定。 定義 ：廣 義系 統(tǒng) () 叫做 無 脈沖 模。 E ， A ，B ， C 分別是適維的實(shí)矩陣。 定理 ： 廣義系統(tǒng) ()是容許的充要條件是：對給任意確定的一個(gè)矩陣 0W? ，必有解 V，滿足如下方程： 0TTV A A V WE V V E? ? ??? () 相對的： 定理 ： 系統(tǒng) ()為容許的充要條件為：給定一個(gè)任意矩陣 0W? ，必有解 V，符合如下不等式： 00TTV A A VE V V E???? () 式 ()和 ()皆是李雅普諾夫不等式。 一般來說，對廣義系統(tǒng)而言，漸進(jìn)穩(wěn)定和無脈沖是它的兩個(gè)基本要求。而且也務(wù)必把其正則性和脈沖模存在性加入考慮范疇。研究廣義系統(tǒng)穩(wěn)定問題包含多個(gè)方面。這些廣義系統(tǒng)的自身特點(diǎn)致使其有關(guān)的問題更為復(fù)雜。并且是反饋控制下的條件。這種控制叫做魯棒控制。魯棒性是系統(tǒng)的一個(gè)關(guān)鍵屬性。所要研究的魯棒性即是當(dāng)系統(tǒng)在外界擾動(dòng)下維持某些性能的特性。 (3) 輸出反饋的一個(gè)突出特點(diǎn)是便于實(shí)現(xiàn)，但是其無 法更好的描繪系統(tǒng)的狀態(tài)情況，以致于無法獲得滿意的系統(tǒng)性能 [12]。 本科畢業(yè)設(shè)計(jì)說明書（論文） 第 12 頁 共 28 頁 基本性質(zhì) 輸出反饋的性質(zhì)： (1) 輸出反饋?zhàn)饔脽o法改變系統(tǒng)的某些性能，能控性和能觀性就在其中。但如果對于單輸入輸出的系統(tǒng)，當(dāng)增益矩陣 H 對系統(tǒng)完成輸出反饋后， 原來的傳遞函數(shù) ()Gs就會變?yōu)?( ) / (1 HG)Gs ? 。所以輸出反饋易于使用。輸出反饋易實(shí)現(xiàn)。淺析原理：把比例環(huán)節(jié)作為系統(tǒng)的輸出量變成輸入量的媒介后重新作用于系統(tǒng)。 定理 ： 輸出反饋閉環(huán)系統(tǒng)是否可控或可觀直接由被控系統(tǒng)決定，即被控系統(tǒng)是可控可觀的為輸出反饋系 統(tǒng)可控可觀的充要條件。 系統(tǒng)在狀態(tài)反饋下可觀測性 由上文已知系統(tǒng)的可控性不會因?yàn)闋顟B(tài)反饋發(fā)生改變，但是其會改變系統(tǒng)的可觀測性，方法就是選擇一個(gè)狀態(tài)反饋矩陣 K 達(dá)到破壞系統(tǒng)可觀性的目的。 系統(tǒng)在狀態(tài)反饋下可控制性 對 于多個(gè)變量的線性系統(tǒng)： ? ?,K A BK B C?? () 在任何形如： 本科畢業(yè)設(shè)計(jì)說明書（論文） 第 11 頁 共 28 頁 (t) r(t) K (t) X (t)u ?? () 的狀態(tài)反饋下，若被控對象 ? ?0 ,A B C?完全可控。含有動(dòng)態(tài)補(bǔ)償器的輸出反饋的信息由觀測器獲得，非靜止?fàn)顟B(tài)的反饋。 (4) 在使用狀態(tài)反饋時(shí)，系統(tǒng)的狀態(tài) x 務(wù)必是可以容易獲取的是一個(gè)必須要有的前提。 (3) 狀態(tài)反饋不會改變系統(tǒng)的零點(diǎn)位置。 狀態(tài)反饋的性質(zhì)： (1) 系統(tǒng)能控制性不會變化。隨著科技的不斷進(jìn)步，尤其是發(fā)展了估計(jì)狀態(tài)量理論和檢測狀態(tài)量理論后（特別是卡爾曼和布什提出的濾波方法），在現(xiàn)實(shí)的操作中得到狀態(tài)量的實(shí)時(shí)觀測值已近較容易。 