【正文】 ( ) ( )( | ) =P r ( ) ()iiiii iifffob fd????? ??????? ? ???? ?X βX βX βiiii( ) ( | )()()iiii i i iiiifdfdfd? ? ? ? ?? ? ????????????????? ? ?????X βX βX βX β X β?當(dāng)假設(shè) 服從均值為零，方差為 的正態(tài)分布時(shí)，（ ）式可以進(jìn)一步寫成： （ ） 其中 和 分別表示標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的累積函數(shù)和概率密度函數(shù)。因?yàn)? 所以（ ）式可以寫成： （ ） 將（ ）式代入（ ）式得： （ ） 其中， 。另一種選擇是直接采用非線性的迭代方法，但往往無法克服模型中的異方差特性，因此更多的是采用最大似然法進(jìn)行估計(jì)。如果第 j個(gè)解釋變量是虛擬變量的話，則它從 0到 1發(fā)生變化時(shí)， Y發(fā)生的次數(shù)將平均增加 。 P r ( )!iiuYiiieuo b Y YY???iiue ?? X β lo g iiu ?? X β( | ) ( | ) ii i i i iE Y V a r Y u e ?? ? ? X βXX?由（ ）式可得： （ ） 根據(jù)（ ）式，可以認(rèn)為 β是解釋變量的變動(dòng)對(duì)Y的變動(dòng)率的平均影響。假設(shè) 和 的聯(lián)合分布為以下 II型極端值分布： *** ,ij ij iji ij ilYUY j Y Y l j???? ? ?當(dāng)且僅當(dāng)　0 1 2,i i i? ? ? 0i?1i? 2i?1i?1i?21 ??2i? 2i?? ?111 2 1 2( , ) e x p e x p ( ) e x p ( )i i i iF ?? ? ? ? ? ?????? ? ? ? ???? 仍為 I型極端值分布： 此時(shí)的嵌套 Logit模型為： 0i?? ?00( ) e x p e x p ( )iiF ??? ? ?? ?0110 1 2* * * *0 1 0 2P r ( 0 | ) P r ( , | )ii i ii i i i i i iUU U Uo b Y o b Y Y Y Yee e e?????? ? ? ????XX ? ?? ?111 1211111120 1 2* * * *1 0 1 2P r ( 1 | ) P r ( , | )P r ( 1 | 0 , ) P r ( 0 | )iiiiii i ii i i i i i iUUUUUU U Ui i i i iob Y ob Y Y Y Yeeeee e e eob Y Y ob Y????????????????? ? ? ????? ??? ? ? ? ?XXXX? ?? ?111 1221111120 1 2* * * *2 0 2 1P r ( 2 | ) P r ( , | )P r ( 2 | 0 , ) P r ( 0 | )iiiiii i ii i i i i i iUUUUUU U Ui i i i iob Y ob Y Y Y Yeeeee e e eob Y Y ob Y????????????????? ? ? ????? ??? ? ? ? ?XXXX第三節(jié) 計(jì)數(shù)數(shù)據(jù)模型 計(jì)數(shù)數(shù)據(jù)模型的設(shè)定 計(jì)數(shù)數(shù)據(jù)模型的估計(jì) ?當(dāng)因變量為計(jì)數(shù)數(shù)據(jù)時(shí)，一般是以泊松分布而非正態(tài)分布來描述它的概率，此時(shí)，因變量 Y的概率分布函數(shù)為 （ ） 其中， ui一般設(shè)定為 或 （ ） 其中 Xi是包括常數(shù)項(xiàng)在內(nèi)的 k個(gè)解釋變量。假設(shè) 可分為兩組， 一組， 和 一組。以下我們就分析這種 M=2，即 j=0， 1， 2三種選擇時(shí)的情形。也就是說，他面臨的是三種選擇：不上大學(xué)、上公立大學(xué)或上私立大學(xué)。例如，一個(gè)高中畢業(yè)生首先面臨兩種選擇：不上大學(xué)和上大學(xué)。但在實(shí)際中，可能出現(xiàn)這樣的情況，即各種可能的選擇之間可以分成若干的組，組與組之間是相互獨(dú)立的，但組內(nèi)的選擇之間卻是相互關(guān)聯(lián)的。 ?條件 Logit模型的估計(jì)一般也是采用最大似然法，其似然函數(shù)的定義類似于（ ）式。因此這樣的解釋變量不需要加入到模型中。?設(shè) ，則（ ）可以重新寫成 , j=0,1,2,…M （ ） 將（ ）的分子和分母同時(shí)乘以 得： （ ） 其中， ， j=1,2,…M 。Pr ( 1 | ) 。 **Pr ( | ) Pr ( , | )Pr ( , | )Pr ( , | )ij i i ij il iij ij il il iij il ij il iF o b Y j o b Y Y l jo b U U l jo b U U l j????? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?XXXX01, , . . . ,i i iM? ? ?? 