【正文】 ，有 ,121 px pxpx pxnnnn ???????? 即 ),)(()( )221 pxpxpx nnn ???? ?? 亦即 .)(2 222212 1 ppxxxxppxx nnnnnn ?????? ???? () 解得 nnnnnn xxx xxxp ?? ??????122 122 2 2 22 1 121222n n n n n n n n nn n nx x x x x x x x xx x x? ? ???? ? ? ? ?? ?? .2 )( 1221nnnnnn xxx xxx ?? ?????? 定義 ?????? ??? ?? ?? ,2,1,0,2 )(~ 12211 nxxx xxxx nnn nnnn， () ()稱為 Aitken 加速公式（方法）． Aitken 加速方法得到的序列 ??nx~ ： ?????? ,~,~,~ 21 nxxx 較原來的序列 ??nx 更快地收斂于p . 有下面的定理． 定理 [2] 設(shè)序列 }{nx 是線性收斂于 p 的，并且對于所有足夠大的整數(shù) n 有0))(( 1 ??? ?nn xpx ，則由 Aitken 加速方法 ()產(chǎn)生的序列 ??nx~ 有 .0~lim 1 ?????? px pxnnn () 證明 由假設(shè)序列 }{nx 線性收斂于 p ，即有 13 ,lim 1 ??????? px pxnnn ， 0?? . 記 ,1 ????? ? px pxq nnn () 則有 0lim ??? nn q， 0lim1 ???? nn q． 據(jù) ()式， ? ? ?????? ??? ?????????? pxxx xxxpxpx pxnnnnnnnnn1221121~ 2121()1 ( ) ( 2 )nnn n n nxxx p x x x?????? ? ? ? 21221212 1 11[ ( ) ] ( )1( ) [ 2( ) ]11 1 .. 2 1n n nn n n nnn n n nn n nx p x p x px p x p x p x pxpxp x p x p x px p x p x p????? ? ??? ? ? ???? ? ? ? ? ????? ? ???? ??? ? ???????? ? ??? .1)(2))(( 1)1(1 12 ?????????? ? ???? nnnn qqqq () 因此有 .012 )1(1~l i m221 ??????????? ?? ?px px nnn 在緒論中有講到一階前差： ,1 nnn xxx ??? ? ???? ,2,1,0n 二階前差： ,2)( 122 nnnn xxxxx ??????? ?? .,1,0 ????n 于是， Aitken 加速公式 ()可 改寫成 ,)(~221 nnnn xxxx ????? .,2,1,0 ????n ()由于這個緣故， Aitken 加速方法又稱為 Aitken 2? 加速方法． 例 [2] 設(shè) nxn 1cos?，則 1lim ??? nn x. 由于 ,111c o s111c o slim11lim 1 ??????? ?????nnxxnnnn 因此序列 ??nx 收斂于 1． 由序列 ??nx 應(yīng)用 Aitken 加速方 法計算得 ??nx~ 的開頭幾項列表如下（表 ）． ? ?nx~ 確實比 ??nx 更快的收斂于 1． 14 表 Atiken 加速法計算結(jié)果的開頭幾項列 N nx nx~ 1 2 3 4 5 6 15 第 3 章 非收斂不動點迭代格式的幾類處理方法與比較 在第 2 章中主要介紹了求解非線 性方程的不動點迭代法，其要求是迭代函數(shù)要滿足收斂定理假定條件，而在現(xiàn)實生活中，明確滿足這些條件的迭代函數(shù)是很少見的，本章對于迭 代函數(shù)不滿足收斂條件的情況，提出了幾類處理方法 . 非收斂不動點迭代格式的幾類處理方法 一個方程的迭代格式不是唯一的，且迭代也不都是收斂的，其收斂性取決于迭代函數(shù) )(xg 和初值 0x ，關(guān)于不動點迭代函數(shù)的收斂性，上一 章已經(jīng)進行了討論， 但假若? ?bax ,? 時， 1)( ??? Lxg ，就不滿足定理 的條件 (2)了，于是下面分別介紹了反函數(shù)法、牛頓迭代法、 Steffensen 迭代法和松弛法這四中處理方法 . 反函數(shù)法 因為 )(xgx? ，有 ? ?)(1)(1 xgxg ????，則當 ? ?bax ,? 時， ? ? 11)(1 ????Lxg，所以方程)(xgx? 可寫成等價形式 )(1 xgx ?? ，從而構(gòu)造迭代格式 )(11 kk xgx ?? ? , ),1,0( ????k () 很明顯， )(11 kk xgx ?? ? 滿足收斂條件 . 對于 )(xg 簡單情況 , 其反函數(shù) )(1 xg? 容易得到 . 牛頓迭代法 對于迭代格式 )(xgx? 