本科畢業(yè)設(shè)計(jì)說明書（論文） 第 10 頁 共 28 頁 圖 系統(tǒng)狀態(tài)反饋結(jié)構(gòu)圖 圖 是多輸入輸出反饋系統(tǒng)，且比較直觀的解析了狀態(tài)反饋。狀態(tài)反饋的具體原理是：輸入量和已經(jīng)與反饋系數(shù)相乘的狀態(tài)量相加后，作為系統(tǒng)的新的輸入量重新作用于系統(tǒng)。但是，一個(gè)系統(tǒng)的狀態(tài)變量未必都是物理量，有時(shí)即使是系統(tǒng)的物理量，限于技術(shù)手段，在實(shí)際中仍難以精確測量到這些相應(yīng)的物理量，導(dǎo)致了很難在現(xiàn)實(shí)生產(chǎn)中精確地使用狀態(tài)反饋控制，故要由具體情況選擇使用。所以系統(tǒng)在進(jìn)行反饋控制時(shí)，使用狀態(tài)反饋可使系統(tǒng)更好的達(dá)到效果。廣義系統(tǒng)也不例外。如李雅普諾夫不等式： ( ) 0TF X A X X A Q? ? ? ? () 化為如下不等式： 1 1 1( ) ( ) . . . ( ) 0T M M MF X Q x A E E A x A E E A? ? ? ? ? ? ? () 狀態(tài)反饋 一般系統(tǒng)中的控制結(jié)構(gòu)是由兩部分組成的。以此得，決策向量是 1,......, mxx所構(gòu)成： ? ?1 , ... ... , x T mmx x R?? () 假設(shè)存在一組實(shí)數(shù)矩陣 T n niiF F R ???， 0,1,...,mi? ，且為對稱的，那么 ()中的小于號 ? 代表矩陣 ??Fx是負(fù)定的，故可知對所有非零向量 mvR? 是 ()Fx最大特征值為 本科畢業(yè)設(shè)計(jì)說明書（論文） 第 9 頁 共 28 頁 負(fù)的條件。 可知： 若函數(shù)滿足 2221 xxV ?? 在 ),( 21 xx ，則稱其在平面上是正定的； 若函數(shù)滿足 )( 2221 xxV ??? 在 ),( 21 xx ，則稱其在平面上是恒負(fù)的； 函數(shù) 2221 xxV ?? 在 ),( 21 xx 平面上是變號函數(shù)； 函數(shù) 21xV? 在 ),( 21 xx 平面上是常正函數(shù)。 李雅普諾夫函數(shù)：稱 )(xV 是恒負(fù) (正 )的概念： 如果 RGxV ?:)( 滿足 0)( ?OV條件，且 ? ?HxxD ?? 上 )0(0)( ??xV 其中 KH??0 ，而且 )(xV 和ixV?? ),2,1( ni ??是不間斷連續(xù)；稱 )(xV 是正 (負(fù) )定的概念：如果總是 )0(0)( ??xV ， 其中 Ox? 不在 D中 ；當(dāng) 函數(shù)符號的正負(fù)無法恒定時(shí)，函數(shù)稱為變號函數(shù) [9]。 以下為便于理解例舉的自制系統(tǒng)： ( ), ndx F x x Rdt ?? () 假設(shè) Tn xFxFxF ))(,),(()( 1 ?? 符合局部 Lipschitz 連續(xù)條件、在 ? ?nG x R x K? ? ?上連續(xù)的條件和 OOF ?)( 三個(gè)條件。以此 得出解的穩(wěn)定性 。此方法目的和第一法相同。此時(shí)研究內(nèi)容一般是穩(wěn)定性。由此得到系統(tǒng)的特性。它的具體操作是由解析狀態(tài)方程的解得到，所以得此別名。 第