當(dāng) M=1時(shí)，（ ）式變?yōu)橐粋€(gè)二元選擇模型： （ ） ?（ ）式對(duì)應(yīng)的概率特征為： *0 0 0*1 1 1**10**1010i i ii i iiiiiiYUYUYYYYY??????? ??? ????　　**101 1 0 01 0 1 0P r ( 1 | ) P r ( | )P r ( | )P r ( | )i i i i ii i i i ii i i i iob Y ob Y Yob U Uob U U????? ? ?? ? ? ?? ? ? ?XXXX?假設(shè)（ ）式中 服從 I型極端值分布（ Type I Extremevalue Distribution），即 則由（ ）式可以推出 , j=0,1,2,…M （ ） 這里稱（ ）式為條件 Logit模型。但是，如果消費(fèi)者選擇了第 j種商品，即，則對(duì)該消費(fèi)者來說，商品 j的效用一定大于其他所有的商品，即 。 Uij為效用的可觀測(cè)部分，它可表示為解釋變量 X的線性組合； 為效用的不可觀測(cè)部分。 考察以下隨機(jī)效用模型 () *** ,i j i j i ji i j i lYUY j Y Y l j???? ? ?當(dāng)且僅當(dāng)　?其中， Yij*可以理解為消費(fèi)者 i對(duì)商品 j 的效用。 P r o b ( = 0 | ) = ( )iiiiY ?? ????X X β βXP r o b ( = 1 | ) = ( ) ( )iiiiiY a??? ????? ? ????X X β X β βXP r o b ( = 2 | ) = ( )iiiiY a?? ????X X β βX 條件 Logit模型 ?在 ()式中， Yi的Ｍ +１種可能的選擇是有序的。01 1 ,。 i?iiP r ( 0 | ) ( ) ( ) 1 ( )ii i i iob Y f d????? ??? ? ? ? ? ? ? ??X βXX β X βiiPr ( 1 | ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) 1iiai i i iXiio b Y f d aa????????? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ??X βXX β X βX β X βPr ( 2 | ) 1 Pr ( 1 | ) Pr ( 0 | )1 ( )i i i i i iio b Y o b Y o b Ya? ? ? ? ? ??? ? ? ?X X XX β?當(dāng) 是 Logistic分布時(shí)， （ ） （ ） （ ） 這里稱（ ）式、（ ）式和（ ）式為有序 Logit模型（ Ordered Logit Model）。當(dāng) M=1時(shí)，（ ）式就等同于（ ）式了。 2_Co unt R20l n LM c F a d d e n R = 1 l n L第二節(jié) 多元選擇模型 有序選擇模型 條件 Logit模型 約束最小二乘法 有序選擇模型 ?同 ()式相似，設(shè)定以下隱函數(shù)或指示函數(shù)模型： 同樣， Yi*為無法觀測(cè)的隱變量。當(dāng)所有的斜率系數(shù)都為 0時(shí)， McFadden R2=0，但是，McFadden R2不會(huì)恰好等于 1。此外，還可以計(jì)算類似于傳統(tǒng) R2的 McFadden似然比指數(shù)(McFadden’s Likelihood Ratio Index)來度量擬合優(yōu)度。當(dāng)原假設(shè)成立時(shí)， LR的漸近分布是自由度為 k1（即除截距項(xiàng)外的解釋變量的個(gè)數(shù)）的 分布。常用的迭代方法之一是建立在泰勒級(jí)數(shù)展開基礎(chǔ)上的 NewtonRaphson迭代法或二次攀峰算法（ Quadratic Hill Climbing）。對(duì)于非線性模型的估計(jì)方法之一是最大似然法。 ?但是，對(duì)于虛擬解釋變量而言，則需要先分別計(jì)算其取值為 1和 0時(shí)的值，二者的差即為虛擬解釋變量的邊際影響。 P r o b ( = 1 | ) = ( ) = ( )iiiiiY ?? ?????X X β β X β βXP r o b ( = 1 | ) = ( ) = ( ) ( 1 ( ) )iii i iiY? ? ? ??? ? ??X X β β X β X β βX( ) = ( )( 1 ( ) )?? ? ? ? ? ??從 ()式和 ()式中可以看到， Probit和 Logit模型中解釋變量對(duì) Yi取值為 1的概率的邊際影響不是常數(shù)，它會(huì)隨著解釋變量取值的變化而變化。 i()f ?2ii1( ) = e x p ( )22?????P r ob ( 1 | ) 1 ( )= 1 ( )()ii i i iiiYd ? ? ????????????X βXX βX β二、 Logit模型 ?當(dāng) ()式中的 是 Logistic的概率密度函數(shù)時(shí)， ()式可以進(jìn)一步表達(dá)為 () ()式正是 Logit模型。 ***1 , 2 , ,1 if 00 if 0 i i iiiiY i