的情形 ，采用 Newton迭代格式有 ,)(1 )()()(1 )(1 k kkkkkkkk xg xgxxgxg xgxxx ?? ????????? ),1,0( ????k () Steffensen迭代法 根據(jù) Aitken加速算法，對迭代格式 )(1 kk xgx ?? , ),1,0( ????k ，進行如下修改： ),( kk xgy ? ),( kk ygz ? ? ?kkkkkkkkkkkkk xxgxgg xgxggxggxyz yzzx ?? ????? ???? )(2))(( )())(())((2 )( 221 () 16 其中 ???? ,1,0k . 松弛法 將 )(xgx? 化成等價形式 )()1( xwgxwx ??? , 稱 w 為松弛因子 , 從而構(gòu)造迭代格式 ),()1(1 kkk xwgxwx ???? () 其迭代函數(shù)為 )()1()( xwgxwxg ??? . 記 )(minm in xgg bxa ??? ??， )(maxm ax xgg bxa ??? ??， 得到如下結(jié)論 : （ 1）當 1)( ??? Lxg 時， w 取 01)(2m a x ????? wxg 時， )()1(1 kkk xwgxwx ???? 迭代收斂； （ 2）當 1)( ????? Lxg 時， w 取)(1 20 m in xgw ???? 時， )()1(1 kkk xwgxwx ???? 迭代收斂； （ 3）當 1)( ??? Lxg 時， w 取)(1 )(11 m inm in xg xgw ?? ???? 時，迭代格式 )()1(1 kkk xwgxwx ????比迭代格式 )(1 kk xgx ?? 收斂快． 推導(dǎo)如下： （ 1）當 1)( ??? Lxg 時，由 01)(2m a x ????? wxg得到 2)(m ax ???? wxgw ，其迭代函數(shù)為 )()1()( xwgxwxf ??? ． 因為 ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ?m a x1 1 11 1 1 1f x w w g x w w g xf x w w g x w g x? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ? 所以有 1)( ?? xg ， 從而 )()1(1 kkk xwgxwx ???? 迭代收斂 . （ 2）當 1)( ????? Lxg 時 , 由)(1 20 m in xgw ????得到 2)(m in ????? xgww . 因為 ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ?m in1 1 1 ,1 1 1 1f x w wg x w wg xf x w wg x w g x? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ? 所以有 1)( ?? xf , 從而 )()1(1 kkk xwgxwx ???? 迭代收斂 . （ 3）當 1)( ??? Lxg 時 , w 取)(1 )(11 m inm in xg xgw ?? ????， 由 1?w 得到 ? ? 0)(1)1( ???? xgw , ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1 ( 1 ) 1f x w w g x w g x g x g x? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ????? 由)(1 )(1 minmin xg xgw ?? ???得到 0)()(1 m inm in ?????? xgwwxg . 17 ? ? ? ?m in( ) 1 1f x w wg x w wg x? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?m in m in1 w wg x g x g x g x? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? 所以有 )()( xgxf ??? , 從而迭代格式 )()1(1 kkk xwgxwx ???? 比迭代格式 )(1 kk xgx ?? 收斂快 . 數(shù)值實例 通過以上四種方法都可以解決非收斂不動點迭代格式的問題，現(xiàn)對上述四種給出幾個不滿足不動點迭代收斂定理的實例，并對結(jié)果進行分析和比較 . 例 求方程 033 ???xx 在區(qū)間 ? ?2,1 內(nèi)的根，要求精度為 510? ． 解 對于方程 033 ???xx ，將它化為 33??xx ，所以 3)( 3 ??xxg ，則當 ? ?2,1?x 時，13)( 2 ??? xxg ，不滿足定理 的條件 (2),因此不能由 ()的迭代格式計算 . 下面分別用反函數(shù)方法、牛頓（ Newton）迭代法、 Steffensen 迭代法、松弛法對迭代函數(shù)進行修改，得到相應(yīng)新的迭代函數(shù)，并用 C 語言編程上機計算 . (1)反函數(shù)法：迭代格式為 ),(11 kk xgx ?? ? 即